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1、2013高考数学必备经典例题：2函数?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 映例1.若，,则到的映射有 ABA,1,2,3,4B,a,b,c映射:设非空数集A，B，若射 个，到的映射有 个;若，BAA,1,2,3对集合A中任一元素a，在集, 则到的一一映射有 个。 ABB,a,b,c合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f:A,Bn映射，记为f:A?B，f表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映2，nn对应法则，b=f(a)。若A中不射下，象20的原象是 ( ) f同元素的象也不同，且B中每(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 一个元
2、素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。 函S，扇形面积为，则例3.已知扇形的周长为20，半径为r1.函数定义:函数就是定义在数 ;定义域为 。 S,f(r),非空数集A，B上的映射，此2时称数集A为定义域，象集x,3x,4f(x),例4. 求函数的定义域. C=f(x)|x?A为值域。 x，1,22.函数的三要素:定义域，值 域，对应法则. 从逻辑上讲， 定义域，对应法则决定了值 域，是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法:列出使 函数有意义的自变量的不等 关系式，求解即可求得函数的 定义域.常涉及到的依据为:?例5. 若函数的定义域为,1,1，求函数y,f(x)分母不为0;
3、?偶次根式中被11y,f(x，),f(x,)的定义域。 开方数不小于0;?对数的真44数大于0，底数大于零且不等 于1;?零指数幂的底数不等于零;?实际问题要考虑实际 意义等. 注:求函数定义域是通过解关 于自变量的不等式(组)来实 现的。函数定义域是研究函数 性质的基础和前提。函数对应 法则通常表现为表格，解析式 和图象。 2函4.函数值域的求法:?配方法(二次或四1,x数 次);?判别式法;?反函数法(反解法);gxxfgx()12,(),例6.已知 (x,0), 求,2x?换元法(代数换元法);?不等式法;?单调函数法. 1f(). 注:?求函数值域是函数中常见问题，在2初等数学范围内，
4、直接法的途径有单调 性，基本不等式及几何意义，间接法的 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 途径为函数与方程的思想，表现为?法， 反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值(极值)更加方便. ?常用函数的值域，这是求其他复杂函 数值域的基础。 ?函数的值域为R;y,kx，b(k,0,x,R) 2?二次函数 当 y,ax，bx，c(a,0,x,R)24acb,时值域是,当a,0 ,)，,4a的值域. 例7. 求函数4acbyxx,，,2412,时值域是;?,(a,0 4a k反比例函数的值
5、域y,(k,0,x,0) x 为; ?指数函数y|y,0 x 的值域为y,a(a,0,且a,1,x,R) ，R;?对数函数 y,logxa 的值域为R;?(a,0,且a,1,x,0)函数的值yxyxxR,sin,cos() 域为-1，1;函数 ,例8. 下列函数中值域为的是( ) ，0，,y,tanx,x,k， y,cot x ,21,x1的值域为R; (x,k,k,Z)1,2,x (A) (B) y,5y,3,x1,xy,1(C) (D) y,1,2,2,单函数的单调区间可以是整个定义域，也2例9.讨论函数的单调性。 f(x),1,x调可以是定义域的一部分. 对于具体的函 性 数来说可能有单
6、调区间，也可能没有单 调区间，如果函数在区间(0，1)上为 减函数，在区间(1，2)上为减函数， (，)(，)0112:就不能说函数在上 为减函数. 单1单调性:研究函数的单调性应x,1调y,2例10. 函数在定义域上的单调性为( ) 结合函数单调区间，单调区间性 (A)在，,1上是增函数，在1,，,上是增函数;(B)减应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法:?定，函数(;C)在,1上是减函数，在1,，,上是减函数(;D)增函数 义法(作差比较和作商比较);例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证:f g (x)在 R?图象法;?单调性的运算性上也是增函数。 质(实质上
7、是不等式性质); ?复合函数单调性判断法则; ?导数法(适用于多项式函 数) 函数单调性是函数性质中最 活跃的性质，它的运用主要体 现在不等式方面，如比较大? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 小，解抽象函数不等式等。 奇例12.判断下列函数的奇偶性: a,b1.?偶函数:.设()f(,x),f(x)偶,a,b为偶函数上一点，则()也是图1，x性 f(x),(x,1), ?象上一点. 1,x?偶函数的判定:两个条件同时满足? 定义域一定要关于轴对称，例如:y 2在上不是偶函数.?满 1,1)y,x，
