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1、高考数学导数极限复习题6第十三章 导数综合能力测试(?) 一、选择题 1(函数y,f(x)在x,x处的导数f(x)的几何意义是 ( ) 00A(在点(x，f(x)处与y,f(x)的曲线只有一个交点的直线的斜率 00B(在点(x，f(x)处的切线与x轴的夹角的正切值 00C(点(x，f(x)与点(0,0)的连线的斜率 00D(在点(x，f(x)处的切线的倾斜角的正切值 00答案:D 2(设f(x)在x附近有定义，f(x)是f(x)的极大值，则 ( ) 00A(在x附近的左侧，f(x),f(x);在x附近的右侧，f(x)f(x) 0000B(在x附近的左侧，f(x)f(x);在x附近的右侧，f(x
2、)f(x) 0000C(在x附近的左侧，f(x)f(x);在x附近的右侧，f(x)f(x);在x附近的右侧，f(x)f(x) 0000答案:C 33(2009?郑州市高中毕业班第一次质量预测试卷)曲线y,x，x,2在点A(1,0)处的切线方程是 ( ) A(4x,y,0 B(4x,y,2,0 C(4x,y,4,0 D(4x，y,4,0 答案:C 23解析:依题意得y,3x，1因此曲线y,x，x,2在点A(1,0)处的切线的斜率等于4相应的切线方程是y,4(x,1)即4x,y,4,0选C. 324(函数y,x,3x,9x，14的单调区间为 ( ) A(在(,?，,1)和(,1,3)内单调递增，在
3、(3，?)内单调递减 B(在(,?，,1)内单调递增，在(,1,3)和(3，?)内单调递减 C(在(,?，,1)和(3，?)内单调递增，在(,1,3)内单调递减 D(以上都不对 答案:C 22解析:y,3x,6x,9,3(x,2x,3),3(x，1)(x,3) 令y,0得x,1或x,3 故增区间为(,?,1)(3，?)( 令y,0得,1,x,3 故减区间为(,1,3)( 325(函数f(x),2x,3x,12x，5在0,3上的最大值和最小值分别是 ( ) A(12，,15B(,4，,15 C(12，,4D(5，,15 答案:D 2解析:f(x),6x,6x,12令f(x),0得x,1或x,2?
4、f(0),1f(2),15f(3),4 ?f(x),5f(x),15故选D. maxmin2x16(2009?苏州四市高三调研)已知曲线y,的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) 42A(1 B(2 C(3 D(4 答案:A x1解析:?y,?x,1. 227(2009?甘肃省河西五市联考)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y,f(x)在x,5处的切线的斜率为 ( ) 1A(, B(0 51C. D(5 5答案:B 解析:可把f(x)的图象想象成下图( ?y|,0. ,x5328(设函数f(x),ax，bx，cx在x,?1处均有极值，且f(,1),1，则a，b，c的值为(
5、) 13A(a,，b,0，c, 2213B(a,，b,0，c, 2213a,，b,0，c, C(2213D(a,，b,0，c, 22答案:C 2解析:f(x),3ax，2bx，c 3a，2b，c,03a，c,0,3ab,2b，c,00由题知? ,c,1，b,c,1,a，b,a,1a,2,b,0? ,3 ,c,.,29(已知函数f(x)是定义在R上的函数，如果函数f(x)在R上的导函数f(x)的图象如图，则有以下几个命题: (1)f(x)的单调递减区间是(,2,0)、(2，?)， f(x)的单调递增区间是(,?，,2)、(0,2); (2)f(x)只在x,2处取得极大值; (3)f(x)在x,2
