最新高考数学快速提升成绩题型训练—恒成立问题优秀名师资料.doc

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1、高考数学快速提升成绩题型训练恒成立问题21. （1）若关于xa的不等式x,ax,a,0的解集为，求实数的取值范(,，,)2围；（2）若关于xax,ax,a,3的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围2322 三个同学对问题“关于x的不等式在上恒成立，求xxxax，,2551,12,实数a的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a的取值范围. ,23. 已知向量，axxbxt

2、,，,(,1),(1,),fx,a,b若函数在区间,1,1上是增函，数，求t的取值范围. 34. 已知函数,，其中是的导函fxxaxgxfxax,，,31,5fxfx，数. （1）对满足ax,11a的一切的值，都有gx,0，求实数的取值范围； ，2（2）设mam,yfx,，当实数在什么范围内变化时，函数的，图象与直线只有一个公共点. y,325. 求与抛物线Eyax:,C相切于坐标原点的最大圆的方程. 26. 设fxaxxa()22.,a,Rfx()0,，二次函数若的解集为， AaBxxAB,|13,，求实数的取值范围. ,127. 已知函数，gx,ax，bxfx,lnxa,0，. 2用心 爱

3、心 专心 若，且，存在单调递减区间，求a的取值范围； hx,fx,gxb,223,x8. 设fxxaxbex()()(),，,R是函数的一个极值点. x,3（?）求aa与的关系式（用表示），并求的单调区间； fx()bb252x（?）设，gxae()(),，,若存在,0,4,使得成a,0fg()()1,12124立，求a的取值范围. 24x,79. 已知函数f(x),x,0,1. 2,x（1）求的单调区间和值域； f(x)32（2）设，,gx,x,3ax,2a,x,0,1,，函数,若对于任意x,0,1,总存a,11在,x,0,1g(x),f(x)使得成立，求a的取值范围. 001,，10. 求

4、实数ax的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有：,0,2，122，x，,，x，a,，a,32sincossincos。 83211. 已知fxmxmxnx()3(1)1,，x,1是函数的一个极值点，其中mnmnRm,0,。（I）求与的关系式；（II）求fx()的单调区间；（III）当mmx,1,1yfx,()时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取,值范围. 12. 设数列的前项和为，已知1，6，11，且 anSaaann123(58)(52),1,2,3,nSnSAnBn,，,，,，其中A,B为常数. nn，1（?）求A与B的值； （?）证明数列a为等差数列； n（?）证明不等式5

5、1aaa,对任何正整数m、n都成立. mnmn213. 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x+ax+12a+x恒成立的x的取值,范围。 用心 爱心 专心 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，fx(),1,1f(1)1,ab,1,1,fafb()()，有，（1）证明在上的单调性；（2）若,0ab，,0,1,1fx(),ab，2mfxmam()21,，对所有恒成立，求的取值范围。 a,1,1,215. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。 ymxmxm,，68216. 已知函数afxxaxa()3,，,，在R上恒成立，求的取值范围。 fx()0,17. 若a时，恒成立，求的取值范围。

6、 x,2,2fx()0,18. 若a时，恒成立，求的取值范围。 x,2,2fx()2,219. 若对任意的实数xsin2cos220xkxk，,，恒成立，求的取值范围。 k分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。 xx20. 已知函数fxab()lg(),，常数ab,10，求（1）函数yfx,()的定义域； （2）当a、b满足什么条件时fx()在区间1,，,上恒取正。 ，答案： 221.（1）设x，fx,x,ax,ax,ax,a,0.则关于的不等式的解集为，,fx,0,，,fx,0(,，,)在上恒成立, min24a，a即，fx,0,4,a,0解得 min422（2）设x，f

