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1、高考数学必背公式1天利考试信息网 天时地利 考无不胜 高考数学常用公式及结论200条(一) 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 xAxCA,xCAxA,. UU2.德摩根公式 CABCACBCABCACB();(),. UUUUUU3.包含关系 ,ABCBCA ABAABB,UU,CABR,ACB UU4.容斥原理 cardABcardAcardBcardAB()(),，,cardABCcardAcardBcardCcardAB()(),，,. ,，cardABcardBCcardCAcardABC()()()()nnn,aaa 5(集合的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集
2、有 122212nn个;非空的真子集有2个. 26.二次函数的解析式的三种形式 2fxaxbxca()(0),，,(1)一般式; 2fxaxhka()()(0),，,(2)顶点式; fxaxxxxa()()()(0),(3)零点式. 127.解连不等式常有以下转化形式 NfxM,(), NfxM,()()()0fxMfxN,fxN(),MNMN，,0, |()|fx,Mfx,()2211,. ,fxNMN(),(k,k)f(k)f(k),08.方程f(x),0在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后12122ax，bx，c,0(a,0)者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根
3、在k，kb12(k,k)f(k)f(k),0f(k),0f(k),0内,等价于,或且,或且k,121212122ak，kb12,k. 222a9.闭区间上的二次函数的最值 b2f(x),ax，bx，c(a,0),p,qx, 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区2a间的两端点处取得，具体如下: bb(1)当a0时，若，则; ,x,p,qfxffxfpfq()(),()(),(),nmamixmax2a2ab，. ,x,p,qfxfpfq()(),(),fxfpfq()(),(),maxmaxminmin2ab(2)当a0) (1)，则的周期T=a; f(x),f(x，a)f(x)(2)f(x),
4、f(x，a),0， 1f(x，a),(f(x),0)或， f(x)1fxa()，,或, ()0)fx,fx()12或,则f(x)的周期T=2a; ，,，,fxfxfxafx()()(),()0,1),21f(x),1,(f(x),0)(3)，则f(x)的周期T=3a; f(x，a)f(x)，f(x)12fafxfxxxa()1()()1,0|2),f(x，x),(4)且，则1212121,f(x)f(x)12f(x)的周期T=4a; (5)fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)， ,则f(x)的周期T=5a; ,，fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)f(x，a
5、),f(x),f(x，a)f(x)(6)，则的周期T=6a. 30.分数指数幂 4 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 m1,namnN,0,(1)(，且). a,n,1nmam,1,namnN,0,(2)(，且). a,n,1mna31(根式的性质 nn(1). ()aa,nn(2)当为奇数时，; naa,aa,0,nn当为偶数时，. naa,|,aa,0,32(有理指数幂的运算性质 rsrs，aaaarsQ,(0,)(1) . rsrs()(0,)aaarsQ,(2) . rrr()(0,0,)abababrQ,(3). p注: 若a,0p是一个无理数则a表示一个确定的实数(上述有理指数
6、幂的运算性质对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 b .(0,1,0)aaN,logNbaN,a34.对数的换底公式 logNmlogN, (,且,且,). a,0a,1m,0m,1N,0alogamnn推论 (,且,且,). loglogbb, mn,0,a,0a,1m,1n,1N,0maam35(对数的四则运算法则 若a,0，a?1，M,0，N,0，则 log()loglogMNMN,，(1); aaaM(2) ; logloglog,MNaaaNn(3). loglog()MnMnR,aa2236.设函数,记.若的定义域为f(x),b,4acf(x),log(ax，bx
7、，c)(a,0)mRR,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要f(x)a,0,0a,0,0a,0单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1ybx,log() 若,则函数 x,a,0b,0x,0axa11ybx,log() (1)当时,在和上为增函数. (,)，,(0,)ab,axaa11ybx,log() (2)当时,在和上为减函数. ，(,)，,(0,)ab,axaa推论:设，且，则 p,0nm,1a,0a,1(1). log()lognpn，,mpm，5 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 mn，2(2). logloglogmn,aaa238. 平均增长率的问题 py如果原来
