最新高考数学常识点[精品]优秀名师资料.doc

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1、2011高考数学常识点精品2011高考数学知识点2011高考数学知识点.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长,这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面第一部分 集合 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ?任何一个集合是它本身的子集，记为 ; ?空集是任何集合的子集，记为 ; ?空集是任何非空集合的真子集; 如果 ，同时 ，那么A = B. 如果 . 注 ?Z= 整数(?) Z =全体整数 ()?已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.()(例:S=N; A= ，则CsA= 0) ? 空集的补集是全集. ?若

2、集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ). 3. ?(x，y)|xy =0，x?R，y?R坐标轴上的点集.?(x，y)|xy,0，x?R，y?R 二、四象限的点集. ?(x，y)|xy,0，x?R，y?R 一、三象限的点集.注:?对方程组解的集合应是点集. 例: 解的集合(2，1). ?点集与数集的交集是 . (例:A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则A?B = )4. ?n个元素的子集有2n个. ?n个元素的真子集有2n ,1个. ?n个元素的非空真子集有2n,2个. 5. ? ?一个命题的否命题为真，它的逆命题一定

3、为真. 否命题 逆命题. ?一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.例:?若 应是真命题. 解:逆否:a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.? . 解:逆否:x + y =3 x = 1或y = 2. ,故 是 的既不是充分， 又不是必要条件. ?小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 例:若 . 6.De Morgan公式 CuA? CuB = Cu(A? B) CuA? CuB = Cu(A? B) 第二部分 函数 1. 函数的三要素:定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可

4、能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间(0，1)上为减函数，在区间(1，2)上为减函数，就不能说函数在 上为减函数. 3. 反函数定义:只有满足 ，函数 才有反函数. 例: 无反函数.函数 的反函数记为 ，习惯上记为 . 在同一坐标系，函数 与它的反函数 的图象关于 对称. 注:一般地， 的反函数. 是先 的反函数，在左移三个单位. 是先左移三个单位，在 的反函数. 4. ?单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ?如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.?设函数y = f(x)定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f(

5、x)在X上是增(减)函数，那么反函数 在Y上一定是增(减)函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ?一般地，如果函数 有反函数，且 ，那么 . 这就是说点( )在函数 图象上，那么点( )在函数 的图象上. 5. 指数函数: ( )，定义域R，值域为( ). ?当 ，指数函数: 在定义域上为增函数; ?当 ，指数函数: 在定义域上为减函数. ?当 时， 的 值越大，越靠近 轴; 当 时，则相反. 6. 对数函数:如果 ( )的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，记作 ( ，负数和零没有对数);其中 叫底数， 叫真数.?对数运算: (以上 ) 注?:当 时， . ?:当 时，取

6、“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“”.例如: 中x,0而 中x?R). ? ( )与 互为反函数. 当 时， 的 值越大，越靠近 轴;当 时，则相反. 7. 奇函数，偶函数: ?偶函数: 设( )为偶函数上一点，则( )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足?定义域一定要关于 轴对称，例如: 在 上不是偶函数.?满足 ，或 ，若 时， . ?奇函数: 设( )为奇函数上一点，则( )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ?定义域一定要关于原点对称，例如: 在 上不是奇函数.?满足 ，或 ，若 时， . 8. 对称变换:?y = f(x) ?y =f(x) ?y

7、=f(x) 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化，例如: 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f(x)= 1+ 的定义域为A，函数ff(x)的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 解: 的值域是 的定义域 ， 的值域 ，故 ，而A ，故 .11. 常用变换: ? . 证: ? 证: 12. ?熟悉常用函数图象: 例: ? 关于 轴对称. ? ? ? 关于 轴对称. ?熟悉分式图象: 例: 定义域 ， 值域 ?值域 前的系数之比. 第三部分 直线和圆 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小

8、正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 . 注:?当 或 时，直线 垂直于 轴，它的斜率不存在.?每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点 ，即直线在 轴， 轴上的截距分别为 时，直线方程是: . 注:若 是一直线的方程，则这条直线的方程是 ，但若 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程 ，当 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果 变化时，对应的直线也