7、x,x,ax,ax,ax,a,3.则关于的不等式的解集不是空集，,fx,3,，,fx,3在上能成立, min用心 爱心 专心 24a，a，fx,3,即解得或. a,6a,2min42. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映. 设232. fxxxxgxax,，,255,，甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数， 设232 fxxxxgxax,，,255,，其解法相当于解下面的问题： 对于a,若恒成立,求的取值范围. xx,1,12,1,12fxgx,，,1212所以，甲的解题思路与题目a,恒成立,求的取值范围x,1,12fxgx

8、,，,的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题. 232按照丙的解题思路需作出函数的图象和 fxxxx,，,255，的图象,然而,函数的图象并不容易作出. gxax,fx，fx，由乙的解题思路,本题化为,a在x,1,12上恒成立,等价于x,1,12,x，fx，时, ,a成立. ,x，minfx，25由,，,xxx5x,51,1210a,10在时,有最小值,于是,. ,xx2323. 依定义f(x),x(1,x)，t(x，1),x，x，tx，t, 2,则f(x),3x，2x，t. ,，fx,1,1fx,0,1,1在区间上是增函数等价于在区间上恒成立; 2而,，t,3x,2x，fx,0,1,

9、1,1,1在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立; 用心 爱心 专心 2，设gx,3x,2x,x,1,1 进而，在区间，上恒成立等价于， t,gx,x,1,1t,gx,1,1max11,2考虑到，gx,3x,2x,x,1,1在上是减函数,在上是增函数, ,1,1,33,则，. 于是, t的取值范围是. gx,g,1,5t,5max24. 解法1.由题意a，这一问表面上是一个给出参数gxxaxa,，,335，x的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以gx,0gx，a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 2 令，则对，恒有，,11a,axax,，,335,11agx,0，即

10、a，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函,a,0,11a,a,0,a，数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此 2,10,320,xx,，,只需 即 ,2,10，380.xx，,2解得,x1. 32,故x,1a时，对满足,11a的一切的值，都有gx,0. ，,3,2解法2.考虑不等式gxxaxa,，,3350. ，2由,，,aa36600,11a知,于是,不等式的解为 22aaaaaa,，,，36603660 ,x. 66但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a的条件,还应进一步完善. 22aaaaaa,，,，36603660为此,设gaha,. ，66不等式化为gaxhaa,

11、11恒成立,即 ，gaxhaa,11. ，maxmin用心 爱心 专心 2aaa,，3660ga,由于在上是增函数,则,11a，62, gag,1，max32aaa，,，3660ha,在上是减函数,则所以, ,11ahah,11.，min62,x1. 32,故x,1a时，对满足的一切的值，都有. ,11agx,0，,3,25. 因为圆Eyax:,与抛物线相切于坐标原点,所以,可设C222Cxyrr:，,. ，由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆Pxy,0,0CE，的外边.设和圆心的距离为d,则本题等价于 Cr0,P，22dxyrr,，, ? ，在的条件下,恒成立. y,01整理?式得

12、yr,2 ? a1于是,本题又等价于?式在yr,2y,0的条件下,恒成立.即, mina11由y,002,rr,得 ,即. mina2a1所以,符合条件的最大圆的半径是r,C,最大圆的方程为 2a2211,2 xy，,22aa,6.解法一：由题设,a,0. 1111 x,，2,x,，2,xx,0,0fx,0的两个根为显然,. ，121222aaaa(1) 当a,0Axxxx,时, ,12用心 爱心 专心 11，2 ABx,1,a2.,122aa(2) 当时, , a,0Axxxxxx,12116 ，2ABx,3,3a. 22aa76,于是,实数a的取值范围是. ,，,2,，,7,解法二: 1(

13、1) 当,0时,因为的图象的对称轴，则对，最大，a,0fxx,1,3f1，afxfaaa,1220.2.，max(2) 当时, 在或实现, a,0fxx,1,3,f1f3，max6由faa3760,则 fafa120,376,，76,于是,实数a的取值范围是,，,2,. ，,7,这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考. 127. 只研究第（I）问.b,2时,h(x),lnx,ax,2x， 22ax，x,121则,()2.hx,ax, xx因为函数,hx存在单调递减区间，所以hx()0,有解. ，由题设可知,，hx0,，,的定义域是 , 而,，hx,00,，,hx,00,，,在上

