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1、高考数学综合题解答-直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 22xy1(设、分别是椭圆+=1的左、右焦点. FF1254PFPF,(?)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; 12)是否存在过点A(5，0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|FC|=|FD|, (?22若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由. 解:(?)易知， a,5,b,2,c,1,？F,(,1,0),F(1,0)12设P(x，y)， 4122222PFPFxyxyxy,，,(1,)(1,)1,，,，xxx413则 ， 1255， ？x,5,5PFPF,，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3; ？当x,012PFPF
2、,当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 。 x,512注:向量问题大多转化为其代数形式即坐标间的数量关系。 (?)假设存在满足条件的直线l，易知点A(5，0)在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，不妨设直线l斜率为k，则直线l的方程为 ， y,k(x,5)22,xy，,1,2222，得(54)50125200kxkxk，,，,由方程组， 54,ykx,(5),552依题意 ， ,20(1680)0kk，得5555(x,y)、D(x,y)当,k,时，设交点C，CD的中点为R， (x,y)1122005522x，x50k25k12x，x,x,则， 1202
3、225k，45k，42k,k2520 ？y,kx,k,(5)(5).0022k，k，5454,FR,l,k,k,1又|FC|=|FD， 222FR21 20k0,(,)2220k5k，4 ， ？k,k,k,1FR22225k4,20k1,25k，42222?20k=20k,4，而20k=20k,4不成立， 所以不存在直线，使得|FC|=|FD|， l22综上所述，不存在直线l，使得|FC|=|FD| 。 22注:解答的关键是实现|FC|=|FD的转化，再设而不求。,FR,l,k,k,1222FR2否则，试想一下，若直接利用两点间距离公式计算|FC|=|FD|，后面的运算将会非常繁杂，22很容易
4、出错。不要忘记对直线斜率存在性进行判断和检验一元二次方程的判别式等细节问题，推理过程须完整、严谨。 2(已知点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率(0,1),(0,1)AMBM,AB,1,之积为( 2(1)求点M轨迹的方程; CD2,0(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、lCEFEDF，之间)，试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)( ,ODE,ODFO1yy，,111kk,解:(1)设点的坐标为，?，?( M(,)xy,AMBM2xx22x2，,y1整理，得()，这就是动点M的轨迹方程( x,02(2)方法1:如图，由题意知直线的斜率存在， l1ykx,2k,设的方
5、程为() ? l，22x22222，y,1(2k，1)x,8k,x，(8k,2),0将?代入，得， 2120,k由,0，解得( 22,k8x，x,12,2,2k，1Exy,Fxy,设，则 ? ，,112228k,2,xx,.122,2k，1,|DES,ODE,xx,22,DEDF,令，则，即，即，且01., ,，12|DFS,ODF2 ,4,(2)(2),xx,，,122,21k，由?得， ,2,(xxxxxx,，,2)(2)2()4.1212122,21k，,4,12,，,x，222,21k，,2141k，2即 ( ？,即k,2222(1)8(1)2，,x,2.，,22,21k，,11411
6、,411,22k,且且( 0,k？,02242，(1)24(1)22,11,解得且，且( 322322,，,？3,22,101,3311,322,1,?ODE与?ODF面积之比的取值范围是( ,33,方法2:如图，由题意知直线的斜率存在， l设的方程为 ? xsy,，2(2)s,l2x222，y,1将?代入，整理，得， (2)420sysy，,22由，解得( ,0s,24s,yy，,122,s，2Exy,Fxy,设，则 ? ，,11222,yy,.122,s，2,1ODy,1Sy,ODE21令，且( 01,1Sy,ODF2ODy,224s,，,1,y，22,s，2将代入?，得 yy,1222,