9、会变化.?当 为定植， 变化时，它们表示过定点(0， )的直线束.?当 为定值， 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行: ? 两条直线平行的条件是:? 和 是两条不重合的直线. ?在 和 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线 ，它们在 轴上的纵截距是 ，则 ? ，且 或 的斜率均不存在，即 是平行的必要不充分条件，且 )推论:如果两条直线 的倾斜角为 则 ? . ?两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:?设两条直线 和 的斜率分别为 和 ，则有 这里的前提是 的斜率都存在. ? ，且 的斜率不

10、存在或 ，且 的斜率不存在. (即 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角: ?直线 到 的角(方向角);直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ，当 时 .?两条相交直线 与 的夹角:两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，则有 . 5. 过两直线 的交点的直线系方程 为参数， 不包括在内) 6. 点到直线的距离: ?点到直线的距离公式:设点 ，直线 到 的距离为 ，则有 .?两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 ，它们之间的距离为 ，则有 . 7. 关于点对称和关于某直

11、线对称: ?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程?)，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程?)?可解得所求对称点. 注:?曲线、直线关于一直线( )对称的解法:y换x，x换y. 例:曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. ?曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的

12、对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程. 1. ?曲线与方程:在直角坐标系中，如果某曲线 上的 与一个二元方程 的实数建立了如下关系: ?曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ?以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 其坐标与方程 的一种关系，曲线上任一点 是方程 的解;反过来，满足方程 的解所对应的点是曲线上的点. 注:如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 为圆心， 为半径的圆的标准

13、方程是 .特例:圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是: . 注:特殊圆的方程:?与 轴相切的圆方程 ?与 轴相切的圆方程 ?与 轴 轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程: . 当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径 . 当 时，方程表示一个点 . 当 时，方程无图形(称虚圆).注:?圆的参数方程: ( 为参数). ?方程 表示圆的充要条件是: 且 且 . ?圆的直径或方程:已知 (用向量可征). 4. 点和圆的位置关系:给定点 及圆 . ? 在圆 内 ? 在圆 上 ? 在圆 外 5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 : ; 直线 : ; 圆心 到直线 的距离 . ? 时， 与 相切; 附:若两

14、圆相切，则 相减为公切线方程. ? 时， 与 相交; 附:公共弦方程:设 有两个交点，则其公共弦方程为 . ? 时， 与 相离. 附:若两圆相离，则 相减为圆心 的连线的中与线方程.由代数特征判断:方程组 用代入法，得关于 (或 )的一元二次方程，其判别式为 ，则: 与 相切; 与 相交; 与 相离. 注:若两圆为同心圆则 ， 相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程:圆 的斜率为 的切线方程是 过圆 上一点 的切线方程为: . ?一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 . ?若点(x0 ,y0)不在圆上，

15、圆心为(a,b)则 ，联立求出 切线方程.7. 求切点弦方程:方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD四类共圆. 已知 的方程 ? 又以ABCD为圆为方程为 ? ?，所以BC的方程即?代?，?相切即为所求.第四部分 三角函数 1. ?与 (0? ,360?)终边相同的角的集合(角 与角 的终边重合): ?终边在x轴上的角的集合: ?终边在y轴上的角的集合: ?终边在坐标轴上的角的集合: ?终边在y=x轴上的角的集合: ?终边在 轴上的角的集合: ?若角 与角 的终边关于x轴对称，则角 与角 的关系: ?若角 与角 的终边关于y轴对称，则角 与角 的关系: ?若角 与角 的

16、终边在一条直线上，则角 与角 的关系: ?角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系: 2. 角度与弧度的互换关系:360?=2 180?= 1?=0.01745 1=57.30?=57?18 注意:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域: 三角函数 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx 4. 三角函数的公式: (一)基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 (二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二公式组三 公式组四 公式组五 , , , . 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: (A、