14、有解,就等价于在区间能成立, 12即,，x,0,，,a,uxa, 成立, 进而等价于成立,其中min2xx12，,ux. 2xx2121,由，,uxux,1,1,1得,. ,min2xxx,用心 爱心 专心 于是, a,1由题设,所以a的取值范围是， ,1,0:0,，,a,08. 本题的第（?） “若存在a,0,4,使得成立，求的fg()()1,1212取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在fxx,0,4gx，,的值域的交集非空，则一定存在,0,4,使得成立，x,0,4fg()()1,1212如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要fxx,0,4gxx,0,4，,这两个值域的

15、距离的最小值小于1即可. 3由（?）可得,函数，在的值域为, fxx,0,4,，23,6aea，,，2525,224又在的值域为, gxx,0,4aae，,，,44,，存在,0,4,使得成立，等价于或fg()()1,fxgx,1，12maxmin12252a，容易证明,. gxfx,1,，a6，maxmin4,25,2aa，,，,61,，3,于是, . ,0a4,2,a,0.,2,4x，16x,7(2x,1)(2x,7)9. （1）对函数f(x)求导，得 ,f(x),22(2,x)(2,x)17 令,f(x),0解得 x,或x,.2211 可以求得，当x,(0,)x,(,1)f(x)f(x)时

16、，是减函数；当时，是增函数. 22当x,0,1f(x),4,3时，的值域为. ,22（2）对函数,g(x),3(x,a).g(x)求导，得 2因为,g(x),3(1,a),0.a,1x,(0,1)，当时， 因此当g(x)x,(0,1)时，为减函数， 从而当x,0,1g(x),g(1),g(0).时有 用心 爱心 专心 2又g(1),1,2a,3a,g(0),2a, 2即123,2.,aaa时有的值域为是 x,0,1gx()如何理解“任给，存在x,0,1使得x,0,1f(x),4,3011”， g(x),f(x)01实际上，这等价于值域是值域的子集，即f(x)gx()2123,24,3.,aaa

17、这就变成一个恒成立问题，的最小值不小于f(x)的最小值，的最大值不大于的最大值 gx()f(x)gx()2? ,aa1,2,3,4,即 ,? a,2,3.,5解?式得 a,1或a,； 33解?式得a,. 23又1,a,.a,1，故a的取值范围为 21210. 提示：原不等式，,a,a,32sincossincos ,47 答案：a,6a,或 211. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) nm,，36（II）当22,，,1(1,1)，m,0时，fx()在单调递减，在单调递增，在(1,)，,上单调,m,m2递减.（III）为,mxxmfxm()3,x,1,1对恒成立，即3(1)(1

18、+)3 ,m2?mxx0，?(1)(1+)1(*) m1?xm=1时，(*)化为01恒成立，?0 2?xxx,?1时，?1,1，?2?10 21运用函数思想将(*)式化为xx,(1)，令=1，则2,0，ttmx,11记gtt(),gt()，则在区间2,0是单调增函数； t13?gtg()(2)2, min,22用心 爱心 专心 2344m由(*)式恒成立，必有，又0，则 ,m,m0m2334综合1?、2 ?得 ,m032分析二：（III）中的,mxmx,，,2(1)20，即对恒成立， fxm()3,x,1,1,222222?即? xmx,，,(1)0xmxx,，,(1)0,1,1m,0,mmm

19、m122运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设gxxx()2(1),，mm再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知?式恒成立， 22,g(1)0,120，,44,?解之得,m又所以,m0 m,0,mm,33g(1)0,10,4即m(,0),的取值范围为。 3通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。 12. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a、a、a求出s、s、12312sa,s,s(n,1)代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推3nnn,1导得证数列a为等差数列.由于a=1+5(n-1)=5n-4，故第三