6、与x,2处取得极大值; (4)f(x)在x,0处取得极小值( 其中正确命题的个数为 ( ) A(1 B(2 3 D(4 C(答案:C 解析:由图知当x,2或0,x,2时f(x),0, 当,2,x,0或x,2时f(x),0所以(1)、(3)、(4)正确( 1210(2010?北京师大附中)已知函数f(x),x，bx的图象在点A(1，f(1)处的切线斜率为3，数列的前n项为Snf(n)则S的值为 ( ) 20110A. B. C. D. 1答案:A 解析:?f(x),2x，bf(1),2，b,3?b,1 111112?f(x),x，x?, 2f(n)n，nn(n，1)nn，1111112011?S
7、,(1,)，(,)，(,),故选A. 211(要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 ( ) 2020A.3cm B(100cm C(20cm D.cm 33答案:A 22解析:设高为h则半径为20,h 2111202223体积V,rh,(20,h)?h,h，h(0,h,20) 33332202V,h，. 32020令V,0得h,3或h,3(舍去) 3320即当h,3时V为最大值( 3312(己知f(x),x,x，x?m，n，且f(m)?f(n),0，则方程f(x),0在区间m，n上( ) A(至少有三个实数根 B(至少有两个实根 C(有且只有一个实数根 D(无实根
8、答案:C 2解析:?f(x),3x,1,0 ?f(x)在区间mn上是减函数又f(m)?f(n),0故方程f(x),0在区间mn上有且只有一个实数根( 第?卷(非选择题 共90分) 二、填空题 13(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0),_; (2)函数f(x)在x,1处的导数f(1),_. 答案:(1)2 (2),2 解析:(1)由图及题中已知可得f(x), ,2(x,2)0?x?2,f(0),4 x,22,x?6,则f(f(0),f(4),2. (2)f(1),2. 314(2009?河北三市联测)曲线y,x
9、，x,2的一条切线平行于直线y,4x,1，则切点P的坐标为_( 0答案:(1,0)或(,1，,4) 322解析:由y,x，x,2得y,3x，1由已知得3x，1,4解之得x,?1.当x,1时y,0,当x,1时y,4. ?切点P的坐标为(1,0)或(,1,4)( 0点评:利用导数研究函数的性质是导数的重要应用之一导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的帮助(本小题主要考查利用导数求切点的坐标( 3215(已知f(x),x，3x，a(a为常数)，在,3,3上有最小值3，那么在,3,3上f(x)的最大值是_( 答案:57 2解析:本题考查导数的应用f(x),3x，6x令f(x),0得3x(x，2)
10、,0?x,0x,2.i)当0?x?3或,3?x?,2时f(x)?0f(x)单调递增ii)当,2x0时f(x)单调递减由最小值为3知最小为f(,3)或f(0)?f(,3),(,3232323)，3(,3)，a,af(0),a则a,3?f(x),x，3x，3其最大值为f(,2)或f(3)f(,2),(,2)，3(,2)，332,7f(3),3，33，3,57则最大值为57. 32216(若函数f(x),x,mx，2m,5的单调递减区间为(,9,0)，则m,_. 27答案:, 22解析:f(x),3x,2mx. 2法一:令f(x),0则3x,2mx,0. 2m若m,0则0,x,与单调递减区间为(,9
11、,0)矛盾( 32若m,0则m,x,0 3227?,9,m?m,. 322法二:令f(x),0则3x,2mx,0 由题意得不等式的解集为(,9,0) 2?,9,0是方程3x,2mx,0的两个根( ,2 m27?,9，0,?m,. 32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 317(本小题满分10分)已知函数f(x),x,3ax， (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a,1时，求证:直线4x，y，m,0不可能是函数f(x)图象的切线( 22解析:(1)?f(x),3x,3a,3(x,a)， 2当a?0时，f(x),3x,3a?0对x?R恒成立， ?
