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1、2012年高考数学真题分考点汇编：集合思想的运用集合思想的运用 典型例题: 例1. (2012年江苏省10分)设集合，n,N*(记为同时满足下列条件的集合fn()APn,12，n的个数: ?;?若，则;?若，则。 2x,CAxA,2xA,x,CAAP,nppnn(1)求; f(4)(2)求的解析式(用表示)( fn()n21,42,31,3,4，【答案】解:(1)当时，符合条件的集合为:， n=4A,? =4。 f(4)( 2 )任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数(再除以2 ，? 经过次以后(商必xkxP,nk为奇数(此时记商为。于是xm=2 ，其中为奇数。 mmkN,*由条件知(若则为偶数;
2、若，则为奇数。 mA,xAk,mA,xAk,于是是否属于，由是否属于确定。 AAxm设是中所有奇数的集合(因此等于的子集个数。 fn()QPQnnnnn，1当为偶数 或奇数)时，中奇数的个数是()。 nPn22n,22n，为偶数,?。 fn()=，,1n，,22n为奇数,【考点】集合的概念和运算，计数原理。 【解析】(1)找出时，符合条件的集合个数即可。 n=4(2)由题设，根据计数原理进行求解。 n,2例2.(2012年上海市理18分)对于数集，其中0,x,x,？,x，定义X,1,xxx？12n12n,向量集Y,|(,),aaststX,X. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例a
3、a,0a,Ya,Y1212如X1,1,2具有性质P. (1)若,2，且，求的值;(4分)来源:GKSTK.Com xx,1,1,2,x(2)若X具有性质P，求证:1,X，且当,1时，=1;(6分) xxn1(3)若X具有性质P，且=1，(为常数)，求有穷数列x,x,？,x的通项公式.(8分) qxxq,1212n第1页 共7页 ,【答案】解:(1)选取，则Y中与垂直的元素必有形式。 ax,(,2)a(,1,b)11，从而=4。 ?xb=2x,(2)证明:取，设满足。 axx,(,)Yast,(,Y)aa,0111212由得s，t,0，?s、异号。 (s，t)x,0t1?,1是X中唯一的负数，所
4、以s、中之一为,1，另一为1。 t故1,X。 假设，其中1,k,n，则。 x,10,x,1,xk1n,选取，并设满足，即。 axx,(,)Yast,(,Y)sx，tx,0aa,011n21n12则s、异号，从而s、之中恰有一个为,1。 tt若s=,1，则，矛盾; x,tx,t,x1n1若t=,1，则x,sx,s,x，矛盾. n1n?=1。 x1i,1 (3)猜测，i=1, 2, , 。 x,qni记，=2, 3, , 。 knA,1,1,xx？kk2先证明:若具有性质P，则也具有性质P。 AAk，1k,ss 任取，、t,.当、t中出现,1时，显然有满足。 ast,(,)Aaaa,01k212s
5、,1t,1s 当且时，、t?1。 ,?具有性质P，?有，s、t,，使得。 AAast,(,)aa,0k，1k，11121112从而s和t中有一个是,1，不妨设s=,1， 111ttt,x假设,且,，则。 AAk，1k1k，111s由(s,t),(,1,x),0，得s,tx,x，与,矛盾。 Akk，1k，1k，1t?,，从而也具有性质P。 AAkk1i,1现用数学归纳法证明:，i=1, 2, , 。 x,qni当=2时，结论显然成立。 n第2页 共7页 i,1 假设时，有性质P，则，i=1, 2, , ; nk,x,qkA,1,1,xx？kk2i则当时，若有性质P，则 nk,+1A,1,1,xx
6、x？A,1,1,xx？kkk，121kk2k,1 也有性质P，所以。 A,1,1,qqx？kk，11,，并设满足，即。 取axq,(,)ast,(,)xs，qt,0aa,011k，2k，112由此可得与中有且只有一个为,1。 tsq 若t,1，则s,1，所以,，这不可能; xqk，1sk,1kk,1ks,1 ?，又，所以。 x,qt,q,q,qx,qx,q，1k，1k，1ki,1i,1 综上所述，i=1, 2, , 。 x,qx,qnii【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。 【解析】(1)根据题设直接求解。 (2)用反证法给予证明。 (3)根据题设，先用反
7、证法证明:若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证AAk，1ki,1明猜测，i=1, 2, , 。 x,qni例3. (2012年北京市理13分)设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足:每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。 对于A?S(m，n)，记R(A)为A的第?行各数之和(1?m)，C (A)为A的第j列各数之和(1?j?n); ij记K(A)为?R(A)?,?R(A)?,?R(A)?,?C(A)?,?C(A)?,?C(A)?中的最小值。 12m12n(1)对如下数表A，求KA的值; ，1 1 ,0.8 0.1 ,0.3 ,1 (