20、问即是证明nn5(5mn4)(5m4)(5n4)1对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：2(5m4)(5n4)20(mn)37，而基本不等式得到：2(5m4)(5n4)5(mn)8，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数m、n都能成立。 通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。 13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于

21、a的一次函数大于0恒成立的问题。 2解：原不等式转化为(x-1)a+x-2x+10, 2设f(a)= (x-1)a+x-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有： 2,xx,4，3,0x,3或x,1f(,2),0,即解得： ,2x,1或x,1f(2),x,1,0,?x3. 14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字用心 爱心 专心 mmax母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。 fx()（1） 简证：任取且，则 xx,xx,1,1,x1,1,12122fxfx()()，12,0 又是奇函数 ？,，,xxf

22、xfx()()0fx()，1212xx,12在上单调递增。 ？,xxfxfx()()0？fx(),1,1，,12122（2） 解：fxmam()21,，对所有，恒成立，即 x,1,1a,1,1,222mamf,，,21？,，,？,mammam21120ff,(1)1， maxmax1,a,ga(1)120,，,22即？gaamm()20,，,在上恒成立。 ,1,1？,1ga(1)120,a,211？,a。 22215. 分析：该题就转化为被开方数mxmxm，,680在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。 22略解：要使mxmxm，,680在R上恒成立，即在R上ymxmxm,，68恒成立

23、。 m,0时，80, ？,m0成立 1m,0, m,0时，？,01m 2,2,，,36483210mmmm，,由01,m，可知， 1216. 分析：yfx,()的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。 22略解：,，,aaaa434120？,62a ，22aa,17. fx(),2,2ga()fxxa()3,，,，令在上的最小值为。 ,24,7a?当,2？,aa,4a,4gafa()(2)730,，即时， 又 23用心 爱心 专心 ？a不存在。 2aaa?当gafa()()30,，,，即时， 又,22,44a？,62a242,44a？,42aa?当,2，即时， 又 a,4gafa()(2)7

24、0,，,？,a7a,42？,74a总上所述，。 ,72a18. 解法一：分析：题目中要证明a在上恒成立，若把移到等号f(x),a,2,2,的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 ,2,2,22 略解：fxxaxa()320,，,fxxaxa()10,，,，即在上成立。 ,2,2,2?？,，222222a ,aa410，2,aa4(1)0,f(2)0,?,？,5,a,22,2 f(2)0,2 2 aa,22或,22综上所述，,5,a,22,2。 解法二：（利用根的分布情况知识） 5a?当？a,2？,，,a4,，即a,4时，gafa()(2)732, 不存，23在。 2aa

25、a?当gafa()()32,，,22，即,44a时，24222,2,a,22,2？,4,a,22,2 a?当,2a,4gafa()(2)72,，,？,a5？,54a，即时， 2综上所述,5,a,22,2。 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。 219. 解法一：原不等式化为cos2cos210xkxk,，, 222令fttktktkkk()22121,，,，t,1t,1,1，则，即在上tx,cos，,用心 爱心 专心 恒大于0。 1?若，要使，即， 不存在 k,k,1ft()0,f(1)0,？k22?若？,，1212kfkkk()210,，,，若使，

26、即 ,11kft()0,？,121k ?若，要使，即， k,1ft()0,f(1)0,k,1由?，?，?可知，？,k12。 2解法二：fttktk()2210,，,，在上恒成立。 ,1,1,2?,？,，kkk2101212 2,kk210,f(1)0,?？,，k12 ,f(1)0,kk,11或,由?，?可知，k,12。 xxxx20. 解：（1）fxab()lg(),？,ab0 又ab,10 ？,x0 定义域xx|0, ,xxaabblnln,xx（2）,？,fx()fxab()lg(), ？,fx()0 xxab,？fx()在0,，,上单调递增 ？fx()在1,，,上单调递增，？,fxf()(1) ，要使fx()在1,，,上恒正，只须fxf()(1)0,，即lg()0lg1ab, ，？,ab1ab,10且。 用心 爱心 专心