《最新高考数学热点考点精析：35立体几何中的向量方法（新课标地区）优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学热点考点精析：35立体几何中的向量方法（新课标地区）优秀名师资料.doc（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2012高考数学热点考点精析：35立体几何中的向量方法（新课标地区）-精品文档!值得拥有- 考点35立体几何中的向量方法 一、解答题 1. (2011?福建卷理科?,20)(本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA?底面ABCD.四边形ABCD中，AB?AD，AB+AD=4，CD=，2. ，CDA,45:(I)求证:平面PAB?平面PAD; (II)设AB=AP. (i)若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长; 30:(ii)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等,说明理由. 【思路点拨】(1)证面面PAB中的直线AB，从而可推得面,面PADP
2、AB，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直; ,面PAD(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法Axyz-进行求解探究. 【精讲精析】 PA,AB解法1:(I)因为平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA，又,AB,AB,，所以平面PAD.又平面PAB，所以平面PABABADPAADA,:平面PAD. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- (2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图). Axyz,在平面ABCD内，作交于点E，则. CEAB/CEAD,ADABAPt,RtCDE,DECD,:,cos451在中，.设，则. BtPt(,0,0),(0,0,)4,t
3、由AB+AD,4得AD,，所以， EtCtDt(0,3,0),1,3,0),(0,4,0),(, CDPDtt,(1,1,0),(0,4,).(i)设平面PCD的法向量为 n=(,),xyz,，,xy0,由得 nn,CDPD,(4)0.,tytz,取，得平面PCD的一个法向量. n,(,4)tttxt,2|24|1tt,n,PB,即 cos60|,:,22222|n|,PBtttt，,(4)244t,4t,.ADt,40解得或(舍去，因为)，所以AB, 55(ii)假设在线段AD上存在一个点G(如下图)，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等， 04,mt设G(0,m,0)(其中)，则 , G
4、CtmGDtmGPmt,(1,3,0),(0,4,0),(0,)-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- ,222tm,3由得即.? 1(3)(4),，,tmtm|GCGD,222由得? (4).,，mtmt|GDGP,2由?消去，化简得? mm,3+40.t由于方程?没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点GP到点P，C，D的距离都相等. GA解法2:(I)同解法1. DB(?)(i)同解法1 . C(ii)假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等. 由GC,GD，得从而即CG，所以,AD，,:CGD90,，,，,:GCDGDC45,AB,AD,4
5、,3,.设，则，AG,AD-GD,. GDCD,:,cos4513922222在RtABG,中， ,，,，,，,GBABAG(3)2()1,22这与GB,GD矛盾. 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等. 2. (2011?江苏高考?,22)(本小题满分10分) NBCABCDABCD,AAAB,2,1如图，在正四棱柱中，点是的中点，11111,MCCADNM,点在上，设二面角的大小为。 110AM,90(1)当时，求的长; 6CM,(2)当时，求的长。 cos6-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 第题图22 【思路点拨】本题考察的是空间向量基本概
6、念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力，解决本题的关键是正确的建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标，然后利用空间向量的运算求解。 【精讲精析】 解析:以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD为z轴1正半轴，建立空间直角坐标系， 1则A(1,0,0),A(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z), 12,1DADNDMz,(1,0,2),(,1,0),(0,1,)面MDN的法向量， nxyz,(,)111112xz，,20,00,DAnDNn,？0,0,设面ADN的法向量为，则 nxyz,(,)1,11000xy，,000,2,xyz,2,
7、1,1,则取即 n,(2,1,1)0001,xy，,011,2,(1)由题意:取DNnDMnnnyzz,？，,0,0,00,11111,20xyz,111,1xyzz,2,1,5,;则 1115151222？,，,，,AM(10)(01)(0) 55-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 1,xy，,0,11,2nn,16(2)由题意:即取yzz，,0DNnDMn,0,0,11116nn2,134420xxyxzyz,，,1111111,11 xyzz,2,1,2,;则？,CM.111223.(2011?新课标全国高考理科?,18) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形
