《最新高考数学应考复习精品资料解题技巧第四讲+数列与优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学应考复习精品资料解题技巧第四讲+数列与优秀名师资料.doc（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2010年高考数学应考复习精品资料解题技巧第四讲 数列与阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 2010年高考数学应考复习精品资料?解题技巧 第四讲 数列与探索性新题型 【考点透视】 1(理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2(理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3(理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4(数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列
2、，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】 考点1 正确理解和运用数列的概念与通
3、项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题 例1(在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球;第2，3，4，堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，fn()_,则;(答案用n表示) f3_,， 思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。 解答过程:显然. f310,，第 1 页 共 19 页 阳光家教网 中
4、国最大找家教、做家教平台 nn1，第n堆最低层(第一层)的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数aaaa,，,n12n2nn1，11222相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 fnaaa(12n).,，,，,，12n222nn1n2，所以: f(n),6例2(将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表(从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次n全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 ( 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪:计算图形中相应1的数
5、量的特征，然后寻找它们之间的规律。 221,21,解:第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，3n21,21,第3次全行的数都为1的是第=7行，?，第次全行的数都为1的是第行;n521,第61行中1的个数是 =32( n21,应填，32 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见aan,a1,的类型进行解题。如“逐差法”若且;我们可把各个差列出来进行求和，nn1,1a可得到数列的通项. ,nnn1， aaaaaaaa,，,，,，,，,，,nn121.，nnn1n1n2211,2an1，a1,再看
6、“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。 ,，1n1anaaann12, ,aann1n221n!，n1aaan1n21,另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3( 1aaa，数列中，(是常数，)，且成公比不为的cn,123，a,2aaacn,，,1231nn，1n等比数列( (I)求的值;(II)求的通项公式( ca,n第 2 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 1aaa，思路启迪:(1)由成公比不为的等比数列列方程求; c123(2)可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的
7、一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式. 解:(I)， a,2ac,，2ac,，231232aaa，因为成等比数列，所以，解得或( c,0c,2(2)2(23)，,，cc123c,2当时，不符合题意舍去，故( c,0aaa,123(II)当时，由于 n?2， ， ， aac,aac,2aanc,(1)2132nn,1nn(1),所以( aancc,，,12(1)n122又，故( c,2a,2annnnn,，,，,2(1)2(23)，1nn,1当时，上式也成立， 2所以( annn,，,2(12)，n小结:从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，
8、这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视. x11例4(已知数列满足，(若， 则 ( B ) xn,3,4,lim2x,x,xxx,，nn2nnn,12,n223(,) (,) , (,) , (,) , 2思路启迪:对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程:， . 2xxx,，？,xxxxnn1n1,nn1n2n,xxxx,3213,xxxx,4324,相叠加. xxxxxx,，,n212nn1,xxxx,n1n2n3n1,xxxx,nn1n2n,x1， . ？，,2xx2xx,nn11,22， ， ，. ？,2