12、f(x)的递增区间为(,?，?)( 当a,0时，由f(x),0，得x,a或x,a， 由f(x),0，得,a,x,a. 此时，f(x)的递增区间是(,?，,a)和(a，?); 递减区间是(,a，a)( 2(2)证明:?a,1?f(x),3x,3. 2直线4x，y，m,0的斜率为,4假设f(x),4即3x，1,0. 此方程无实根?直线4x，y，m,0不可能是函数f(x)图象的切线( 33218(2009?山东青岛一模)(本小题满分12分)已知函数f(x),ax,3x，1,(a?R且a?0)，试求函数f(x)的极大值a与极小值( 222解析:由题设知a?0f(x),3ax,6x,3ax(x,)令f(
13、x),0得x,0或x,. aa当a,0时随x的变化f(x)与f(x)的变化如下表: 222(0) (，?) x (,?0) 0 aaaf(x) ， 0 , 0 ， f(x) 极大值 极小值 3?f(x),f(0),1, 极大值a243f(x),f(),，1. 极小值2aaa当a,0时随x的变化f(x)与f(x)的变化如下表: 222x (,?) (0) 0 (0，?) aaaf(x) , 0 ， 0 , f(x) 极小值 极大值 3?f(x),f(0),1, 极大值a243f(x),f(),，1. 极小值2aaa3总之当a,0时f(x),f(0),1, 极大值a243f(x),f(),，1,
14、极小值2aaa3当a,0时f(x),f(0),1, 极大值a243f(x),f(),，1. 极小值2aaa23219(2009?北京市东城区高三示范学校质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x),x，ax，bx，c在x,与x,31时都取得极值( (1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间; 2(2)若对x?,1,2，不等式f(x),c恒成立，求c的取值范围( 32解析:(1)?f(x),x，ax，bx，c 2?f(x),3x，2ax，b.由 2124,f (,),a，b,0,393 , ,f (1),3，2a，b,01,a,22解得?f(x),3x,x,2,(3x，2)(x,1) , ,b
15、,2函数f(x)的单调区间如下表: 222x (,?,) , (,1) 1 (1，?) 333f(x) ， 0 , 0 ， f(x) 极大值 极小值 22所以函数f(x)的递增区间是(,?,)与(1，?)递减区间是(,1)( 33132(2)由f(x),x,x,2x，cx?,1,2 2222当x,时f(x),，c为极大值而f(2),2，c 327所以f(2),2，c为最大值( 22要使f(x),c对x?,1,2恒成立须且只需c,f(2),2，c.解得c,1或c,2. 3220(本小题满分12分)函数f(x),x，ax，bx，c，过曲线y,f(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y,3x，1.
16、 (1)若y,f(x)在x,2时有极值，求f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下，求y,f(x)在,3,1上的最大值( 322解析:(1)由f(x),x，ax，bx，c求导数得f(x),3x，2ax，b过y,f(x)上的点P(1f(1)的切线方程为:y,3，2a，b,3,f(1),f(1)(x,1)即为:y,(a，b，c，1),(3，2a，b)(x,1)而过P(1f(1)的切线方程是y,3x，1? c,a,2,1,? 又y,f(x)在x,2时有极值?f(,2),0?,4a，b,12 ? 联立方程组得:a,2b,4c,5 32即f(x),x，2x,4x，5. 2(2)f(x),3x，4x,4
17、,(3x,2)(x，2) f(x)、f(x)的变化如下表: 222x ,3,2) ,2 (,2) (1 333f(x) ， 0 , 0 ， f(x) 递增 极大 递减 极小 递增 f(x),f(,2),13又f(1),4 极大值?f(x)在区间,3,1上的最大值是13. 3221(2010?河南省实验中学期中试卷)(本小题满分12分)已知函数f(x),ax，bx,3x在x,?1处取得极值( (1)求函数f(x)的解析式; (2)求证:对于区间,1,1上任意两个自变量x、x都有|f(x),f(x)|?4; 1212(3)若过点A(1，m)(m?,2)可作曲线y,f(x)的三条切线，求实数m的取值
