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1、2015年高考数学模拟试题及答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。第一卷1至2页，第二卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间120分钟。 第一卷(选择题 共60分) 注意事项: 1. 作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上，并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。 2. 第一卷答案必须用2B铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 参考公式: 三角函数的和差化积公式 aba
2、b，,abab，,sinsin2sincosab，,sinsin2cossinab, 2222abab，,abab，,coscos2coscosab，,coscos2sinsinab, 2222若事件在一次试验中发生的概率是，由它在次独立重复试验中恰好发生次的概率 kpAnkknk, Pkpp()C(1),nn12222，xxx,？Sxxxxxx,，,，,？一组数据的方差()()() 12nn12，n其中为这组数据的平均值 x一(选择题:本大题共有12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( ()ABC:,(1) 设集合，则 A,1,2B,1,2,3C,
3、2,3,4,(A) (B) (C) (D) 1,2,31,2,42,3,41,2,3,4,1,x(2) 函数的反函数的解析表达式为 yx,，,23()R2x,33,x2y,logy,logy,logy,log(A) (B) (C) (D) 2222x,3223,xa,3aaa，,(3) 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项的和为21，则 a,1345n(A) 33 (B) 72 (C) 84 (D) 189 ABCABC,AA,1ABC(4) 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为 AB,2A11111S 数学试题 第 1 页(共 4 页) 33333(A) (B) (C) (D) 424p
4、(5) 中，A,，则的周长为 ?ABCBC,3?ABC3pp43sin()3B，43sin()3B，(A) (B) 36pp6sin()3B，6sin()3B，(C) (D) 362(6) 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是 MMyx,417157(A) (B) (C) (D) 0 16168(7) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 (A) 9.4，0.484 (B) 9.4，0.016 (C) 9.5，0.04 (D) 9.5，0.016 ab(
5、8) 设、为两两不重合的平面，、为两两不重合的直线，给出下列四个命题: lgmnag,bg,ab/? 若，则; m/bn/bab/? 若，则; m,an,aab/l/b? 若，则; l,abg:,mga:,nl/gab:,l? 若，则( mn/其中真命题的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 k5xk,1,2,3,4,5(9) 设，则的展开式中的系数不可能是 (2)x，(A) 10 (B) 40 (C) 50 (D) 80 p12psin(),acos(2)，,a(10) 若，则 6337117,(A) (B) (C) (D) 393922xyP(3,1),a,(2,5)(1
6、1) 点在椭圆的左准线上(过点且方向为的光线，P，,1(0)ab22aby,2经过直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 1132(A) (B) (C) (D) 3223(12) 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的(现打算用编号为?、?、?、?的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 (A) 96 (B) 48 (C) 24 (D) 0 S 数学试题 第 2 页(共 4 页) 第二卷(非选择题 共90分) 注意事项: 请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字
7、笔在答题卡上指定区域内作答，在试题卷上作答一律无效。 二(填空题:本大题共有6小题，每小题4分，共24分(把答案填写在答题卡相应位置上( ab(13) 命题“若，则221,”的否命题为 ? ( ab,3(1,3)(14) 曲线在点处的切线方程是 ? ( yxx,，12yxx,log(43)(15) 函数的定义域为 ? ( 0.5a30.618,akk,，,1)(16) 若，k,Z，则k, ? ( 22(17) 已知、b为常数，若，则5ab, fxxx()43,，faxbxx()1024，,，a? ( ,(18) 在中，O为中线上的一个动点，若，则的最小值是 ?ABCAMAM,2OAOBOC,，
