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1、 高考数学复习模拟压轴题集锦1（学海大联考三）已知函数f(x)xax1(a0，xR) 当a1时，求f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)0有唯一根；当00)。(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程(3)若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B1，B2(B2在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。6（唐山市）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1。(1)求k的值；（2)求Sn；（3)是否存在正整数m，n，使 成立?若存在求出这样的正整数；若不存在说明理由7（苏、锡、常、镇二）已知数集序列1, 3, 5
2、, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第个集合有个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数()求数集序列第个集合中最大数的表达式；（）设数集序列第个集合中各数之和为（i）求的表达式； （ii）令= ，求证：2 8（中学学科网一）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。9（中学学科网二）设点集L=,其中向量=(2,1),=(x
3、,1),点在L中,为L与y轴的交点,数列的前n项和.(1) 求数列、的通项公式。(2) 若，计算。（3）设函数，是否存在，使f（k+10）=3f（k），若存在，求出k的值；若不存在，说明理由10（中学学科网三）已知两个函数，.（）解不等式；（）若对任意3，3，都有成立，求实数的取值范围11（北京丰台）四边形ABCD是梯形，sup7()sup7()0，sup7()与sup7()共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足。（）求动点C的轨迹E的方程；（）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形
4、CMPN面积的最小值。12（北京石景山）已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）（）求函数的解析式； （）利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令， 在上述构造过程中，如果（=1，2，3，）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；（）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）当时，若，求数列的通项公式13（北京市朝阳）在各项均为正数的数列中，前n项和Sn满足。（I）证明是等差数列，并求这个数列
5、的通项公式及前n项和的公式；（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间a，b上的面积，试求直线C在区间x3，xk上的面积；（III）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。14（北京东城一）已知函数,（ x0）（I）当0a1；（II）是否存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a，b，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由（III）若存在实数a，b（ab），使得函数y=f
6、(x)的定义域为 a，b时，值域为 ma，mb(m0),求m的取值范围15（北京东城二）已知定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数总有恒成立. （1）求x0的值.（2）若，且对任意正整数n，有，记 ，比较与Tn的大小关系，并给出证明；（3）若不等式对任意不小 于2的正整数n都成立，求x的取值范围.16（北京西城）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III
7、）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.17（豫南五市）设曲线在点x处的切线斜率为k(x),且k (1)=0.对一切实数x,不等式xk (x)恒成立(0).(1) 求(1)的值;(2) 求函数k (x)的表达式;(3) 求证:18（山东省实验）如图所示，曲线段OMB是函数f (x)=x2(0x1)由f (x)0得1xlna0，解得x；由f (x)0得1xlna0，解得xf(x)的单调增区间为(，)，单调减区间为(，)当x时，f(x)minf()a111，又f(x)1，f(x)，f(x)的值域为1，)又f(0)10，f(x)，又f(x)在0，)上递增，方程f(x)0在0，)上有唯一实根而f
8、(x)10，方程f(x)0在(，0)上无实根方程f(x)0有唯一实根，yf(x)在(，0)上函数值y均小于0函数f(|x|)为偶函数，故只需讨论x0时，方程f(|x|)0亦可求f(x)0的实根的个数。.当a1时，方程f(x)0有唯一实根x1；.当0a1时，由式，同理可知x0时，f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，)。当x时，f(x)max1又f(0)10，f(x)1，故有当10即0a0即a1时，方程f(x)0有两个实根；综上可知：当0a时，方程f(|x|)0无实根；当a或1时，方程f(|x|)0有两个实根；当a1e=2 (2)由e=2，c=2a即b2=3a2，双曲线方程为 1又N(
