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1、高考数学温习必做的平面几何综合题.docd优质文档高考数学复习必做的立体几何综合题PABCD,ABCD1、如图，在四棱锥中，底面为矩形， ABCDBC,1侧棱底面，PA,AB,3， 为的中点。 PA,2EPDAC (?)求直线与所成角的余弦值;PBNNE,(?)在侧面内找一点，使面PABPAC， N并求出点到AB和AP的距离。 解:(?)建立如图所示的空间直角坐标系， 则的坐标为、 ABCDPE,A(0,0,0)、 D(0,1,0)B(3,0,0)C(3,1,0)1、E(0,1)， P(0,0,2)2从而 AC,(3,1,0),PB,(3,0,2).,AC与PB设的夹角为，则 AC,PB337
2、cos, 1427|AC|,|PB|37ACPB?与所成角的余弦值为。 14NNPAB (?)由于点在侧面内，故可设点坐标为，则 (,0,)xz1NE,PACNE,(,x,1,z)，由面可得， 21,z,1,0,(,x,1,z),(0,0,2),0,NE,AP,0,2 即化简得,11,3x，,0.,NE,AC,0.,(,x,1,z),(3,1,0),0.2,2,3x, ? ,6,z,1,33NN即点的坐标为，从而点到和的距离分别为。 ABAP(,0,1)1,66ABCD2、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中AECF1。 ABBCCCBE,4,2,3,11(?)求BF的
3、长; C (?)求点到平面的距离。 AECF1解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则， D(0,0,0)B(2,4,0)设 ACEC(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)Fz(0,0,)1?为平行四边形， AECF1？由为平行四边形AECF,1 ,？,由得AFECz,(2,0,)(2,0,2),1？,？zF2.(0,0,2).,？,EF(2,4,2)., 于是即的长为|26,26.BFBF,(II)设为平面AECF的法向量， n11显然n不垂直于平面ADF,故可设n,(x,y,1)11, nAE,0,0410，,xy,1由得,，,2020xynAF,0,1x,1,4
4、y，1,0, 即？,1,2x，2,0,y,.,4,的夹角为，则 又CC,(0,0,3),设CC与n111CC,n343311 cos,.331|CC|,|n|113，1，116C?到平面的距离为 AECF1433433 d,|CC|cos,3，,.13311ABC3、如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面2DADBBCCABCCC111111,所成的角为( 45(?)求此正三棱柱的侧棱长; A,BD,C(?) 求二面角的大小; CABD(?)求点到平面的距离( ABCBCEAE解:(?)设正三棱柱的侧棱长为(取中点，连( ABCx111A1A？,ABC？,AEBC是正三角形，
5、( HB1ABC,BC又底面侧面，且交线为( BBCCIG11BFEC1？,AE侧面( BBCCD11C,EDAD，,ADE45连，则直线与侧面BBCC所成的角为( 11AE3,Rt,AEDx,22在中，解得( tan45,2EDx1，422此正三棱柱的侧棱长为( ？注:也可用向量法求侧棱长( EEFBD,FAF(?)解法1:过作于，连， ？AE,AFBD,BBCC,侧面( ？11A,BD,C？，AFE为二面角的平面角( Rt,BEFEFBEEBF,，sin在中，又 CD233BEEBF,，,1,sin， ( EF,？22BD332(2)，又 AE,3,AERt,AEF在中，( tan3，,A
6、FE？EFA,BD,Carctan3故二面角的大小为( 解法2:(向量法，见后) (?)解法1:由(?)可知，平面,平面AEF,平面，且交线为，过作BD,AEFABDAFE？EGAF,GEG,于，则平面ABD( 33，AEEF，303Rt,AEF在中，( EG,AF10322(3)()，3230BCCEABD为中点，点到平面的距离为( 2EG,？10CHCHDABDHDADB,ABD,H解法2:(思路)取中点，连和，由，易得平面平面，CACB,CCIDH,CICDHABDI且交线为(过点作于，则的长为点到平面的距离( 解法3:(思路)等体积变换:由可求( VV,CABDABCD,解法4:(向量
7、法，见后) 题(?)、(?)的向量解法: o,xyz(?)解法2:如图，建立空间直角坐标系( zA1A则( ABCD(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),B1ABD设为平面的法向量( nxyz,(,)1B,o,x,Cn,AB,0,yz,3,1,1D由 得( ,C,230xyz,，,n,AD,0y,2,取n,(6,3,1). 6分1,BCD又平面n,(0,0,1).的一个法向量 7分2,n,n,(6,3,1)(0,0,1)10,12cos,nn,( ？,1222210nn121(6)(3)1，,，,，10A,BD,C结合图形可知，二面角的大小为( arccos10,(?
8、)解法4:由(?)解法2， n,(6,3,1),CA,(0,1,3).1,CA,n1(0,1,3),(,6,3,1)230,C点到平面的距离,( ABDd,？,222n101(,6)，(,3)，14( 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. (?)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积; 正视图 侧视图 (?)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCDABCD? 如何组拼,试证明你的结论; 1111(?)在(?)的情形下,设正方体ABCDABCD1111 俯视图 的棱CC的中点为E, 求平面ABE与平面ABC所成二面 11C角的
9、余弦值. 1 解:(?)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的 C B 正方形，高为CC=6，故所求体积是 1D A 1图1 2V,，6，6,72 3(?)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， C 1B 1故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， D 1A 1其拼法如图2所示. 证明:?面ABCD、面ABBA、面AADD为全等的 C 1111B 正方形，于是 D A 图2 V,V,V 故所拼图形成立. C,ABCDC,ABBAC,AADD1111111(?)方法一:设BE，BC的延长线交于点G， 1连结GA，在底面ABC内
10、作BH?AG，垂足为H， 连结HB，则BH?AG，故?BHB为平面ABE与 1111平面ABC所成二面角或其补角的平面角. 在Rt?ABG中，则 AG,1806，12121822， BH,BH,BH，BB,11180552HB2，故平面ABE与平面ABC所成二面角的余弦值为.- cos,，BHB,1133HB1方法二:以C为原点，CD、CB、CC所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图3)，?正方1体棱长为6，则E(0，0，3)，B(0，6，6)，A(6，6，0). 1z 设向量n=(x，y，z)，满足n?，n?， EBAB11C 1B 1Dx,z1,6y，3z,0,A 1E ，解得. 于是,1,6x，6z,0y,z,C 2,G y H B 取z=2，得n=(2，-1，2). A D x 图3 n,BB1221又cos,(0，0，6)， ,nBB,BB,11183|nBB12,故平面ABE与平面ABC所成二面角的余弦值为. 13