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1、高考数学最后冲刺必读题解析21更多考试资料，尽在资格考试题库 高考数学最后冲刺必读题解析(21) 20(本小题满分12分) aa,a,a 已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，n2341且公比 q,1.a,12a (1)求数列的通项公式; n2bb (2)已知数列满足是数列的前n项和， b,loga,Snnnnn12n,5时,aS,1. 求证:当nna,a,2(a,a).20(解:(1)由已知得 233422q,3q，1,0 从而得 1 解得(舍去) 4分 q,或q,121n 所以 6分 a,().421n(n，1)n2log()2(1),.b,n,S,nn，aS, (2
2、)由于 n1nnnn222n2,n(n，1)(n,5.) 因此所证不等式等价于: ?当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立; k2,k(k，1),?假设n,k(k,5)时不等式成立，即 k，12,(k，1)(k，2).两边同乘以2得 这说明当n=k+1时也不等式成立。 nn,5时2,n(n，1)由?知，当成立。 n,5时,aS,1因此，当成立。 12分 nn21(本小题满分12分) 32f(x),x，ax,4(a,R),f(x)f(x) 已知函数是的导函数。 m,1,1,n,1,1,求f(m)，f(n) (1)当a=2时，对于任意的的最小值; x,(0,，,)f(x),0, (
3、2)若存在，使求a的取值范围。 00更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 322f(x),x，2x,4,f(x),3x，4x.21(解:(1)由题意知 4令 f(x),0,得x,0或.3当x在-1，1上变化时，随x的变化情况如下表: f(x),f(x)x -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 -7 - 0 + 1 f(x)-1 ? -4 ? -3 f(x)？对于m,1,1,f(m)的最小值为 f(0),4,22？f(x),3x，4x的对称轴为且抛物线开口向下 x,2？对于n,1,1,f(n)的最小值为f(,1),7. ？f(m)，f(n)的最小值为-11。 6分
4、 2a (2)？f(x),3x(x,) 3a,0,当x,0时,f(x),0?若 ，,？f(x)在0,，,上单调递减， f(0),4,则当x,0时,f(x),4.又 ？当a,0时,不存在x,0,使f(x),0. 002a?若a,0,则当0,x,时,f(x),0, 32a当x,时,f(x),0. 322a,，,f(x)在0,，,从而上单调递增，在上单调递减， ,33,，,322a8a4a？当x,(0,，,)时,f(x),f(),，,4. max327934a3,4,0,即a,27,解得a,3.根据题意， 27更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 综上，a的取值范围是
5、12分 (3,，,).22(本小题满分14分) 22xy2,C:，,1(a,b,0) 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为F,F，12222ab73|OP|,PF,PF,点P是坐标平面内一点，且(O为坐标原点)。 1224(1)求椭圆C的方程; 1 (2)过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点S(0,)l3M，使以AB为直径的圆恒过这个点,若存在，求出M的坐标和面积的最,MAB大值;若不存在，说明理由。 P(x,y),F(,c,0),F(c,0),22(解:(1)设 00127722|OP|,得x，y,;则由 002433由得 PF,PF,(,c,x,y),(c,x,y
6、),120000443222即 x，y,c,.004所以c=1 2分 c222,所以a,2,b,1.又因为 3分 a22x2，y,1.因此所求椭圆的方程为: 4分 21 (2)动直线的方程为:y,kx, l31,y,kx,316,322由得(2k，1)x,kx,0. ,249x2,y，,1,2,A(x,y),B(x,y).设 1122k416x，x,xx,.则 6分 121222k，k，3(21)9(21)假设在y上存在定点M(0，m)，满足题设，则 更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 MA,(x,y,m),MB,(x,y,m).11222MA,MB,xx，(y
7、,m)(y,m),xx，yy,m(y，y)，m121212121211112,xx，(kx,)(kx,),m(kx,，kx,)，m122212333312122 ,(k，1)xx,k(，m)(x，x)，m，m，1212339216(k，1)14k212,k(，m)，m，m，223399(2k，1)3(2k，1)22218(m,1)k，(9m，6m,15),29(2k，1)由假设得对于任意的k,R,MA,MB,0恒成立， 2,m,1,0,即解得m=1。 ,2,9m，m,15,0,因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 点M的坐标为(0，1) 10分 422d,|AB|,(k，
8、1)(x,x).这时，点M到AB的距离 1223k，112222S,ABd,x,x,x，x,xx|()()4121212,MAB23322kk，21664894,，,.2222239k，k，k，2(1)9(21)(21)t,1222k，1,t,设则, k,21，,得t,1,，,0,1. tS,(),(),(,),.所以 ,MABttt922924291当且仅当,1时，上式等号成立。 t16因此，面积的最大值是. 14分 ,MAB920(本小题满分12分) SS,1,且6S,(a，1)(a，2),a 已知各项均为正数的数列的前n项和满足 n1nnnn*n,N. 更多考试资料，尽在资格考试题库
9、更多考试资料，尽在资格考试题库 a (1)求数列的通项公式; nbnb满足a(2,1),1,记Tb (2)设数列为数列的前n项和，求证: nnnn2T，1,log(a，3). n2n20(1)当n=1时，有6a,(a，1)(a，2). 111解得a,1(与a,S,1矛盾,舍去),或a,2. 1分 1111,，6S(a1)(a2),nnn当时，有两式相减得 n,2,6S,(a，1)(a，2)n,1n,1n,1,226a,a,a，3(a,a),即(a，a)(a,a,3),0.3分 nnn,1nn,1nn,1nn,1a，a,0,从而a,a,3,0,即a,a,3.由题设 nn,1nn,1nn,1a,