9、x6x3,limx2,lim2xxlim2x，,，11nnn11,nnn,1解答过程2:由得: xxx,，nnn,122111， ,，,，,x+xxxxxxnn1n1n2211,222第 3 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 1, ，因为. limx2,limxxx，,nnn11,nn,2,所以:. x3,11解答过程3:由得: xxx,，nnn,122211,xxxxxx，,nn1n1n2n2n322,n2n1,11,， ,xxx，,21122,23n1,111,从而 ;. xxx,xxx,xxx,321,431nn11,222,23n1,，111,叠加得:. xx
10、x,，,，,n21,222,，n2,n2,，,，1111,， . xxx1,，,limxlimxx1,，,n21,n21,nn,6262,，,x11 ， 从而. x3,2x,，1126小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推akadn2,k1,，,关系式。对连续两项递推，可转化为 ，nn-1dd,akadan2,，,;对连续三项递推的关系 ，n1nn-1，aka,nn1,1k1k,2,、如果方程有两个根，则上递推关系式可化为 xkxd=0,或. aaaa,aaaa,，n1nnn1，,n1nnn1，,aS考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用 nnS
11、n=1,1aSSa与的关系:，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，nnnna,nSS n2,nn1,an2,在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适aSS,1nnn1,aSaS合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子. nnnn例5( 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于nSSaa，1a,2,nn1nn( ) n，1n22,(A) (B) (C) (D) 31,2n3n命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 n,1过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 aa，1aq,2,nnn22(1)(1)(1)
12、22aaaaaaaaaaaa，,，,，,，,，,nnnnnnnnnnnn，12112221 2,，,aqqq(12)01n第 4 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 即，所以，故选择答案C. Sn,2a,2nn例6.已知在正项数列a 中，S 表示前n项和且，求a . 2Sa1,，nnnnnaS思路启迪:转化为只含或者只含的递推关系式. nn解答过程1:由已知，得当n=1时，a=1;当n?2时， 2Sa1,，1nna = S ,S ，代入已知有，. ,2SSS1,，SS2S1,，nnn1nnn1,n1nn,2，又，故. a0,SS,SS1,SS1,nnn1,，n1n,n1
13、n，是以1为首项，1为公差的等差数列， SS1,S,nn1,n故. Sn,a2n1,nn解答过程2:由已知，得当n=1时，a=1;当n?2时 2Sa1,，1nn222a1，a1a1，,nnn1因为，所以. a,S,nn222,2222， 4aa2aa2a,，,a2aa2a0,nnnn1n1nnn1n1，因为， aaaa20，,a0,，nnn1nn1,所以，所以. a2n1,aa2,nnn1,考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用 n1,对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明. ,a1,a2a1,，a例7
14、(已知数列满足 (n?N) ,1n1n，n(?)求数列的通项公式; a,nbb1,b1b1b1,n312n(?)若数列满足 (n?N*),证明: 是等差数列; 4444a1，,，bb,nnn思路启迪:本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化 *aanN,，,21(),nn，1解答过程: (I)解: ？，,，aa12(1),nn，1 a1，a12，, 是以为首项，2为公比的等比数列。 ,n1n2*？，,a12.anN,21().nn 即 bb1,b1b1b1,n312n (II)证法一: ， 4444a1，,，n(bb.b)b，,nn12nn？,
15、42. ？，,2(.),bbbnnb12nn ? 第 5 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 2(.)(1)(1).bbbbnnb，,，,，1211nnn， ? 2(1)(1),bnbnb,，,nnn，11 ?,?，得 (1)20,nbnb,，,nn，1 即 ? nbnb,，,(1)20.nn，21 ? nbnbnb,，,20,nnn，21 ?,?，得 *？,bbbbnN(),bbb,，,20,nnnn，211nnn，21 即 故是等差数列. b,n考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 qa,a,n,dS在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方
16、程的思想，1nna便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差(或1q公比)。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 mnpq，,，aaaaa，,，(1)等差数列中，若，则;等比数列中，若,a,nmnpqnmnpq，,，aaaa,，则 . mnpqS(2)等差数列中，成等差数列。其中是等差数列aS,SS,SS,SS,nnn2nn3n2nknkn1,，q1,的前n项和;等比数列中()，成等比数列。其aS,SS,SS,SS,nn2nn3n2nkn,kn1，S中是等比数列的前n项和; na(3)在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. a,nn(4)在等差数列中