7、y,.,22,s，2,222,，121,，8s2,s,?(即( 22s，261,3 2221,，21,，22?且，?且( ,2,4s,2s,42261,61,112,即且(解得且( 322322,，,，,610331,，且( ？3,22,101,311,322,1,故?ODE与?ODF面积之比的取值范围是( ,33,22xy3(椭圆G:的两个焦点为F、F，短轴两端点B、B，已知F、，,1(a,b,0)1212122abF、B、B四点共圆 ，且点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为 52.212(1)求此时椭圆G的方程; (2)设斜率为k(k?0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF
8、的中点，问3P(0,)、QE、F两点能否关于过点的直线对称,若能，求出k的取值范围;若不3能，请说明理由. 解:(1)根据椭圆的几何性质，线段FF与线段BB互相垂直平分，故椭圆中心即为该四1212点外接圆的圆心， 222故该椭圆中a=b=c，即椭圆方程可为x+2y=2b， 22设H(x，y)为椭圆上一点， 22222则， |HN|,x，(y,3),(y，3)，2b，18,其中,b,y,b22若0， ,b,3,则当y,b时，|HN|有最大值b，6b，92由(舍去)， b，6b，9,50得b,3,5222若b?3，当y=,3时，|HN|有最大值2b+18， 22由2b+18=50得b=16 ， 2
9、2xy，,1?所求椭圆方程为。 3216(ii)设E(x，y)，F(x，y)，Q(x，y)， 11220022,xy11，,1,3216则由 ? 两式相减得x，2ky,0,0022xy,22，,1,3216,13y,x，又直线PQ?直线m，?直线PQ方程为， k34 13y,x，将点Q(x，y)代入上式得， ? 0000k3233(k,)由?得Q， 3322xy47200k,又k,0而Q点必在椭圆内部，？，,1，由此得， 232169494， ？,k,0或0,k,229494故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称。 k,(,0),(0,)224(飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，
10、地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为，)，在的正东方向，相距6，在的ABCBAkmCB北偏东30?，相距4，为航天员着陆点，某一时刻接到的求救信号，由于、kmPAPBC两地比距远，因此4后，、两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号APsBC的传播速度为1/( kms(1)求、两个救援中心的距离; AC(2)求在处发现的方向角; AP(3)若信号从点的正上方点处发出，则、收到信号的时间差变大还是变小，说PQAB明理由( 解:(1)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 ABC,3030523，22 则 km，AC,5，3，23,219即A、C两个救
11、援中心的距离为( km2194分 ?|PCPB, (2)，所以P在BC线段的垂 直平分线上( ?|PBPA,4 又，所以P在以A、B为焦 点的双曲线的左支上，且 AB,622xy,10x ?双曲线方程为( ，455 BC的垂直平分线的方程为( xy，,370x,8 联立两方程解得:( ( ?，?PkPAB,8533tan，PA?PAB,120?( 所以P点在A点的北偏西30?处(9分 (3)如图，设， PQhPBxPAy,，2222?QBQAxhyh,，,， 22x,y, 2222x，h，y，hx，y,x,y? ，2222x，h，y，hxy， 又? 1,2222xhyh，?QBQAPBPA,Q
12、BQAPBPA?,1111即A、B收到信号的时间差变小(14分 5(有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径(为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在). 222 定理:过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点x，y,r,(r,0)连线,则两条连线的斜率之积为定值,1. 22xy，,1(a,b,0)(?)写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明; 22ab22xy,1(a,0,b,0) (?)写出该定理在双曲线中的推广; 22ab你能从上述结论得到有心圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、圆)的一般性结论吗,请写出你的结论. 解:(?)