17、,0) 定义域 R R R值域 R R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶当 奇函数 单调性 上为增函数; 上为减函数( ) ;上为增函数 上为减函数 ( ) 上为增函数( ) 上为减函数( ) 上为增函数; 上为减函数( ) 对称性 对称轴为 ，对称中心为 ， 对称轴为 ，对称中心为 无对称轴， 对称中心为 无对称轴， 对称中心为 对称轴是直线 凡是该图象与直线 的交点都是该 图象的对称中心 注意:? 与 的单调性正好相反; 与 的单调性也同样相反.一般地，若 在 上递增(减)，则 在 上递减(增). ? 与 的周期是 . ? 或 ( )的周期 . 的周期为2 (

18、，如图，翻折无效). ? 的对称轴方程是 ( )，对称中心( ); 的对称轴方程是 ( )，对称中心( ); 的对称中心( ). ?当 ? ; ? . ? 与 是同一函数,而 是偶函数，则 . ?函数 在 上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， 为增函数，同样也是错误的. ?定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数: ，奇函数: ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: 是奇函数， 是非奇非偶.(定义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 的定义域，则 一定有 .( 的定义域，则

19、无此性质) ? 不是周期函数; 为周期函数( );是周期函数(如图); 为周期函数( ); 的周期为 (如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如: . ? 有 . 第五部分 向量与解三角形 1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意:?若 为单位向量，则 . ( ) 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ?若 ，则 ? . (?) 2. ? = ? ? ?设 (向量的模，针对向量坐标求模) ?平面向量的数量积: ? ? ? 注意:? 不一定成立; . ?向量无大小(“大于”、“小于”对向量无意义)，向量的模有大小. ?长度为0的向量叫零向量，记 ， 与任意向量平行，

20、的方向是任意的，零向量与零向量相等，且 . ?若有一个三角形ABC，则 0;此结论可推广到 边形.?若 ( )，则有 . ( ) 当 等于 时， ，而 不一定相等.? ? = ， = (针对向量非坐标求模)， ? . ?当 时，由 不能推出 ，这是因为任一与 垂直的非零向量 ，都有 ? =0. ?若 ? ， ? ，则 ? ()当 等于 时，不成立.3. ?向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 (平行向量或共线向量). 当 与 共线同向:当 与 共线反向;当 则为 与任何向量共线.注意:若 共线，则 () 若 是 的投影，夹角为 ，则 ， (?) ?设 = ， ? ? ?设

21、 ，则A、B、C三点共线 ? = ( ) ( )= ( )( ) ( )?( )=( )?( ) ?两个向量 、 的夹角公式: ?线段的定比分点公式:( 和 ) 设 = (或 = )，且 的坐标分别是 ，则 推广1:当 时，得线段 的中点公式: 推广2: 则 ( 对应终点向量). 三角形重心坐标公式:?ABC的顶点 ，重心坐标 : 注意:在?ABC中，若0为重心，则 ，这是充要条件.?平移公式:若点P 按向量 = 平移到P ，则 4. ?正弦定理:设?ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则 . ?余弦定理: ?正切定理: ?三角形面积计算公式: 设?ABC的三边为a，b，c，其高分

22、别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.?S?=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ?S?=Pr ?S?=abc/4R ?S?=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA ?S?= 海伦公式 ?S?=1/2(b+c-a)ra如下图=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb注:到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图: 图1中的I为S?ABC的内心， S?=Pr 图2中的I为S?ABC的一个旁心，S?=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线

23、相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.?已知?O是?ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c 注:s为?ABC的半周长,即 则:?AE= =1/2(b+c-a) ?BN= =1/2(a+c-b) ?FC= =1/2(a+b-c)综合上述:由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4). 特例:已知在Rt?ABC，c为斜边，则内切圆半径r= (如图3). ?在?ABC中，有下列等式成立 . 证明:因为 所以 ，所以 ， 结论 ?在?ABC中，D是BC上任意一点，则