17、，; . S2n1a,Snaa,，a，,2n1n,2nnn1，n在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例8(已知等差数列的前n项和为S，若，且A、B、C三点共线OaB,OAaOC，an,1200n(该直线不过原点O)，则S,( ) 200A(100 B. 101 C.200 D.201 命题目的:考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。 过程指引:依题意，a，a,1，故选A 1200例9(某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a，以1后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0
18、), 因此，历年所交纳的储备金数目a, a, 是12一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r(r0),那么, 在第n年末，第一年所交纳的第 6 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 ,n1n2储备金就变为 a(1+r)，第二年所交纳的储备金就变成 a(1+r)，. 以T表12n示到第n年末所累计的储备金总额. (?)写出T与T(n?2)的递推关系式; ,nn1(?)求证T=A+ B，其中A是一个等比数列，B是一个等差数列. nnnnn命题目的:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和
19、基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解:(I)我们有 T,T(1，r)，a(n,2).nn,1n(II)反复使用上述关系式，得 T,a,对n,2112 T,T(1，r)，a,T(1，r)，a(1，r)，a,？nn,1nn,2n,1nn,1n,2 ? a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a,12n,1n在?式两端同乘1+r，得 nn,12 ? (1，r)T,a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a(1，r).nn,n121?,?，得 ,nn1n2？rT,a(1，r)，d(1，r)，(1，r)，(1，r),an1n
20、dnn,(1，r),1,r，a(1，r),a,1nrar，dar，ddn11即T,(1，r),n,.n22rrr ar，dar，ddn11如果记A,(1，r),B,n,nn22rrr则T,A，B,nnnar，d1其中|A|是以(1，r)为首项,以1，r(r,0)为公比的等比数列;n2rar，ddd1|B|是以,首项,为公差的等差数列.n2rrr2(解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用( 考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次na1q,，aa1n11q1,函
21、数.等比数列的前n项和公式()，因此可以改写为Sq,n1q1q1q,nSaqb (ab0),，,q1,Sna,是关于n的指数函数，当时，. nn12例10(已知数列的前n项和S=n,9n,第k项满足5a8,则k= anknA(9 B(8 C(7 D(6 思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力( aSSn,210解:此数列为等差数列，由52k-10a; na,n(3)记(n=1,2,)，求数列b的前n项和S( lnb,nnnaa,n,fx()思路启迪:(1)注意应用根与系数关系求的值;(2)注意先求;(3)注意利用,的关系( 2,(),f
22、xxx()1,，,解:(1)?，是方程f(x)=0的两个根， ,，,1515?( ,22115aaa(21)(21)，,2nnnaa，,1nn244aaa,fxx()21,， (2)， 1nnn，2121aa，nn51151,51,4(21)a，,a,1=，?，?由基本不等式可知(当且仅当a,a,0n121a，421222n51,51,51,时取等号)，?同，样，(n=1,2,)( a,a,0a,23n222()()aaa,nnn,，,1,，,1 (3)，而，即， aaa,，(1),，1nnn2121aa，nn22()a,()a,nnbb,2，同理，又a,a,nn，1，nn1121a，21a，
23、nn13535,，, b,lnln2ln112,35,，35nS,( 2(21)lnn2第 13 页 共 19 页 阳光家教网 中国最大找家教、做家教平台 【专题训练】 一.选择题 1.已知a是等比数列，且a0，aa+2 aa+aa=25，那么a+ a的值等于nn24546353( ) A.5 B.10 C.15. D.20 2.在等差数列a中，已知a+a+a+a+a= 20，那么a等于( ) n123453A.4 B.5 C.6 D7. S31103.等比数列a的首项a=,1,前n项和为S,若，则S等于( ) limn1nn,n,32S522 C.2 D.,2 A. B.,3324.已知二
24、次函数y=a(a+1)x,(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d,d，,d,则 (d+d+d)的值是( ) lim12n12nn,A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题 5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0log(ab)0,S0知q0， nnn因aa+2 aa+ aa=25， 24546332435所以，aq aq+2aqaq+aqaq=25， 11111122222即aq(1+ q)=25， aq(1+ q)=5， ？112422得a+ a= aq+aq= aq(1+ q)=5 . 故选择答案A . 3511122解法二:因a是等比数列，aa= a，aa= a ， ？n244635222原式可化为 a+