18、范围( 2解析:(1)?f(x),3ax，2bx,3 依题意f(1),f(,1),0 ,3a，2b,3,0,3,即解得a,1b,0?f(x),x,3x. 3a,2b,3,0,23,3,3(x，1)(x,1) (2)?f(x),x,3x?f(x),3x当,1,x,1时f(x),0故f(x)在区间,1,1上为减函数 f(x),f(,1),2f(x),f(1),2 maxmin?对于区间,1,1上任意两个自变量x、x 12都有|f(x),f(x)|?|f(x),f(x)| 12maxmin即|f(x),f(x)|?|2,(,2)|,4. 122(3)f(x),3x,3,3(x，1)(x,1) 3?曲
19、线方程为f(x),x,3x?点A(1m)不在曲线上 3设切点为M(xy)则点M的坐标满足y,x,3x 000003x,3x,m002232因f(x),3(x,1)故切线的斜率为3(x,1),3x，m，3,0. 整理得2x00000x,10?过点A(1m)可作三条切线 3232?关于x的方程式2x,3x，m，3,0有三个实根设g(x),2x,3x，m，3 0000002则g(x),6x,6x由g(x),0得x,0或x,1 00000032?函数g(x),2x,3x，m，3的极值点为x,0x,1 0000032?关于x的方程2x,3x，m，3,0有三个实数根的充要条件是g(1)g(0),0即(m，
20、3)(m，2),0 000解得,3,m,2故所求实数a的取值范围是,3,m,2. 13222(2009?福建，21)(本小题满分12分)已知函数f(x),x，ax，bx，且f(,1),0. 3(1)试用含a的代数式表示b; (2)求f(x)的单调区间; (3)令a,1，设函数f(x)在x、x(x,x)处取得极值，记点M(x，f(x)，N(x，f(x)(证明:线段MN与曲线f(x)12121122存在异于M，N的公共点( 命题意图:本小题主要考查函数、导数等基础知识考查推理论证能力、运算求解能力考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想( 解析:解法一:(1)依题意得 2f
21、(x),x，2ax，b. 由f(,1),1,2a，b,0得b,2a,1. 1322(2)由(1)得f(x),x，ax，(2a,1)x故f(x),x，2ax，2a,1,(x，1)(x，2a,1)( 3令f(x),0则x,1或x,1,2a. ?当a,1时1,2a,1. 当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如下表: x (,?1,2a) (1,2a,1) (,1，?) f(x) ， , ， f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 由此得函数f(x)的单调增区间为(,?1,2a)和(,1，?)单调减区间为(1,2a,1)( ?当a,1时1,2a,1.此时f(x)?0恒成立且仅在x,1处f(x),0故
22、函数f(x)的单调增区间为R. ?当a,1时1,2a,1同理可得函数f(x)的单调增区间为(,?,1)和(1,2a，?)单调减区间为(,1,1,2a)( 综上所述:当a,1时函数f(x)的单调增区间为(,?1,2a)和(,1，?)单调减区间为(1,2a,1), 当a,1时函数f(x)的单调增区间为R, 当a,1时函数f(x)的单调增区间为(,?,1)和(1,2a，?)单调减区间为(,1,1,2a)( 132(3)当a,1时得f(x),x,x,3x. 32由f(x),x,2x,3,0得x,1x,3. 12由(2)得f(x)的单调增区间为(,?,1)和(3，?)单调减区间为(,1,3)所以函数f(
23、x)在x,1x,3处取得125极值(故M(,1)N(3,9)( 38所以直线MN的方程为y,x,1. 3132y,x,x,3x,332由得x,3x,x，3,0. ,8 y,x,1,332令F(x),x,3x,x，3. 易得F(0),3,0F(2),3,0而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线故F(x)在(0,2)内存在零点x这0表明线段MN与曲线f(x)有异于MN的公共点( 解法二:(1)同解法一( (2)同解法一( 132,1时得f(x),x(3)当a,x,3x. 32由f(x),x,2x,3,0得x,1x,3. 12由(2)得f(x)的单调增区间为(,?,1)和(3，?)单调减区间为(,1,3)所以函数f(x)在x,1x,3处取得12极值 5故M(,1)N(3,9)( 38所以直线MN的方程为y,x,1. 3132y,x,x,3x,332由得x,3x,x，3,0. ,8 y,x,1,3解得x,1x,1x,3. 123x,1x,11,x,3,3,?, 511 y,y,y,9.,1 2 3,3311所以线段MN与曲线F(x)有异于MN的公共点(1,)( 3