13、设直径的两个端点分别为A、B，由椭圆的对称性可得A、B关于中心O(0,0)x,y),x,y)对称，所以A、B点的坐标可分别设为A(，B(.1分 111122xy，,1假设P(是椭圆上任意一点，显然，2分 |,|xxyy,x,y)1122ab因为A、B、P三点都在椭圆上， 22xy22222211，,，,1即bxayab所以有 ? 1122ab6 22xy222222，,，,1即bxayab ? 22ab22yy,yyyy,，111而?，5分 kk,kk,，PAPBPAPB22xx,xxxx,，111222222又由?,?得:， bxxayy()()0,，,11222yyb,1? .7分 ,22
14、2xxa,122xy，,1(a,b,0)所以该定理在椭圆中的推广为:过椭圆上异于直径两端点的任22ab2b意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值,.8分 2a22xy,1(a,0,b,0)(?)该定理在双曲线中的推广为:过双曲线上异于直径两端点22ab2b的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值(10分 2a22 该定理在有心圆锥曲线中的推广应为:过有心圆锥曲线上异于Ax，By,1(AB,0)直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值,A (12分 B6(已知双曲线C中心在原点且焦点在x轴上，过双曲线C的一个焦点且与双曲线
15、有且只有个交点的直线的方程为。 43200xy,，,(1)求双曲线C的方程; (2)若过双曲线左焦点作直线l，使，垂足为，求的面积的最大值; PFlPF,PFF1212(3)过双曲线C的左焦点的直线l与双曲线交于A、B两点。试讨论的周长是F,ABF21否有最小值，若有，求出最小值;否则，说明理由。 解:(1)在直线方程中，令，可得，所以双曲线的一个焦点43200xy,，,x,5y,0坐标为， (5,0),22xy设双曲线方程为,10,0ab，而过双曲线一个焦点且与双曲线有且只有一个，22abb422ab，,5,交点的直线是与双曲线的渐近线平行的直线，所以应有，又根据条件知，a322xy所以，故
16、双曲线C的方程为。 ,1ab,3,4916ykxk,，,50(2)根据图形可知，直线l的斜率存在且不为0，不妨设l的方程为，7 1则直线的方程为， yx,5PF，2k2,55,k1,x,2,2yx,5，,5510,kk,1，k由解得， 即P点的坐标为， ,k,2211，kk10k,ykx,，5，y,2,1，k,所以的面积为 ,PFF1250k1101105050kkSFF,1025， 122221212112，kkk，kk1当且仅当，即或时取等号，此时直线l不平行双曲线的渐近线，与双k,1k,1k,k曲线一定有两个交点，故的面积的最大值为25。 ,ABF2ykx,，5(3)当直线l的斜率存在时
17、，设方程为，代入双曲线的方程可得，222kx，5，x,1， 9160,kxkxk整理得， ，42k,由直线和双曲线有两个交点可知，即， 1690,k3290kAxyBxy,设，则。 xx，,，1122122169,kc5,， 而双曲线的离心率为a3根据双曲线的第二定义可得 22，,5aa ABAFBFxx,，,，,11123cc,，25525a,，,，xxxx6， ，1212333cAFAFBFBF,6,6由双曲线的定义， 2121AFAFBFBF,，,12AFBFAB，,12相加可得，即， 2121228 5，所以的周长是 ,ABFAFBFABABxx，,，,，,，1221226，22122
18、,3，2101090300100k ， ,，,xx，12216331693,k9,2k100当直线l的斜率不存在时，可以算得的周长为。 ,ABF23100? 的周长有最小值为，此时直线l的斜率不存在。 ,ABF2322xy222,10ab7(已知双曲线:和圆:(其中原点为圆心)，COOxyb，,，22abPxy,过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、( COAB，00(1)若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围; CPe，,APB90(2)求直线的方程; AB(3)求三角形面积的最大值( OAB222bcabb，,1解:(1)因为，所以，所以,2(1分 ab,0e,，1,aaaa