8、1足，或f(,x),f(x) ， f(,x),f(x),022?, f(x),x,11,xf(x),1若时，. f(x),0 f(,x) a,b2.?奇函数:.设()f(,x),f(x) ,a,b为奇函数上一点，则()也是图 象上一点. ?奇函数的判定:两个条件同时满足? 定义域一定要关于原点对称，例如:2,xxx，,(0)3,在上不是奇函数.?满足1,1)y,x? fx(),2xxx,(0)，或， f(,x),f(x)f(,x)，f(x),0,f(x),1若时，. f(x),0 f(,x) 注:函数定义域关于原点对称是判 断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进 行，同时
9、灵活运用定义域的变形， fx(),如，(f(x)fxfx()()0, ,1fx() ?0) 反21.反函数定义:只有满足例13.求函数 (,1? x 0)的反函数 y,1,1,x函xy,，函数才有y,f(x) 唯一数 2反函数. 例如:无反函yx, y,f(x)数.函数的反函数记 ,1为，习惯上记为x,f(y) ,1 . y,f(x) 2.求反函数的步骤:?将 y,f(x) ,1看成关于x的方程,解出， xf,(y) 若有两解，要注意解的选择; ,1x,y?将互换，得;y,f(x) ?写出反函数的定义域(即 y,f(x)的值域)。 23x， fx(),例14.已知，函数y=g(x)图象与 x,
10、1,13.在同一坐标系，函数y,f(x)的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。 yfx,，(1),1与它的反函数的图 y,f(x)? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? y,x象关于对称. ,1注:一般地，的fxfx(3)(3)，,， ,1 反函数. 是先的 fx()fx(3)， 反函数，在左移三个单位. 是先左移三个单位，在fx(3)， 的反函数. fx() 反4.?单调函数必有反函数，但并非例15. 若函数的图象经过，那么yfx,()(0,1)函反函数存在时一定是单调的.因的反函数图象经过
11、点( ) yfx,，(4)数 此，所有偶函数不存在反函数. (A) (B) (4,1)(,1,4)?如果一个函数有反函数且为奇(C) (D) (1,4)(,4,1)函数，那么它的反函数也为奇函 数. ?设函数y = f(x)定义域，值域 xx，1,1分别为X、Y. 如果y = f(x)在X例16. 设，则_. ，fx,4,2f0,上是增(减)函数，那么反函数 ,1在Y上一定是增(减)yfx,() 函数，即互为反函数的两个函数增x减性相同. y,n(n,R)例17. 函数与y,mx，1(x,R),?一般地，如果函数有反y,f(x)2,1互为反函数的充要条件是_. 函数，且，那么. fab(),f
12、(b),aa,b这就是说点()在函数y,f(x) b,a图象上，那么点()在函数 ,1 的图象上. y,f(x) -1注:1.函数f(x)的反函数f(x)的性 质与f(x)性质紧密相连，如定义域、 值域互换，具有相同的单调性等，1ax，b-1(2,)例18. 若点既在函数的图象上，又在它的反y,2把反函数f(x) 4的问题化归为函数f(x)的问题是处b函数的图象上，则a=_，=_ 理反函数问题的重要思想。 2.设函数f(x)定义域为A，值域为 -1C，则? ff(x)=x,(x,A)?-1ff(x)=x,(x,C) xx,2指y,a1.指数函数:(aa,0,1)，a,0a,1(，且)的图象必经
13、过点例19.函数y,a，1数0,，,定义域R，值域为().?当( ) 函(A)(0，1) (B)(1，1) xa,1y,a，指数函数:在定义域上数(C) (2， 0) (D) (2，2) 与01,a为增函数;?当，指数函数:3对x3log2,log9，2log()例20. y,a在定义域上为减函数.?当777数22xa,1y,aa时，的值越大，越靠近函 ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 数 01,a轴;当时，则相反. y xyz指2.对数函数:如果 且, 例21.设3,4,6ax,y,z,(0,
14、，,)数()的次幂等于baa,0,1函111b? 求证:;?比较的大小. ，,3x,4y,6z数a,N，就是，数就叫做以Nbx2yz与为底的的对数，记作aN 对(，负数和logN,baa,0,1 a数 函零没有对数);其中叫底数，a 数 N叫真数. ?对数运算: ?log()loglogMNMN,，aaa M?logloglog,MNaaa例22.已知 ， , f(x),1，log3g(x),2log2Nxxn?loglogMnM,试比较的大小。 f(x)和g(x)aa1n?loglogMM,aa n Nloga?aN, logNb?换底公式:logN, alogab ?推论:logloglo
15、g1bca,abc2y,log(x,3x,18)例23.求函数的单调减区间，并用,loglog.loglogaaaaaaanan123n1211,2以上(0,0,0,1,0,1,MNaabb,单调定义给予证明。 cca,0,1,.,01)aa,且 12n 2例如:log2log(2logxxx,？aaa 2中x,0而中x?R). logxa 例24. 求下列函数的定义域、值域: 212,x,1 y,2,y,log(,x，4x，5)?; ? 14 3 xy,a?(aa,0,1)与 y,logx互为反函数. a a,1y,logxa当时，的值越大， a01,ax越靠近轴;当时，则相反. ? ? ?