24、. 证明:在?ABCD中，由余弦定理，有 ? 在?ABC中，由余弦定理有 ?，?代入?，化简 可得， (斯德瓦定理) ?若AD是BC上的中线， ; ?若AD是?A的平分线， ，其中 为半周长; ?若AD是BC上的高， ，其中 为半周长. ?ABC的判定: ?ABC为直角? ?A + ?B = , ?ABC为钝角? ?A + ?B, , ?ABC为锐角? ?A + ?B, 附:证明: ，得在钝角?ABC中， ?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.第六部分 数列 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ; ; 通项公式 ( ) 中项 ( ) ( ) 前 项和 重要性质 1. ?等差、

25、等比数列: ?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ? ?2 ( ) ? ( 为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ? ? ( ， )? 注?:i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即 a、b、c等比数列.ii. (ac,0)?为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. ?为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且 ?为a、b、c等比数列的充要.注意:任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac,0，则等比中项一定有两个. ? ( 为非零常数). ?正数列 成等比的充要条件是数列 ( )成等比数列.?数列 的前 项和 与通项 的关系: 注: ? ( 可为零也可不为零?为等差数列

26、充要条件(即常数列也是等差数列)?若 不为0，则是等差数列充分条件).?等差 前n项和 ? 可以为零也可不为零?为等差的充要条件?若 为零，则是等差数列的充分条件;若 不为零，则是等差数列的充分条件. ?非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.(不是非零，即不可能有等比数列) 2. ?等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍 ; ?若等差数列的项数为2 ，则 ; ?若等差数列的项数为 ，则 ，且 ， . 3. 常用公式:?1+2+3 +n = ? ? 注:熟悉常用通项:9，99，999， ; 5，55，555， .4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题: ?生产部门中有增

27、长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为: ?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款: = . ?分期付款应用题: 为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清; 为年利率. 5. 数列常见的几种形式: ? (p、q为二阶常数) 用特证根方法求解. 具体步骤:?写出特征方程 ( 对应 ，x对应 )，并设二根 ?若 可设 ，若 可设 ;?由初始值 确定 . ? (P、r为常数) 用?转化等差，等

28、比数列;?逐项选代;?消去常数n转化为 的形式，再用特征根方法求 ;? (公式法)， 由 确定. ?转化等差，等比: . ?选代法: . ?用特征方程求解: . ?由选代法推导结果: . 6. 几种常见的数列的思想方法: ?等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法: 一是求使 ，成立的 值;二是由 利用二次函数的性质求 的值.?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: ?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

29、公差是两个数列公差 的最小公倍数. 第七部分 不等式 1. ?平方平均?算术平均?几何平均?调和平均(a、b为正数):(当a = b时取等) 特别地， (当a = b时， ) 幂平均不等式: ?含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数): ? ? ( ， ); ( ) ?绝对值不等式: ?算术平均?几何平均(a1、a2an为正数): (a1=a2=an时取等) ?柯西不等式:设 则 等号成立当且仅当 时成立.(约定 时， ) 例如: . ?常用不等式的放缩法:? ? 2. 常用不等式的解法举例(x为正数): ? ? 类似于 ? 第八部分 导数1. 导数(导函数的简称)的定义:设 是函数 定义域

30、的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相应的增量 ;比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率;如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 ，即 = .注:? 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零. ?以知函数 定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 关系为 .2. 函数 在点 处连续与点 处可导的关系: ?函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续. 事实上，令 ，则 相当于 . 于是 ?如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的.例: 在点 处连续，但在点 处不

31、可导，因为 ，当 ,0时， ;当 ,0时， ，故 不存在. 注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ?可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点P 处的切线的斜率是 ，切线方程为 4. 求导数的四则运算法则: ( 为常数) 注:? 必须是可导函数.?若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如:设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和 在 处均可导. 5. 复合函数的求导法则: 或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6.