9、，2)在双曲线上，1，a23双曲线的方程为1(3)由知AB过点B2，若ABx轴，即AB的方程为x=3，此时AB1与BB1不垂直；设AB的方程为y=k(x3)代入1得(3k21)x218k2x+27k29=0由题知3k210且0即k2 且k2，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1+3，y1)，(x2+3，y2)，0即x1x2+3(x1+x2)+9+y1y20此时x1+x2，x1x2=9，y1y2k2(x13) (x23)k2x1x23(x1+x2)+9= k2189390，5 k21，kAB的方程为y=(x3) .6(I)S2=kS1+2 a1+a2=ka1+2 又a1=2，a2=1
10、,2+1=2k+2 （）由（）知 当n2时， -，得 (n2) 于是an是等比数列，所以()整理得22n(4-m)6假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4-m为整数，则只能是2n(4-m)=4 因此，存在正整数m=2，n=1；或7()第n个集合有n个奇数，在前n个集合中共有奇数的个数为则第n个集合中最大的奇数=（）（i）由()得 ， 从而得（ii）由（i）得 ， （）当时，显然2（）当2 时， ，0，f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数由0ab，且f(a)=f(b)，可得 0a1故，即ab1 （II）不存在满足条件的实数a，b 若存在满足条件的实数a，b，使得函数
11、y=的定义域、值域都是a，b，则a0 当时，在（0，1）上为减函数故 即 解得 a=b故此时不存在适合条件的实数a，b 当时，在上是增函数故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根故此时不存在适合条件的实数a，b 当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b 综上可知，不存在适合条件的实数a，b（III）若存在实数a，b（a0，m0 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在 当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在 故只有在上是增函数， 即 a， b是方程的两个根即关于x的方程有两个大于1的实根设这两个根
12、为，则+=，= 即 解得 故m的取值范围是15（1）令，得 令得 由，得 为单调函数，（2）由（1）得， 又又， ，（3）令，则当时， 即 解得或分16（1）因为，所以满足条件又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素. （2）假设方程存在两个实数根），则， 不妨设，根据题意存在数使得等式成立，因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，所以，所以，即所以17（1）由，所以（2），由，得又恒成立，则由恒成立得，同理由恒成立也可得综上，所以（3）要证原不等式式，即证因为所以=所以本小问也可用数学归纳法求证。证明如下
13、：由1 当时，左边=1，右边=，左边右边，所以，不等式成立2 假设当时，不等式成立，即 当时，左边=由所以即当时，不等式也成立综上得 18（1）切线斜率k=2t，则切线方程为y = t 2 = 2 t ( x - t ),即切线PQ方程为y=2tx-t2(0x6).4分（无0x6扣一分）（2）令y=0得19（1）设An(an,0)，Bn(bn,bn),a1=5,b1=3. an-an-1=(a2-a1)（）n-2=4()n-2, 即 an=1+4=1+81-(又由|bn是以b1=3为首项，以d=2为公式的等差数列. (2)由斜率计算公式可得kn=(3)如图易知，S=SAn+1Bn+1-SOAn
14、Bn = =9+(8n-4)(因n=2,3，（8n-4）( 当n2时可用数学归纳法或二项式定理证明（8n-4）( 故9S12.20（1），又， ，。 （2），由题意，知，即， 或，即或，即或时，直线与曲线相交于不同的两点。 ，时，的最小值为。 （3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值。 曲线与直线不相交时，即，即， 时，曲线为圆，时，曲线为椭圆。 选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离椭圆到直线的距离为。 （椭圆到直线的距离为）21(1)令, ,则由得， 又， H是的外心，整理得，顶点C的轨迹E的方程为： (2)设 ，,则抛物线C1在P处的切线斜率
15、为对于椭圆，当时，则椭圆E在处的切线斜率为两曲线C1和E在公共点P处的切线相同 当时，又因点及点在抛物线上，抛物线C1的方程为 当时， 因点在抛物线上，则；又点在抛物线上，抛物线C1的方程为 22f(x) =,f(x)=,所以g(x)=，因为g(x)=0得x=e可以得出（0，e）是递增区间；(e, 是递减区间，因为，而4，由g(x)=在（0，e）是递增区间；(e, 是递减区间；的最大值为，解不等式得x或x 最大的实数t23 （1） （2）曲线C上点处的切线的斜率为，故得到的方程为 联立方程消去y得：化简得： 所以：由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为2的等比数 列所以： （3）由（2）知：所以直线的方程为：化简得：所以 24（1）设则得直线的方程是 整理得（2）联立解得设则且的方程为与联立消去，整理得 又（3）直线的方程为，代入，得即三点共线，三点共线，且在抛物线的内部。令为、为故由可推得而同理可得：而得twenty-seventh