8、，?DAB=60?,AB=2AD,PD?底面ABCD. (?)证明:PA?BD; (?)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. ,PABDBD,PADBDAD,【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明,222时,可利用勾股定理BDADAB，,，第(2)问可建立空间直角坐标系APBC,，求得二面角的余弦值 Dxyz,BDAD,3，,:,DABABAD60,2【精讲精析】(?)因为, 由余弦定理得 222,从而BD+AD= AB，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD ,所以BD 平面PAD. 故 PABD (?)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正xxyz半
9、轴建立空间直角坐标系D-， -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- z P D C B A y x 则,. B03,0，C,1,3,0A1,0,0P0,0,1，uuuvuuvuuuvABPBBC,(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0),n,AB0,设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则, ,n,PB0,，,xy30即 30yz,因此可取= n(3,1,3),m,PB0,设平面PBC的法向量为m，则 ,m,BC0,427,3可取m=(0，-1，)， cos.,mn,72727,故二面角A-PB-C的余弦值为 7. 4.(2011?山东高考理科?,19)(本小题满分12分)
10、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， 90:? ACB=，EA ?平面ABCD，EF?AB， FG?BC，EG?AC.AB=,EF. (?)若,是线段AD上的中点，求证:GM?平面ABFE; (?)若,=,求平面角,-,-,的大小. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- EGFDAMBC 【思路点拨】(1)本小题考查线面平行的判定，只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.(2)本题考查利用空间向量求二面角的大小，先建立合适的空间直角坐标系，再分别求出平面BFC与平面ABF的法向量，两个法向量的夹角(或补角)即为所求二面角的大小. 【精讲精析】几何法: EFAB/FGB
11、C/ABEF,2BFAEP证明:(?)，可知延长交于点，而，EGAC/， BFGC:AEGCPBF,P,则平面平面，即平面平面BFGCPAE,AEGCGC,， 1MADFGBC/于是三线共点，若是线段的中点，而BFCGAE,2ADBC/, AMGFGMAF/GM,FGAM/则，四边形为平行四边形，则，又?平面ABFE，AFC平面ABFE. GM/ABFE所以平面; ABCDCHAB,CH,EA,ABFEHTBF,(?)由平面，作，则平面，作，CTCTBF,，CTHABFC,连接，则，于是为二面角的平面角. ACBCAE,2ACBC,2AE,1ABH若，设，则，为ABCH,22,2-珍贵文档!值
12、得收藏- -精品文档!值得拥有- 3AEAE222的中点， sin，,FBAtan，,FBA3ABEFAB,222CH36RtCHT,，在中, tan3，,CTHHTBHABF,，,，,sin2HT33,ABFC,则，即二面角的大小为. ，,CTH60600ABCD坐标法:(?)证明:由四边形为平行四边形， ，EA,，,ACB90ABCD平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为AACADAE,的直角坐标系，设，则xyz轴轴轴,ACaADbAEc=,1,， CaDbMbBab(,0,0),(0,0),(0,0),(,0),A(0,0,0)2,EGAC/E(0,0，c).由可得，EGAC,(R且0
13、),1FGBC/,，,由得GMGEEAAMabc(,)2,11GMGFFAAMADBAEAAD,，,，, FGBCAD,(R且0)22,111GM,GMBAEA,，ABFE(,(1),)abc，则，而平面， 222GM/ABFE所以平面; ACBCAE,2ACBC,2AE,1(?)若，设，则， ,则CEBF(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)D(0,2,0),，, BCAD,(0,2,0)BF,(1,1,1),CBFABFn=n(,),(,)xyzxyz,设分别为平面与平面的法AB,(2,2,0)11112222向量. 220xy,11x,1yz,1,0n=(1,1,
14、0)则，令，则，; ,1111,，,xyz0111,20y,2x,1yz,0,1n,(1,0,1)，令，则，. ,2222,，,xyz0,222,nn,1,12cos,n,n,60于是，则， n,n,1212nn,212-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- ,ABFC,即二面角的大小为. 605.(2011?北京高考理科?T16)(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA,平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，. ，,BAD60BDPAC,平面(?)求证:; (?)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值; (?)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. P D A C
15、B 【思路点拨】本题可利用PA, AC, BD两两互相垂直，建系求解. ACBD,PA,【精讲精析】(?)因为四边形ABCD是菱形，所以.又因为PABD,BD,平面ABCD，所以.所以平面PAC. 0ACBDO:,(?)设.因为，所以，,BADPAAB60,2，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系BOAOCO,1,3， Oxyz,z P D y O A C B x 则，所以PA(0,3,2),(0,3,0),BC(1,0,0),(0,3,0)-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- ,.设PB与AC所成角为，则PBAC,(1,3,2),(0,23,0),PBAC,66. ,cos|,