16、 ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 图y轴对称13x，7?y = f(x) ,y,f(,x)的图象与的图象的关系。 例25.讨论函数y,y,象x轴对称x，2x?y =f(x) ,y,f(x)变换 原点对称?y =f(x) ,y,f(,x)?y=f(x)?y=f(|x|),把,轴上方的图象保留，,轴下方的图象关于,轴对称 ?y=f(x)?y=|f(x)|把,轴右边的图象保留，然后将,轴右边部分关于,轴对称。(注意:它是一个偶函数) ?伸缩变换:y=f(x)?y=f(x), y=f(x)?y=Af(x+)具体参
17、照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论:若f(a,x),f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 一a,0a,01.一元一次函数:，当时，是增函数;当时，是减函数; y,ax，b(a,0)次 函2b2bacb4,数2.一元二次函数:一般式:;对称轴方程是;顶点为;x,y,ax，bx，c(a,0)(,),2a与24aa二两点式:;对称轴方程是 ;与轴的交点为 ;顶点式:y,a(x,x)(x,x)x12次2;对称轴方程是 ;顶点为 ; y,a(x,k)，h函数 a,0a,0?一元二次函数的单调性: 当时: 为增函数; 为减函数;当时: 为增函数; 为减函数; 2?二次函数求最值
18、问题:首先要采用配方法，化为的形式， y,a(x,k)，ha,0(?)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当时:在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较a,0远的端点处取得;当时:在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得; a,0(?)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大a,0值在距离对称轴较远的端点处取得;当时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得; 2一?二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程的两根为;x,xf(x),ax，bx，c,012次则: 函数根的情xxk?,xxk?, x,k,x1
19、21212与况 二次或在区间(k,，,)在区间上在区间上(k,，,)(,k)函等价命数 题 (,k)上有一根 有两根 有两根 ?0,?0,充要条 b,b, a?f(k)0 ,k,k,件 2a2a,afk,()0。,afk,()0。,? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? afp,()0,另外:?二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq) ,afq,()0。,f(q),0f(p),0,?二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)?f(q)0，或(检验)或,a,f(p),0a,f(
20、q),0,(检验)。 ?若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的m,nf(x),0(m,n)情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 x,nx,m注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 一例26. 当0?x?1时，函数y=ax+a,1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是( ) 次111(A)a1 (C)a1 (D)a1 函222数23与例27.已知函数在上递增，则的取值范围是( ) a(,1f(x),ax，(a,a)x，1二a?3,33?a(A) (B) 次函(C)03,a? (D),30?a 数
21、22例28. 已知二次函数的图像开口向上，且，则f(0),1f(1),0f(x),ax，(a，b)x，cb实数取值范围是( ) 33(,0)(A) (B) (C) (D) 0,，,)(,1)441,x,0,f(x)f(x),0,x,0例29.设函数，则方程的解为 . x，1,(2x,1),1,x,0,答案 4334例1. , ,6; 例2. C 例3.,对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要根据(10),rr(0,10)实际意义来确定。 例4. 解:?解析式有意义的充要条件是: 2,xx,340?xx?或?,41,xxx3314或?或? ,x，,120xx,31且,2x,3x,4f(
22、x),xxx,3314或?或?函数的定义域为 x| x，1,2? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 153,，,11?xx,33,444例5. 解:要使函数有意义, 必须: ,?x,13544,11?xx,4441133，?的定义域是. y,f(x，),f(x,),4444，2(1),t11,31，,21,t32，,tt1tx,12例6.解一: 令, 则 , ? 44x,f()15,ft(),22212(1),t12,，tt11,，441211(),11解二:令 则 ? x,412,xf()15,4