10、2，(n,1),3,3n,1.a故数列是首项为2，公差为3的等差数列5分 nnn3bbnna,n,b, (2)由6分 (21)1,得(31)(21)1,log.nn2n,31n3693T,b，b，b,， ？log(？).n12n2n,258313693n而 2T，1,log(a，3),2log(，？，)，1,log(3n，2)n2n222583n,1369332nn，2() ,，？，,258312n,3693n22(，？，)2583n,1,1 8分 3n，2n36932，2()？n,25831c,令. nn，32n3，32n()(3，2)22cnnn(3，3)9，18，9n3，2n，1,1.则
11、 2cnnn3(，1)，2(3，5)(3，2)nn9，21，10nc,0,所以c,c,c而是单调递减数列(10分 nn，1nn3693n3222(，)？2()92583n,12c,c,1.c,1.所以， 所以nn13，1，2103n，22T，1,log(a，3)从而成立( 12分 n2n更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 21(本题满分12分) 已知函数 f(x),ax(a,R),g(x),lnx,1.x (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围; h(x),g(x)，1,f(x),2x2(2)当a0时，试讨论这两个函数图象的交点个数( a1221(1) h
12、(x),lnx,x,2x(x,0),h(x),ax,2.2x1若使存在单调递减区间，则上有解(1分 h(x)h(x),ax,2,0在(0,，,)x1112x0,ax20ax2a而当 ,时,2xxxx1212问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值( a,在(0,，,),在(0,，,)22xxxx3分 121122又上的最小值为-1，所以a1(4分 ,(,1),1,在(0,，,)22xxxxx(2)令F(x),f(x),g(x),ax,lnx，1(a,0). f(x),ax与g(x),lnx,1函数的交点个数即为函数F(x)的零点的个数(5分 1 F(x),a,(x,0).x11令解得 F(x)
13、,a,0,x,.xa随着x的变化，F(x),F(x)的变化情况如下表: x 111 (0,)(,，,)aaa- 0 + F(x) 单调递减 极(最)小值2+lna 单调递增 F(x) 7分 1,2F(x)?当F(),2，lna,0,即a,e时,F(x)恒大于0，函数无零点(8分 a1,2F(x)F(),2，lna,0,即a,e时,?当由上表，函数有且仅有一个零点( a9分 11,2F(),2，lna,0,即0,a,e时,?显然 1,aa11F(1),a，1,0,所以F(1),F(),0.又F(x)在(0,)内单调递减， aa更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 1
14、所以内有且仅有一个零点 10分 F(x)在(0,)aax1(e)x,时,F(x),ln，1.当 ax1axay,(e)(e,1)由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在x, ,y,x0axa0(e)使得 ,1.x0xa0(e)从而 F(x),ln，1,ln1，1,1,0.0x01因而 F(),F(x),0.0a11，,F(x)在,，,又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线， F(x)在(,，,),aa，,1所以内有且仅有一个零点( 11分 F(x)在(,，,)a,20,a,e时,F(x)因此，有且仅有两个零点( ,2,2a,e时,f(x)与g(x)a,e时,f(x)与g(x)综上，的图象无交点
15、;当的图象有且仅,20,a,e时,f(x)与g(x)有一个交点;的图像有且仅有两个交点(12分 22(本题满分14分) 22C:8y,8x,1抛物线D以双曲线的焦点F(0,c),(c,0)为焦点( (1)求抛物线D的标准方程; l:y,x,1 (2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B(求证:直线AB过定点Q，并求出Q的坐标; (3)在(2)的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证:|PM|?|QN|=|QM|?|PN| 1111222(解:(1)由题意，c,，,c,. 884212x,2y.所以F(0,)，抛物线D的标准方程为 3分 2A(x,y),B(x,y),P(x
16、,x,1), (2)设 1122002由 x,2y,得y,x.因此y|,xx,x11y,y,x(x,x),即y,xx,y.抛物线D在点A处的切线方程为4分 11111更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 P(x,x,1),所以x,1,xx,y,而A点处的切线过点 000101(x,1)x，1,y,0. 即101(x,1)x，1,y,0.同理， 202(x,1)x，1,y,0可见，点A，B在直线上( 0令x,1,0,1,y,0,解得x,y,1 所以，直线AB过定点Q(1，1) 6分 P(x,x,1),M(x,y),N(x,y), (3)设 003344x,x,(1)
17、12100y,(x,1)，1,即y,x，.直线PQ的方程为 x,x,x,111000x,21,0y,x，,x,1x,1,消去y,由 ,002,x,2y,2(x,2)220x,x,0.得 x,1x,100x,2(2)20x，x,xx,.由韦达定理， 9分 3434x,1x,100|PM|QM|PM|,|QN|,|QM|,|PN|,而 |PN|QN|x,x1,x303,x,xx,1404,(x,x)(x,1),(x,x)(1,x) 304403,2xx,(x，x),x(x，x)，2x,0(,)3434034012分 2(x,2)20x，x,xx,代入方程(*)的左边，得 将3434x,1x,1002(x,2)2x(x,2)4000,，2x(*)的左边 0x,1x,1x,100022,4,2x，4,2x，4x，2x,2x00000 ,x,10更多考试资料，尽在资格考试题库 更多考试资料，尽在资格考试题库 =0( 因而有|PM|?|QN|=|QM|?|PN|( 14分 更多考试资料，尽在资格考试题库