19、,由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以( PAOBOPb,2，,APB90222b26cabb，,因为，所以，所以( OPba,2e,，1,a22aaa,3分 ，,6故双曲线离心率的取值范围为(4分 e,2,2，,222222PAOPOAxyb,，,(2)方法1:因为， 00PA所以以点P为圆心，为半径的圆P的方程为 22222xxyyxyb,，,，,(5分 ，0000因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，6分 222,xyb，,所以联立方程组7分 ,22222xxyyxyb,，,，,.，,0000,222消去，即得直线的方程为xxyyb，,(8分 ABxy009 Axy,Bxy
20、,Pxy,方法2:设，已知点， ，112200yy,y011其中xxx,0k,则，( k,，101OAPAxx,x011yy,y011因为，所以，即，,1(5分 PAOA,kk,1PAOAxxx,01122整理得( xxyyxy，,，0101112222因为，所以(6分 xxyyb，,xyb，,110101因为，根据平面几何知识可知，( OAOB,PAPB,ABOP,yx00k,k,因为，所以(7分 OPABxy00x0所以直线方程为( AByyxx,，11y0即( xxyyxxyy，,，0001012所以直线的方程为(8分 ABxxyyb，,00AxyBxy,Pxy,方法3:设，已知点， ，
21、112200yy,y011其中xxx,0k,则，( k,，101OAPAxx,x011yy,y011，,1因为，所以，即(5分 PAOA,kk,1PAOAxxx,01122整理得xxyyxy，,，( 010111y P 2222xxyyb，,因为xyb，,，所以(6分 110101A 2这说明点在直线上( 7分 Axxyyb，,002同理点也在直线xxyyb，,上( B00x O 2B 所以xxyyb，,就是直线AB的方程( 8分 002(3)由(2)知，直线的方程为xxyyb，,， AB002bd,所以点O到直线AB的距离为( 22xy，0022242bxyb，,b20022ABOAdb,2
22、2因为， 2222xy，xy，000010 3222bxyb，,100所以三角形的面积(10分 SABd,，,OAB222xy，00以下给出求三角形的面积的三种方法: OABS22xyPxy,方法1:因为点在双曲线,1上， ，0022ab222222xybxab,222000xa,所以,1，即y,( ，00222aba2,b2222222设， txybxbab,，,，,12,0002a,3btS,所以(11分 22tb，3,，,btbtb，,， 因为S,222tb，,所以当时，当时，( 0,tbS,0tb,S,03bt0,bb,，,S,所以在上单调递增，在上单调递减(12分 ，22tb，3bb
23、，1222abb,Sb,bab,2当，即时，13分 最大值22bb，2322322babbab，,22abb,ab,2当，即时，S,( 最大值22a222abb,，3221bab,2Sb,综上可知，当bab,2时，;当ab,2时，( S,最大值最大值22a14分 33btb222txyb,，,方法2:设，则(11分 S,00222btb，t，t2222xyxy00Pxy,1,1因为点在双曲线上，即， ，002222abab2222bxab,2220xa,y,即( ，002a2,b2222222txybxbab,，,，,12所以( ,0002a,11 22tbtb，,，bb,令，则gt,1( g
24、tt,，22ttt,gt,0gt,0所以当时，当时，( 0,tbtb,，2b0,bb,，,所以在上单调递减，在上单调递增(12分 gtt,，t3b1222当abb,，即时，13分 bab,2Sb,最大值2b2b，b3322bbab,22abb,当，即时，S,( ab,2最大值22ba22ab,，22ab,12Sb,综上可知，当bab,2时，; 最大值2322bab,当ab,2时，(14分 S,最大值2a232btb,11,2232方法3:设，则(11分 txy,，Sbb,，00,ttt,2222xyxy00Pxy,1,1因为点在双曲线上，即， ，002222abab2222bxab,2220x
25、a,y,即( ，002a2,b22222所以( txyxba,，,，,1,0002a,211,222令， gubuubu,，,，,2224bb,11,，,gu所以在上单调递增，在上单调递减(12分 ,，,222b2b,11,，u,0,因为，所以， ta,2,ta,，1111,bab,2当，即时， gug,，,2222，max2ba24bb,1132Sbb,，,此时( 最大值22b13分 12 22111ab,当，即时， ab,2，gug,，,2224，max2baaa,322bab,此时( S,最大值2a12Sb,综上可知，当时，; bab,2最大值2322bab,当时，(14分 ab,2S,