23、2122()4tx,1例7. 解:设 则 t?0 2222?x=1,t代入得 y=f (t )=2(1,t)+4t=,2t+4t+2=,2(t,1)+4 ,4?t?0?y?4?所求值域为 ，,例8. B 例9. 解:定义域 x|,1?x?1,在,1,1上任取x,x且xx 121222fxx()1,fxx()1,则, 112222(1)(1),xx2212fxxx()11,= fx()21212211,，,xx1222xxxxxx,，,()()212121,= 22221111,，,，,xxxx121222110，,xxxx,xx,0 ?,另外，恒有 122112fx()fx()0,fx()fx
24、()x ?若,1?x?0 则 x+x0 则, 12121122fx()fx()0,fx()fx()若x0 则, 12121122? 在,1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。 例10. C xxR,例11. 证:任取 且 x x ?g (x) 在R上是增函数,?g (x) g (x), 1 21212又?f (x) 在R上是增函数,?f g (x) f g (x)而且 x 0时, ,x0 有f (,x) = x,x = ,(x,x); 2,(x，x)(x,0)22当 x0 有f (,x) = ,x,x = ,(x+x)? f(,x),f(x),2,(x,x)(x,0),?此函数为奇函数
25、. 222 例13.解:? ,1?x 0,?0 x ? 1 ,?0?1 , x 1,? 0 ? 1 , 1,x22x,2y,y?0 y ?1由:解得: (? ,1?x 0 ) y,1,1,x22?(,1? x 0)的反函数是:( 0 x ?1 ) y,1,1,xy,2x,x-1例14.解:利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函数， ,1从而化g(x)问题为已知f(x)。? xfy，,1()xfy,()1yfx,，(1)3,1?的反函数为即? g(11)=f(11)-1= yfx,()1gxfx()()1,yfx,，(1)2评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系， -1
26、当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f(b). 例15. B 例16. 1 1例17. m=2,n= 21210b,例18. a=，= 7711(2,)(,2)解:由已知在反函数的图象上，则必在原函数的图象上 4412,1,2a，b2a，b,2a,2,11,74(2,)(,2)所以原函数经过点和则，所以，解得 ,111044a，b,1a，b,b,44,22,7,? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 例19.D 3322，()22例20.解:原式 ,log,log1,0 779xyz例21.
27、?证明:设, 346,klgklgklgkk,1 ?,?取对数得:, y,xyz,(0,),，,x,z,lg4lg3lg611lg3lg42lg3lg42lg32lg2lg61，? ，,，,xykkkkkz2lg2lg2lg2lglg64lglgk34lg64lg81,8134lg()lg0xykk,?,?, 34xy,lg3lg4lg3lg4lg3lg49lglgk,46lg36lg64,1646lg()lg0yzkk,又?, lg4lg6lg2lg6lg2lg6?,? 4y,6z346xyz,3xfxgx()()log,例22. 解: x4x,101,x,4,x,01x?当或 时 fxgx
28、()(),3x3x3,101,4,434x,1即x?当时 fxgx()(),43x,001,x,4,x,1x?当或 时 fxgx()(),3x,3x3,101,4,44x,，,(0,1)(,)综上所述:时fxgx()(),; 344x,x,(1,)时fxgx()(),fxgx()(),时; 332xxxx,318063或(6,，,)例23. 解:?定义域 ,?单调减区间是. ? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?精诚凝聚 =_= 成就梦想 ? 22设 则 , xxxx,(6,),，,且yxx,log(318)yxx,log(318
29、)1212212211112222?=,又?, ()(3)xxxx,，,xx,6(318)xx,(318)xx,212121112222?,?, xx,0xx，,30xx,318,xx31821212211101,又?底数,?, yy,0yy,212122?函数y,log(x,3x,18)在上是减函数. (6,)，,1221,x12例24?解:要使函数有意义，则须:即: ,?20,xx1211?4211,x122,11?x?,?从而 ,?, ,10?x,211?x24221111,x1?,?,?定义域为-1,1，值域为0, 020?y244222?要使函数有意义，则须:,x，4x，5,0,x,4x,5,0,1,x,5 22由0459?,，xx,1,x,5,?在此区间内 , ? (,x，4x，5),9max2log(45)log92,，,xx?从而 即:值域为, y?,21133?定义域为-1,5，值域为 ,2,，,)37x，3611x，1y,，3y,例25.解:?可由的图象向左平移两个单x，2xx，22x11y,y,，3位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。 x，2x，2例26.D 例27. D 例28. D 1，17例29. x=0，2或, 4? ? ? ? ? ? ? ? ?点亮心灯 /(v) 照亮人生 ? ? ? ? ? ? ? ? ?