《最新高考数学复习_平面向量的数量积及运算律优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学复习_平面向量的数量积及运算律优秀名师资料.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高考数学复习_平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律(1) 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教学过程: 一、引入: 力做的功:W = |F|,|s|cos,，,是F与s的夹角 二、讲解新课: 1(两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与,，作,a，,，则?,(0?)叫a与,的OAOB夹角. 说明:(1)当,0时，a与
2、,同向; (2)当,时，a与,反向; ,(3)当,时，a与,垂直，记a?,; 2(4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0:?,?180: 2(平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与,，它们的夹角是，则数量|a|b|cos,叫a与,的数量积，记作a,b，即有a,b = |a|b|cos,， (,?).并规定0与任何向量的数量积为0。 ,探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos,的符号所决定。 (2)两个向量的数量积称为内积，写成a,b;今后要学到两个向量的外积ab，而a,b是两个向量的数量的积，书写时
3、要严格区分。符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替. (3)在实数中，若a,0，且a,b=0，则b=0;但是在数量积中，若a,0，且a,b=0，不能推出b=0。因为其中cos,有可能为0。 (4)已知实数a、b、c(b,0)，则ab=bc , a=c。但是a,b = b,c a = c 如右图:a,b = |a|b|cos, = |b|OA|，b,c = |b|c|cos, = |b|OA| , a,b = b,c 但a , c (5)在实数中，有(a,b)c = a(b,c)，但是(a,b)c , a(b,c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向
4、量，而一般a与c不共线。 3(“投影”的概念:作图 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 定义:|b|cos,叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一个数量，不是向量;当,为锐角时投影为正值;当,为钝角时投影为负值;当,为直角时投影为0;当, = 0:时投影为 |b|;当, = 180:时投影为 ,|b|。 4(向量的数量积的几何意义: 数量积a,b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos,的乘积。 5(两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1: e,a = a,e =|a|cos, 2:
5、 a,b , a,b = 0 3: 当a与b同向时，a,b = |a|b|;当a与b反向时，a,b = ,|a|b|。 2 特例:a,a = |a|或 |a|,a,aa,b4: cos, = |a|b|5: |a,b| ? |a|b| 三、讲解范例: 例1 判断正误，并简要说明理由. ,?0,0;?0?a,0;?0,?a,;?,a?,a,;?若a?0，则ABBA对任一非零,有a?,?0;?a?,0，则a与,中至少有一个为0;?对任意向量a，,，,都有(a?,),a(,?);?a与,是两个单位向量，则a,. 例2 已知,a,3，,6，当?a?,，?a?,，?a与,的夹角是60?时，分别求a?,.
6、 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 例3 判断下列命题的真假: ,(1) 在?ABC中，若，则?ABC是锐角三角形; ABBC ,0,(2) 在?ABC中，若，则?ABC是钝角三角形; ABBC ,0,(3) ?为直角三角形的充要条件是. ABCABBC ,0,例4 试证明:若四边形ABCD满足则四边形ABCD为矩形. ABCDABBC，,0,0,且 ,例5 设正三角形ABC的边长为 2,.ABcBCaCAbabbcca,，求 四、小结 通过本节学习，要求掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用 它们解决相关的
7、问题 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 课后反思: 1.概念辨析:正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如: 1.已知?中，,，,，,?，求?. ABC,BCCA对此题，有同学求解如下: 解:如图，?,，,，,?， CABC?,?,cos,58cos60?,20. BCCABCCA分析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，,并不是
8、它们的夹角，而正确的夹角应BCCA当是C的补角120?. 2.向量的数量积不满足结合律 分析:若有(,?,),?(,?)，设,、,夹角为，,、夹角为，则(,?,),?,cos?， ,?(,?),?,cos. ,，,，则,，进而有:(?),?(?) ?若,这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下: 2已知,，,，,，,与,夹角是60?，,与夹角是45?，则: 1(,?,)?,(,?,cos60?),， 2,?(,?),(,?,cos45?), 1而?,，故(,?,)?,?(,?) 2学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 平面
9、向量的数量积及运算律(2) 教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1(两个非零向量夹角的概念 2(平面向量数量积(内积)的定义: 3(“投影”的概念: 定义:|b|cos,叫做向量b在a方向上的投影。 4(向量的数量积的几何意义: 数量积a,b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos,的乘积。 5(两个向量的数量积的性质: C 设a、b为两个非零向