8、产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有xxyNp,，(1). .数列的同项公式与前n项的和的关系 39sn,1,1saaa,，a( 数列的前n项的和为). a,nnn12nssn,2,nn1,40.等差数列的通项公式 *; aanddnadnN,，,，,(1)()n11其前n项和公式为 naa()，nn(1),1n s,，nad1n22d12. ,，,nadn()12241.等比数列的通项公式 ann,1*1,()aaqqnN; n1q其前n项的和公式为 n,aq(1),1,1q,s, 1,q,n,naq,1,1,aaq,1n,1q,1,q或. s,n,1naq,1,aaqad
9、abq,，,(0)42.等比差数列:的通项公式为 nnn，11bndq，,(1),1,nn,1a,; bqdbqd，,(),n,1q,q,1,其前n项和公式为 nbnndq，,(1),(1),ns,. dqd1,n(),(1)bnq,，,111,qqq,43.分期付款(按揭贷款) nabb(1)，x,每次还款元(贷款a元,n次还清,每期利率为). bn(1)1，,b44(常见三角不等式 ,(1)若，则. x,(0,)sintanxxx,26 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 ,(2) 若，则. 1sincos2,，,xxx,(0,)2(3) . |sin|cos|1xx，,45.同角三角函
10、数的基本关系式 ,sin22，=，. sincos1,，,tan,tan1,cotcos,46.正弦、余弦的诱导公式 n,2(1)sin,(n为偶数) n,sin()，, ,n,1 2,2(1)s,co,(n为奇数) (n为偶数) n,2 (1)s,co,n, cos(),，,，(n为奇数) 1n2,2(1)sin,47.和角与差角公式 ; sin()sincoscossin,; cos()coscossinsin,tantan,tan(),. ,1tantan,22sin()sin()sinsin,，,(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin,，,. 22,=(辅助角所在象限
11、由点的象限决ab，sin(),(,)ababsincos,，b定, ). tan,a48.二倍角公式 . sin2sincos,2222. cos2cossin2cos112sin,2tan,. ,tan2,2,1tan,49. 三倍角公式 ,3. sin33sin4sin4sinsin()sin(),，,33,3.cos34cos3cos4coscos()cos(),，,3333tantan,tan3tantan()tan(),，. ,213tan33,50.三角函数的周期公式 ,函数yx,，sin(),，x?R及函数yx,，cos(),，x?R(A,为常数，且A?0，2,0)的周期;函数y
12、x,，tan(),，(A,为常数，且A,xkkZ,，,T,2,?0，,0)的周期. T,7 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 51.正弦定理 abc. ,2RsinsinsinABC52.余弦定理 222; abcbcA,，,2cos222; bcacaB,，,2cos222. cababC,，,2cos53.面积定理 111hhh、1)(分别表示a、b、c边上的高). (Sahbhch,abcabc222111(2). SabCbcAcaB,sinsinsin222122(3). SOAOBOAOB,(|)(),OAB254.三角形内角和定理 在?ABC中，有 ABCCAB，,，,()C
13、AB,，. ,，222()CAB,22255. 简单的三角方程的通解 ksin(1)arcsin(,|1)xaxkakZa,，, . . coxaxkakZas2arccos(,|1),. tanarctan(,)xaxkakZaR,，,特别地,有 ksinsin(1)(),，,kkZ. . cokkZscos2(),. tantan(),，,kkZ56.最简单的三角不等式及其解集 . sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,，,sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,，,. . cos(|1)(2arccos,2arccos),
14、xaaxkakakZ,，,. cos(|1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ,，, . tan()(arctan,),xaaRxkakkZ,，,2,. tan()(,arctan),xaaRxkkakZ,，,257.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么 (1) 结合律:(a)=()a; (2)第一分配律:(+)a=a+a; (3)第二分配律:(a+b)=a+b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a?b= b?a (交换律); (2)(a)?b= (a?b)=a?b= a?(b); ,(3)(+b)?c= ?c +b?c. a a59.平面向量基本定理 如果e
15、、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且128 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 只有一对实数、，使得a=e+e( 121122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 12(向量平行的坐标表示 60(,)xy,xyxy0(,)xy, 设a=,b=，且b0，则ab(b0). 1122122153. a与b的数量积(或内积) a?b=|a|b|cos( 61. a?b的几何意义 数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积( 62.平面向量的坐标运算 (,)xy(,)xy(,)xxyy，(1)设a=,b=，则a+b=.