8、2)设数表A?S(2,3)形如 1 1 c a b ,1 求KA的最大值; ，(3)给定正整数t，对于所有的A?S(2，2t+1)，求KA的最大值。 ，第3页 共7页 【答案】解:(1)由题意可知， rA=1.2rA=1.2cA=1.1cA=0.7cA=1.8，,，12123?。 KA0.7,，(2)先用反证法证明: KA1,，CA=a11，若，则， KA1，1,a1,1a11a1,?(无解)。 0a1,同理可知。 0b1?。 0ab2，由题设所有数和为0，即， ab+c1=0ab=1c，,，,?，解得，与题设c1,矛盾。 01c2,3c1rA=rA=1212t，tt2t+2t+2，t+1t1
9、2t+1,。 ，cA=cA=cA=1+=,t1t22t+1，t+2t+22t+1下面证明是最大值。 t+22t+1若不然，则存在一个数表A?S(2，2t+1)，使得。 ，KA=xt+2由KA的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1Ax，第4页 共7页 的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的x2， Ax1A,。 每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1,设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。Ahghgtht+1,，g另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。 A考虑的第一行，由前面结论
10、知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每AAtt+1个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1)，每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过x1,)。 1x,rA=rAt1t11x=2t1t1x=x2t1t+2xx,，,，,，,，因此，故A，11，的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。 x2t+1因此的最大值为。 KA，t+2【考点】逻辑推理，反证法的应用。 【解析】(1)根据r(A)为A的第i行各数之和(i=1，2)，c (A)为A的第j列各数之和(j=1，2，3);ij求出|r(A)|，|r(A)|，|c(A)|，|c(A)|，|c(A)|中的最小值可即为所求。来源:GKSTK.Com
11、 12123(2)用反证法证明。 2t1，2t+1 (3)先构造满足的，用反证法证明是A=ai=1,2j= t ;1，2，,2+1，,KA=ij，t+2t+2最大值。 201,a例4. (2012年广东省文14分)设，集合，AxRxaxa,，,23(1)60，AxRx,0,DAB,:( (1)求集合(用区间表示); D32(2)求函数在内的极值点( fxxaxax()23(1)6,，D2【答案】解:(1)设， gxxaxa()23(1)6,，12方程的判别式 gx()0,D=+-=-9(1)489()(3)aaaa312D0?当时，23(1)60xaxa,，,恒成立， a132?BxRxaxa
12、R,，,23(1)60。 ,?，即集合D=。 DABAxx,:|0(0,)+ 第5页 共7页 1?当时，D 0，方程的两根为 gx()0,0 a322339309aaa+-+339309aaa+-+，。 x= 0x=12442? BxRxaxa,，,23(1)60,22339309339309aaaaa，,，,a， ,xxx|,或442233930933930aa，,，aa，a,a9?， DABA,:x|0,x,或x4422339309339309aaaaaa+-+-+即集合D=。 (,0)，)(:+ 44322(2)令得 fxxaxaxxaxaxax()23(1)666(1)66()(1)0
13、,，,，,32的可能极值点为。 fxxaxax()23(1)6,，a,11,x ?当时，由(1)知，所以随的变化情况如下表: D,(0,)，,fxfx(),()a13xa 来源:GKSTK.Com (0,)a(,1)a(1,)，, 1,fx(), ， ， 0 0 fx()? 极大值 ? 极小值 ? 32xa,?在D内有两个极值点为:极大值点为，极小值fxxaxax()23(1)6,，a,1点为x,1。 1?当时， 0 a322339309339309aaaaaa+-+-+由(1)知(,0)，)(:+ =(0,)(,)xx:，,。 D,1244?， ?01,axx， fxxxxxx()2()()
14、,1212,x?随的变化情况如下表: fxfx(),()xa (0,)a(,)ax(,)x，, 12第6页 共7页 , , fx() ，0 极大值fx()? ? ? 32?在D内仅有一个极值点:极大值点为xa,，没有极小值fxxaxax()23(1)6,，点。 【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。 112【解析】(1)根据根的判别式应用分类思想分、讨论即gxxaxa()23(1)6,，a10 a33可，计算比较繁。来源:学优 3222)求出，得到的 (fxxaxaxxaxaxax()23(1)666(1)66()(1),，,，,fx()11可能极值点为。仍然分、讨论。 a,1a10 a33第7页 共7页