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1、2012高考数学热点集锦：向量的运算本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 向量的运算 【两年真题重温】 ,ab,【2011新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题: 2,2,，,，,|10,)ab|1(,ab,pp1233:; :; ,|10,)ab,|1(,ab,pp3433:; :(21世纪教育网 其中的真命题是( ) pppppppp14132324 A(， B(， C(， D(， 世纪教育网21【答案】A ()ab，,()0kabk,1【解析】本题考查向量的基本运算和性质( ，展开易得( 【2010新课标全国文，2】a，b为平面向量，已知a,(4,3)，2a，b
2、,(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于 881616,65656565(A) (B) (C) (D) 【答案】 C【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a,(4,3)，b,(x,y), 2a，b,(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12. 4-5+3121616，()=.222251365，4+35+12cos= 【命题意图猜想】 1. 2011年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 表现在向量的垂直关系的
3、应用，较为简单;2010年理科没有涉及向量问题，而文科考查以【最新考纲解读】 【回归课本整合】 1、平面向量的数量积:来源:21世纪教育网 OAaOBb,，,AOB,ab(1)两个向量的夹角:对于非零向量，作， 0,，,ababab称为向量，的夹角，当,0时，同向，当,时，反向，,ab2当,时，垂直. ,ab(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量 |cosab,ababab叫做与的数量积(或内积或点积)，记作:，即,abcos,.21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 abxxy
4、y,，1212?平面向量数量积:. 222222|,|axyaaxy,，,，?向量的模:. ,aa,，abba，,，abba,3、向量的运算律:(1)交换律:，;(2)结abcabcabcabc，,，,，,ababab,，合律:，;(3),，,，,，aaaabab,abcacbc，,，,，分配律:，.提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律，a(b,c),(a,b)c即，为什么, 2
5、2,()(|)abab,xyyxabab/,12124、向量平行(共线)的充要条件:,0.如PAkPBPCk,(,12),(4,5),(10,)(13)设，则k,_时，A,B,C共线. abababab,，,0|,，,xxyy012125、向量垂直的充要条件:.特别地21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 ABACABAC()()，,ABACABAC. |,|,ABcACb,则有 ABACbcABAC？与分别是AB和ACAO,，()abc，ABACABAC.方向上的单位向量，设ABACAP,，,ABACAO
6、,AP，BAC，BAC则有AP平分,又共线，所以OA平分.同理可证，ABC，ACB,ABCBO平分,CO平分,从而O是内心. 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 3. 向量平行和垂直的重要应用 向量平行和垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点:一是利用已知条件去判断垂直或平行;二是利用平行或垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件. 22,()(|)abab,xyyxabab/,1212(1)向量平行(共线)的充要条件:,0; abababab,，,0|,，,xxyy01212(2)向量
7、垂直的充要条件:. 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 CEEA,2,DCBD,2,例4 设D、E、F分别是?ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 AFFB,2,ADBECF，BC则与( ) A.反向平行 B.同向平行 A C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【解法一】利用三角形的加法法则:几何法.如图1，E 来源:21世纪教育网 F 1,，,，BDAADABBDABBC中，, 3在 C B D 1,，,，ABEBEBAAEBAAC中，, 图1 3在 1,，,，BCFCFCBBFCBBA中，,3在 2
8、1世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 A.4 B.5 C.6 D.8 解析一:(几何法) C(M) D ANAMANAMAM,cos5cos,，AMcos, 对于几何含义: H AMAN在上的投影.N CM如图所示，当和重合时，投影为正且最大. 8513，,B ,ACNCAN,221,5,cos,A 41010， y35226，,D ANAMANAMAM,cos5cos,10则. M N 解析二:(代数法) o x 0?x2,NMxy(2,1),(,),则,0?y2ANAMxyxy,，？,2,2当时，,建立
9、如图的坐标系，则取得最大值6. 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 4.平面向量共线的坐标表示21世纪教育网 (1)a,(x，y)，b,(x，y)，其中b?0.a?b的充要条件a,b与xy,xy,0在本质上是11221221相同的，只是形式上有差异( (2)要记准坐标公式特点，不要用错公式( 5.求向量的夹角时要注意:(1)向量的数量积不满足结合律;(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角( 6.如果高考单独
10、考查向量运算，如代数或几何运算，一般试题难度较低，位置较为靠前，此时为得全分的题目;如果向量和其他知识相结合，考查最值问题，一般以后几道选择题出现，难度较大，此时应充分考虑向量的几何意义或坐标法进行解决.在利用坐标法解决问题时，可考虑一般问题特殊化，即恰当的建立坐标系，将问题转化代数运算.如果探求一些范围问题，适当的代值检验是一个良策. 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 1111ABAD-ABAD+2342(A) (B) 1112ABDA+ABAD-3223(C) (D) 【答案】D 1ECDC,EF
11、ECCF,，,CEF2【解析】在中，有因E为DC的中点，故因点F为2121212CFCB,？,，,，,EFDCCBABDAABAD.3232323BC的一个三分点，故故选D. 4.【唐山市20112012学年度高三年级第一次模拟考试】 在中则 ，,BACABAC60,2,3,ABCABBCBCCACAAB,，,，,(A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 答案B 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 【答案】A 0,y,1xOAyOB，OP0,x,1P【解析】 因=，其中，动点的轨迹所覆盖的区
12、域OAOB,SABrr,，,以为邻边的平行四边形，则为内切圆的半径. 222671，,c2cos,512650,5.AccABc,？,？,265，c由余弦定理可知21世纪教育网来源:21世纪教育网1SA,，,65sin66,ABCr,OO2又因为三角形的内心，故到三角形各边的距离均为1(6+5+7)，r2此时三角形的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，即21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 答案:D 解析:由向量加法法则可知四边形ABCD是平行四边形，故选D 9.【山东省枣庄市2012届高三上学期期末测
13、试试题】 a,b,1,c,3,a，b，c,a,b,c若平面向量两两所成的角相等，则_. 【答案】2或5 【解析】?三个向量a、b、c两两所成的角均相等且为120时， 113abc，,，,，,1192()42222. abcabc，,，,，,|1135?三个向量a、b、c两两所成的角均相等且为0时，. 10.【福州市2012届第一学期期末高三质检】来源:21世纪教育网 |1a,|2b,120:ac，,b0abac已知，与的夹角为，则与的夹角为 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 150:90:60:30:
14、A( B( C( D( 【答案】B 1331x12CDBExxxx,，,，,，(,)(1,)(1)01,？,xx当时222222，因 3,.8函数取得最大值故答案为C. 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 A.,1 B(1 C. D(2 【答案】 B 【解析】 |a，b,c|,，由于a?b,0，所以上式,，又由于(a,c)?(b,c)?0，得(a，2b)?c?c,1，所以|a，b,c|,?1，故选B. 16.【北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测】 abab,ab,bab，
15、a 若非零向量满足，则与的夹角为 ( 30:【答案】 ab,ab,ab，30:a【解析】如图与构成等边三角形，则与的夹角为 a 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 17.【北京市石景山区20112012学年高三第一学期期末考试】 uuuurAG的最小值是_( 23【答案】 1uuuruuuruuur,AGABACR,，,(,),G,ABC3【解析】因为点是的重心，所以， uuuruuuruuuruuurABAC,4，,:A120,ABAC,2因为，所以， uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22211142AGABACABACABACABAC,，,，,()(2)(24)9999所以，21世纪教育网 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的,世纪教育网 21世纪教育网 21世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21世纪教育网