26、最大值2a33y,x8(2010深圳一模)已知、分别是直线和上的两个动点，线段 ABABy,x33的长为，是的中点( PAB23(1)求动点的轨迹的方程; PC(2)过点作直线(与轴不垂直)与轨迹交于两点，与轴交于Q(1,0)xCMN、ly点(若，证明:为定值( RRMMQ,，RNNQ,2FFxy,4已知抛物线:的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点; ABlCCA(x,y)B(x,y)解:(1)设，( P(x,y)1122xx，,12x,2?是线段的中点，? 2分 PAB,yy，12,y,.,233yx,?分别是直线和上的点， AB、yx,3333yx,?和( yx,112233,xxy,23
27、,12,? 4分 ,23yyx,.,123,22又，?( 5分 AB,23(x,x)，(y,y),1212124221212yx，,?， 32x2，,y1?动点的轨迹的方程为( 6分 PC9(2)依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为ykx,(1)( 7分 llN(x,y)设、， M(x,y)R(0,y)4433513 y,k(x,1),2则两点坐标满足方程组 MN、x,2y，,1.,9,2222消去并整理，得， 9分 y(19)18990，,，,kxkxk2299k,18k?x，x,， ? xx,( ? 10分 3434221，9k19，kRM,MQ?，?( ,(x,y),(0,y),(
28、1,0),(x,y)33533,(1,),xx,33即?(?与轴不垂直，?， lxx,(1,x)x,1,333y,y,y.353,xx34?,，同理,( 12分 1,x1,x34()2xxxx，,xx343434,?,，,，( 1,x1,x1(),，xxxx3434349,，,将?代入上式可得( 14分 43F9(椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率( e,Ex2(1)求椭圆的方程; Ellll(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点(证明:ABMC1212; AB,MF,MAMB(3) 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、(、EMMAC,ABFMA
29、MB为切点)，使得直线过点,若存在，求出抛物线与切线、所BC围成图形的面积;若不存在，试说明理由( y BFxA OM 图6 22xy，,1(0)ab解:(1)设椭圆的方程为 ，半焦距为c. E22ab由已知条件，得F(0,1)， 14 b,1,c3,? ,a2,222,，abc,a,2,b,1 . 解得2x2，y,1所以椭圆的方程为:. 分 4E4(2)显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， llC故可设直线的方程为 ， y,kx，1lAxyBxyxx(,),(,)(),112212y,kx，1, 由 ,2x,4y,2消去并整理得 ， yxkx,440xx,4 ? .
30、分 512112,yx,y,x?抛物线的方程为，求导得， C24?过抛物线上、两点的切线方程分别是 ABC11y,y,x(x,x)y,y,x(x,x) ， ， 11122222111122y,xx,xy,xx,x即 ， ， 11222424x，xx，xxx121212ll解得两条切线、的交点的坐标为，即，分 7(,)M(,1)M12242xx，111222212FMABxxyy,(,2)(,),(x,x),2(x,x),0? 212121212442?. 9分 AB,MF,(3)假设存在点满足题意，由(2)知点必在直线上，又直线与椭圆MMEy,1y,1,有唯一交点，故的坐标为， MM(0,1)1,设过点且与抛物线相切的切线方程为:，其中点为切点. MC(x,y)y,y,x(x,x)000002112令得， x,0,y,1,1,x,x(0,x)00042解得或 ， 11分 x,2x,200, 故不妨取，即直线过点. ABFA(,2,1),B(2,1)15 , 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、,MAMBEMCM(0,1),(、为切点)，能使直线过点. ABFAB此时，两切线的方程分别为和. 分 12yx,1y,x,1, 抛物线与切线、所围成图形的面积为 MAMBC211142，232 . 分 14Sxxdxxxx,，,2(1)2(),0,041223，16