8、()? ( 三(解答题:本大题共5小题，共66分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( (19) (本小题满分12分) OOOO,4OO如图圆与圆的半径都等于1，(过动点分别作圆、圆的切线、PPM121212PMPN,2(、N分别为切点)，使得(试建立平面直角坐标系，并求动点的轨PNMP迹方程( PMNOO12(20) (本小题满分12分，每小问满分4分) 23甲、乙各两人射击一次，击中目标的概率分别是和(假设两人射击是否击中目标，相34互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响( (?) 求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率; (?) 求两人各射击4次，甲恰好击中目
9、标2次且乙恰好击中目标3次的概率; S 数学试题 第 3 页(共 4 页) (?) 假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击(问:乙恰好射击5次后，被中止射击(的概率是多少, (21) (本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三小问满分各4分) 如图，在五棱锥中，底面，SABCDE,SA,ABCDESAABAE,2,BCDE,3，,，,，,BAEBCDCDE120，( (?) 求异面直线与所成的角(用反三角函数值表示); CDSB(?) 求证平面; BC,SABS(?) 用反三角函数值表示二面角的大 BSCD,小(本小问不必写出解答过程)( AE (22) (本小题满分14分，第一小问满
10、分4分，第二小BD问满分10分) C2已知a,R，函数( fxxxa()|,fxx(),(?) 当时，求使成立的的集合; a,2xyfx,()1,2(?) 求函数在区间上的最小值( (23) (本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分) Sa,1a,6a,11设数列的前项和为，已知，且 an,n123n(58)(52)nSnS,，n,1,2,3,？,，AnB， nn，1其中、为常数( AB(?) 求与的值; AB(?) 证明数列为等差数列; a,n(?) 证明不等式对任何正整数、都成立( 51aaa,mnmnmnS 数学试题 第 4 页(共 4 页) 参考答案 一(选择题:
11、本题考查基本概念和基本运算(每小题5分，满分60分( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 D A C B D B D B C A A B 答 案 解析: (1) ( ()1,22,3,41,2,3,4ABC:,21,x1log(3),xyxy,1log(3)(2) 由已知得，?，即，因此23,yx,log222y,32y,log所求的反函数为( 2x,322a,3(0)q,(3) 设数列的公比为，则，?，?，这个方qaaqq(1)21，,qq，,60,1n12q,2程的正根为，?( aaaaaaq，,，,，,()21484345123AMAAMABCAM(4) 取BC
12、的中点，连结、，可证平面平面(作，垂足MAM,AH,1111AM,3ABCRt?AAMAA,1AM,2为，则平面(在中，?HAH,11113( AH,2abcpbB,23sin,A,(5) 由正弦定理得，而，?，BC,3sinsinsinABC3cC,23sin，?ppp2p,43sincos()6cos()BBbcBCBB，,，,，,23(sinsin)23sinsin() 3333pp,，6sin()BabcB，,，6sin()3(?( 661112Mxy(,)xy,F(0,)y,(6) 抛物线的标准方程为，准线方程为，则由抛物线00416161151,，yy,的定义得，即( 001616
13、1去掉一个最高分9.9和一个最低分8.4后，平均值为x,，,(9.49.49.69.49.7)9.5，(7) 51222222S,，,，,，,(0.1)(0.1)(0.1)(0.1)(0.2)0.016方差为( 5(8) 在四个命题中，?、?是假命题，?、?是真命题( k5kkx(9) 在的展开式中的系数为，其值分别为1，10，40，80，80，32( (2)x，C25227pppp2cos(2)cos(2)cos2()2sin()1，,，,apaaa(10)( 336692,aPG/aFc(,0),y,2Gc(,4),(11)首先，椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则，由,3c,3a,3a,(
14、2,5)c,1，得(故，离心率( PGc,(3,5)e,3S 数学试题参考答案 第 1 页(共 5 页) PAPBPCPD,(12)记四棱锥为，首先必须存放在4个不同的仓库内，每个仓库内PABCD,不可能存放3种或3种以上的化工产品，所以每个仓库恰好存放2种化工产品，方案只有和两种. PABCPBCDPCDAPDAB,PACDPBDAPCABPDBC,4因此，安全存放的不同方法种数为( A248，,4二(填空题:本题考查基础知识和基本运算(每小题4分，满分24分( 13ab221,410xy,ab(13)若，则 (14)(15),0)(,1,:( 44(16)(17)2( (18)( ,1,2
15、解析: (13)“若则”的否命题是“若则”( pq，p，q2,(1,3)yx,34(1)(14)，在点处的切线的斜率为4，切线方程为，即yx,，31410xy,( 13220431,xx,x0,x1(15)由，得，解得，或( log(43)0xx,0.54411a,31,0.6181(16)?，即，?,10a(因此，k,1( 33fxxx()(1)(3),，faxbxx()(4)(6)，,，(17)对比和可知，或axbx，,，3axbx，,7，令x,5，得52ab,. ,OAOBOCOAOMOAOM,，,()222O(18) ，当且仅当为的中点时取等号( AM三(解答题: (19)本小题主要考