16、4|PBAC2223，,(?)由(?)知，设.则，设BC,(1,3,0)Ptt(0,3,)(0),BPt,(1,3,),平面PBC的法向量，则，所以mxyz,(,)BCmBPm,0,0,，,xy3066,，令，则，所以.同理，平面m,(3,3,)xz,3,y,3,tt,，,xytz30,6PDC的法向量.因为平面PBC,平面PDC，所以，即n,(3,3,)mn,0t366，解得t,6.所以PA=. ,，,602t6(2011?湖南高考理科?T19)(12分)如图5，在圆锥PO中，已知PO=，?o的直径AB=2，点C是的中点，D为AC的中点. 2AB,平面PAC; (?)证明:平面POD(?)求
17、二面角B-PA-C的余弦值. 【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，首先考查空间垂直的证明，由面面垂直作为基础考查线面垂直，再转到线线垂直.再考查二面角的求法，求二面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种:一是几何法，主要考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 【精讲精析】 OCOAOC,ACACOD,(I)连接，因为,为的中点，所以. DPODPO是平面又因为内的POOACOACPO,底面底面所以 ,.OD,ACPOD,平面。ACPAC,平面两条相交直线，所以而，所以平面平面PODPAC
18、,。 PODOOHPD,平面平面PODPAC,H(II)在平面中，过作于，由(I)知，,PAOH,所以又所以. OHPAC,平面,PAPAC,平面,PAOOHGOGPA,于G,PAOGH,平面在平面中，过作连接,则有， PAHG,，OGHBPAC,从而，所以是二面角的平面角( 2在 RtODAODOA,:,中,sin45222，POOD,102RtPODOH,中,在 2251POOD+2+2POOA,，216在 RtPOAOG,中,2232+1POOA+10OH15105RtOHGOGH,，,中,sin在,所以。 cos，,OGHOG5563-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 10
19、BPAC,故二面角的余弦值为。 57(2011?陕西高考理科?T16)(本小题满分12分) ,如图，在?ABC中，?ABC=，?BAC，AD是BC上的高，沿AD60,90把?ABD折起， ,使?BDC( ,90(?)证明:平面ADB?平面BDC; ,(?)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值( AEDB【思路点拨】(1)确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明;(?)在(?)的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解( 【精讲精析】(?)?折起前AD是BC边上的高， ?当?ABD折起后，
20、 AD?DC，AD?DB， 又DB?DC=D，?AD?平面BDC， ?AD平面ABD，?平面ABD?平面BDC( ,90(?)由?BDC及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- ,以D为坐标原点，以，所在直线为轴建立如图 DCxyz,DBDA所示的空间直角坐标系，易得: 133D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0)， 22,13所以， AE,(,3)DB,(1,0,0)221,AEDB 222? cos,AEDB,2222AEDB,1，4,22所以与夹角的余弦值是( AEDB228.(201
21、1?浙江高考理科?,20)(本题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AB,AC，D为BC的中点，PO?平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC,8，PO,4，AO,3，OD,2 (?)证明:AP?BC; (?)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角,若存在，求出AM的长;若不存在，请说明理由. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法，这两小题均可用向量法解决，当然这类问题用传统的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间想象能力与运算求解能力。 【精讲精析】方法一:(?)证明:
22、如图， 以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.则O(0,0,0)，A(0，-3,0)，B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4),APBC,0BC由此可得所以?，即AP?BC. APAPBC,(0,3,4),(8,0,0),(?)解:设 PMPAPM,1,(0,3,4),则,BMBPPMBPPA,，,，, ,，,(4,2,4)(0,3,4),(4,23,44),ACBC,(4,5,0),(8,0,0).,设平面BMC的法向量nxyz,(,), 1111,平面APC的法向量 nxyz,(,), 1222-珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- ,B
23、Mn,0,1由 ,BCn,0,1,，,4(23)(44)0,xyz,111得 ,80,x,1x,0,1,23，,即可取 n,(0,1,),23，44,zy,11,44,5,xy,22,340,yz，,APn,0,2242由即得可取 n,(5,4,3),2,，,450,xy322,ACn,0,1zy,22,4,23，,由，得 430,nn,01244,2,解得，故AM=3 5综上所述，存在点M符合题意，AM=3. 方法二: (?)证明:由AB=AC,D是BC的中点，得AD?BC, 又PO?平面ABC,得PO?BC。 因为PO?AD=0，所以BC?平面PAD 故BC?PA. (?)解:如下图， 在
24、平面PAB内作BM?PA于M,连CM. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 由(?)中知AP?BC,得AP?平面BMC. 又AP平面APC,所以平面BMC?平面APC。 ,222 在Rt?ADB中，AB=AD+BD=41，得AB= 41222在Rt?POD中, PB=PO+OD, 222在Rt?PDB中, PB=PD+BD, 2222所以PB=PO+OD+BD=36，得PB=6. 222在Rt?POA中, PA=AO+OP=25,得PA=5 222PAPBAB，,1又 cos,，,BPA23PAPB,AMPAPM,3从而所以 PMPBBPA,，,cos2,综上所述，存在点M符合题意，AM=3. -珍贵文档!值得收藏- -精品文档!值得拥有- 高.考试题库 -珍贵文档!值得收藏-