16、11221212(,)xy(,)xy(,)xxyy,(2)设a=,b=，则a-b=. 11221212(,)xy(,)xy (3)设A，B,则. ABOBOAxxyy,(,)11222121(4)设a=，则a=. (,),xyR,(,),xy,(,)xy()xxyy，(,)xy(5)设a=,b=，则a?b=. 1122121263.两向量的夹角公式 xxyy，1212(,)xy(,)xy(=,b=). acos,11222222xyxy，,，112264.平面两点间的距离公式 d =|ABABAB, AB,22,，,()()xxyy(,)xy(,)xy(A，B). 1122212165.向量的
17、平行与垂直 (,)xy(,)xy,设a=,b=，且b0，则 1122,xyxy0A|b,b=a . 1221,，,xxyy0,ab(a0),a?b=0. 121266.线段的定比分公式 PPPxy(,)Pxy(,)设，是线段的分点,是实数，且，则 Pxy(,)PPPP,1112221212，,xx,12,x,OPOP，,，1,12OP, ,yy，1，,12,y,1，,1,(). ,OPtOPtOP,，,(1)t12,，167.三角形的重心坐标公式 B(x,y)C(x,y)A(x,y)?ABC三个顶点的坐标分别为、,则?ABC的重心的坐112233xxxyyy，123123标是. G(,)336
18、8.点的平移公式 ,xxhxxh,，, . ,，OPOPPP,yykyyk,，,PPPxy(,)注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为，且的(,)hk坐标为. 69.“按向量平移”的几个结论 9 天利考试信息网 天时地利 考无不胜 Pxhyk(,)，(1)点按向量a=平移后得到点. Pxy(,)(,)hk(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式yfx,()(,)hkCCC为. yfxhk,，()(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数(,)hkyfx,()CCCC解析式为. yfxhk,，,()(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则
19、的方程为fxy(,)0,(,)hkCCC. fxhyk(,)0,(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=. (,)xy(,)hk(,)xy三角形五“心”向量形式的充要条件 70.设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 ABC,abc,O,ABC2221)为的外心. (O,ABC,OAOBOC(2)为的重心. ,，,OAOBOC0O,ABC(3)为的垂心. ,OAOBOBOCOCOAO,ABC(4)为的内心. ,，,aOAbOBcOC0O,ABC，A(5)为的的旁心,，aOAbOBcOC. O,ABC71.常用不等式: 22(,1)(当且仅当a,b时取“=”号)( abR,abab
20、，,2ab，abR,(2),ab(当且仅当a,b时取“=”号)( 2333abcabcabc，,3(0,0,0).(3) (4)柯西不等式 22222()()(),.abcdacbdabcdR，,，, (5). a,b,a，b,a，b72.极值定理 x,y已知都是正数，则有 xypx,y(1)若积是定值，则当时和有最小值; 2px，y12x,yxy(2)若和是定值，则当时积有最大值. ssx，y422(x，y),(x,y)，2xy推广 已知x,y,R，则有 xy(1)若积是定值,则当最大时,最大; |x,y|x，y|当|x,y|最小时,|x，y|最小. (2)若和|x，y|是定值,则当|x,y|最大时, |xy|最小; 当|x,y|最小时, |xy|最大. 22axbxc，,0(0)或(0,40)abac,73.一元二次不等式，如果a与22同号，则其解集在两根之外;如果a与异号，则其解集在两根之axbxc，axbxc，间.简言之:同号两根之外，异号两根之间. xxxxxxxxx,()()0(); 121212xxxxxxxxxx,()()0()或. 12121274.含有绝对值的不等式 22xaxaaxa,当a 0时，有. 22xa,xaxaxa,或. 10