16、查求轨迹方程的方法及基本运算能力(满分12分( OOOO解:如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， yx1212OO(2,0),(2,0),Pxy(,)则两圆心分别为(设， 1222222则， PMOPOMxy,，,(2)111y222同理( PNxy,，,(2)1P(x, y)PMPN,2?， MN2222?， (2)12(2)1xyxy，,，,OOOx1222即( (6)33xy,，,所以动点的轨迹方程为 P22(或(6)33xy,，,22) xyx，,，,1230S 数学试题参考答案 第 2 页(共 5 页) (20)本小题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一
17、个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力(满分12分( 解:(?)设事件甲射击4次，至少1次未击中目标， A,则A,甲射击4次，全部击中目标( 2654( PAPA()1()1(),38165 答:甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为( 81(?)事件甲射击4次，恰好2次击中目标，乙射击4次，恰好3次击中目标，C,B,2131122233则( PBCPBPC()()()C()()C()(),44334481答:两人各射击4次，甲恰好2次击中目标且乙恰好3次击中目标的概率为( 8(?)事件乙恰好射击5次后，被中止射击,乙射击5次，前2次至少1次击中目D,标，第3次击中目标，后
18、2次未击中目标( 1314522PD()1()(),，,( 444102445答:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为( 1024(21)本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力(满分14分( ,BCDE,3，,，,BCDCDE120解:(?)连结，由，由图形的对称性可知， BE四边形BCDE是等腰梯形，BECD/， ?，SBE即为异面直线CD与SB所成的角( S?SA,平面ABCDE，SAABAE,2， SBSE,22?SA,，SA,，( ABAE在， ?ABE,A，,BAE120?， ABA
19、E,2EBE,23?( BD在?SBE， CSBSE,22BE,23?， 366?，( cos，,SBE，,SBEarccos44226CD与SB所成的角的( 因此，异面直线arccos4BCDE(?)由(?)知，四边形是等腰梯形，是等腰三角形， ?ABEABCDE?五边形是轴对称图形， S 数学试题参考答案 第 3 页(共 5 页) 1,?，即( ，,，,ABCAEC(540120120120)90BCAB,2SAABA:,又?平面，?(而， SA,ABCDESABC,?平面( BC,SAB782(?)二面角的大小为(提示:作出二面角的平面角BSCD,p,arccos82() ，DFG(22
20、)本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力(满分14分( 2fxx(),解:(?)当时，(方程即为 a,2fxxx()|2|,x,2,x,2,2x,，12或或,x0或或x,1( xxxx|2|0,22xx,2121xx,0,1,12，fxx(),因此，方程的解集为( ,2(?)首先恒成立( fxxxa()|0,1,2fx()12剟a?若，则在区间上，当时，取最小值0; xa,22,1,2?若a,1，则在区间上，即fxxxa()(),fxxaxxxa()32(32)0,fx()1,2fa(1)1,在区间上是增函数，其最小值为; 2a22,1,2?若a,2，则
21、在区间上，fxxaxxx()323(),，,( fxxax()(),32a2afx()1,2若23,a，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，其最小值33fa(1)1,fa(2)48,为与的较小者( ffa(1)(2)73,?， 71,2fx()fa(2)48,2,a?若，则在区间上，的最小值为; 371,2fx()fa(1)1,a,3 若，则在区间上，的最小值为; 3fx()1,2fa(1)1,a3若，则在区间上是增函数，其最小值为( yfx,()1,2综上所述，函数在区间上的最小值为 1,1,aa,0,12剟a,7 ( fx(),48,2aa,min3,7aa,1,3,S 数学试题参考答案
22、 第 4 页(共 5 页) (23)本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力(满分14分( a,1a,6a,11S,1S,2S,18解:(?)由，得，( 123123AB，,28,(58)(52)nSnS,，n,1,2把分别代入，得 ,，AnB,nn，1248AB，,解得，( A,20B,85()82208nSSSSn,(?)由(?)知，即 nnnn，11582208naSSn,， ? nnn，115(1)8220(1)8naSSn，,，,又( ? nnn，2215(1)58220nanaaa，,?-?得， nnnn，2121(53)(52)20nana,，,
23、即( ? nn，21(52)(57)20nana，,，,又( ? nn，32(52)(2)0naaa，,，,?-?得， nnn，321aaa,，,20?， nnn，321aaaaaa,？5aa,5?，又， nnnn，32213221因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列( a,n,(?)由(?)知，(考虑 ann,54,()Nn55(54)2520amnmn,( mn2,，2515()9mnmn(1)211aaaaaaaaaa，,，( mnmnmnmnmn2?5(1)15()291522910aaamn,，,，,厖( mnmn2即5(1)aaa,，?51aaa,，( mnmnmnmn因此，51aaa,( mnmnS 数学试题参考答案 第 5 页(共 5 页) S 数学试题参考答案 第 6 页(共 5 页)