10、量，e是与b同向的单位向量。 (1)e,a = a,e =|a|cos,; (2)a,b , a,b = 0 (3)当a与b同向时，a,b = |a|b|;当a与b反向时，a,b = ,|a|b|。 2 特例:a,a = |a|或 |a|,a,aa,b(4)cos, = ; |a|b|(5)|a,b| ? |a|b| 6(判断下列各题正确与否: 1:若a = 0，则对任一向量b，有a,b = 0。 ( ) 2:若a , 0，则对任一非零向量b，有a,b , 0。 ( ) 3:若a , 0，a,b = 0，则b = 0。 ( ) 4:若a,b = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( ) 5:若a
11、 , 0，a,b = a,c，则b = c。 ( ) 6:若a,b = a,c，则b = c当且仅当a , 0时成立。 ( ) 7:对任意向量a、b、c，有(a,b),c , a,(b,c)。 ( ) 228:对任意向量a，有a = |a|。 ( ) 二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1(交换律:a , b = b , a ,2(数乘结合律:(a),b =(a,b) = a,(b) 3(分配律:(a + b),c = a,c + b,c 说明:(1)一般地，(a?,)?a(,?) (2)a?,?，?0a, 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan
12、Chan cheng ,(3)有如下常用性质:a,a,， (a，,)(，,),a?，a?,，,?，,?, ,(a，,),a，2a?,，, 三、讲解范例: 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a , 5b垂直，a , 4b与7a , 2b垂直，求a与b的夹角。 例2 已知|a|=3,|b|=4(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直, 例3 已知a、b是非零向量，设m=|a+tb|. (1)求当m取最小值时，实数t的值; (2) 证明当m取最小值时，向量b和a+tb垂直. 例4 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 学大教育科技(北京)有
13、限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng ,例5 四边形ABCD中，,a，,，,，,，且a?,?,?,BCCDABDA,?a，试问四边形ABCD是什么图形? . 课后反思: 1.常用数量积运算公式 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛. ,即(a，b),a，,a?b，b，(a,b),a,a?b，b ,上述两公式以及(a，b)(a,b),a,b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用. 2.应用举例 ,例1,已知,a,，,b,，a?b,，求,a，b,，,a,b,. ,解:?,a，b,(a，b),a，,a?b
14、，b,，,(,)，, ,23?,a，b,，?(,a,b,),(a,b),a,2a?b，b,2,2(,3),35， 35?,a,b,( ,例2,已知,a,8，,b,10，,a，b,16，求a与b的夹角(精确到,?). ,解:?(,a，b,),(a，b),a，2a?b，b,a,，2,a,?,b,;, ，,b,?,，,;,，,， 23?;,，?,? 40学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 平面向量的数量积及运算律(3) 教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题; 3.掌握
15、两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1(两个非零向量夹角的概念 2(平面向量数量积(内积)的定义: 3(“投影”的概念: 定义:|b|cos,叫做向量b在a方向上的投影。 4(向量的数量积的几何意义: 数量积a,b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos,的乘积。 5(两个向量的数量积的性质: C 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 (1) e,a = a,e =|a|cos,; (2) a,b , a,b = 0 (3) 当a与b同向时，a,
16、b = |a|b|;当a与b反向时，a,b = ,|a|b|。 2 特别的a,a = |a|或 |a|,a,aa,b(4) cos, = ; |a|b|(5) |a,b| ? |a|b| 6.平面向量数量积的运算律 1(交换律:a , b = b , a ,2(数乘结合律:(a),b =(a,b) = a,(b) 3(分配律:(a + b),c = a,c + b,c 二、例题 ,abc、例1 已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( ) ,(1) |/;ababab ,(2) ababab、反向, |;,(3) ababab,，,|;,(4) |.abacbc, A 1 B 2 C
17、3 D 4 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng o例2 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a/b, (2) a?b ， (3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积. ,例3 已知试用向量并计算 ABCDABaBCbab,|.,且abBDAD、表示、,的位置关系. BDACBDAC ,判断与ABCD例4 设AC是的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别是E、F，.试用向量方法证明: 2ABAEADAFAC ，,. ,OAOB、OCOAOBOC，,0.例5 已知向量是模相等的非零向量，且求证?ABC是正三角形. 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 例6 已知:AC为?O的一条直径，?ABC为圆周角.求证:直径所对的圆周角是直角，即?oABC=90. o例7 已知:|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60.问当且当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直, 内部资料 仅供参考 内部资料 仅供参考 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng 学大教育科技(北京)有限公司 Xueda Education of Foshan Chan cheng