32、 函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数 在某个区间内可导，如果 ,0，则 为增函数;如果 ,0，则 为减函数. ?常数的判定方法; 如果函数 在区间 内恒有 =0，则 为常数. 注:? 是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时f(x) = 0，同样 是f(x)递减的充分非必要条件. ?一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在 附近所有的点，都有 , ，则 是函数 的极大值，极小值同理) 当函数 在点 处连续时， ?如果在

33、 附近的左侧 ,0，右侧 ,0，那么 是极大值;?如果在 附近的左侧 ,0，右侧 ,0，那么 是极小值.也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0?. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点?. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注?: 若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如:函数 ， 使 =0，但 不是极值点. ?例如:函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别:极值是

34、在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. ( 为常数) ( ) II. III. 求导的常见方法: ?常用结论: . ?形如 或 两边同取自然对数，可转化求代数和形式.?无理函数或形如 这类函数，如 取自然对数之后可变形为 ，对两边求导可得 第九部分 立体几何 一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.(?两个平面平行，?两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.(?三条直线在一个平面

35、内平行，?三条直线不在一个平面内平行) 注:三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z三个方向)二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点;平行直线共面没有公共点;异面直线不同在任一平面内 注:?两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.()(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ?直线在平面外，指的位置关系:平行或相交 ?若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内. ?两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ?在平

36、面内射影是直线的图形一定是直线.()(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ?在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.()(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ? 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围 ) (直线与直线所成角 ) (斜线与平面成角 ) (直线

37、与平面所成角 ) (向量与向量所成角 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.是异面直线，则过 外一点P，过点P且与 都平行平面有一个或没有，但与 距离相等的点在同一平面内. ( 或 在这个做出的平面内不能叫 与 平行的平面) 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”) 注:?直

38、线 与平面 内一条直线平行，则 ? . ()(平面外一条直线) ?直线 与平面 内一条直线相交，则 与平面 相交. ()(平面外一条直线) ?若直线 与平面 平行，则 内必存在无数条直线与 平行. (?)(不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之) ?两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. ()(可能在此平面内) ?平行于同一直线的两个平面平行.()(两个平面可能相交)?平行于同一个平面的两直线平行.()(两直线可能相交或者异面)?直线 与平面 、 所成角相等，则 ? .()( 、 可能相交)3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

39、个平面相交，那么这条直线和交线平行.(“线面平行，线线平行”)4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ? 若 ? ， ? ，得 ? (三垂线定理)， 得不出 ? . 因为 ? ，但 不垂直OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

40、注:?垂直于同一平面的两个平面平行.()(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行) ?垂直于同一直线的两个平面平行.(?)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面) ?垂直于同一平面的两条直线平行.(?) 5. ?垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，?射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;?相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;?垂线段比任何一条斜线段短. 注:垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.() ?射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四

41、、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.(“线面平行，面面平行”)推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. 注:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.(“面面平行，线线平行”)4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直，面

42、面垂直”)注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明:如图，找O作OA、OB分别垂直于 ， 因为 则 . 6. 两异面直线任意两点间的距离公式: ( 为锐角取加， 为钝取减，综上，都取加则必有 ) 7. ?最小角定理: ( 为最小角，如图) ?最小角定理的应用(?PBN为最小角) 简记为:成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一

43、定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. ?直棱柱侧面积: ( 为底面周长， 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ?斜棱住侧面积: ( 是斜棱柱直截面周长， 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.?四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体. 直四棱柱 平行六面体=直平行六面体. ?棱柱具有的性质: ?棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.?

44、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:?棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. ()(直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ?(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ?平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ，则 .推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ，则 . 注:?有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

45、.()(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ?各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.()(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) ?对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.()(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形) ?棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注:?一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ?一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 . ?正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.注:i. 正四棱锥的各个侧

46、面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正?侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形. ?正棱锥的侧面积: (底面周长为 ，斜高为 ) ?棱锥的侧面积与底面积的射影公式: (侧面与底面成的二面角为 )附: 以知 ? ， ， 为二面角 .则 ?， ?， ? ?得 .注:S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).?棱锥具有的性质: ?正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高). ?正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ?棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ?棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底