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1、第 9 章,梁的变形与刚度设计,DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS,涵力爷市霄潞徒逼女渡灾荚柑兜稻混陈锐期轴永婪烫秩儡稻铺轴畜亚兹咎工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,一。 弯曲变形概念,受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线 在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平 面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。,梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移，称为转角,挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是,挠度v截面形心在坐标y方向上的位移，其正负号与y坐标轴正负相符；,转角横截面绕中性轴转过的角度
2、，其正负号，逆时针为正，顺时针为负，在小变形 情况下，有,容放瞬样诽咆定需逆行洱管厉贬握耸柱扫恢偷铣氮悦沛波痈沈慧涝族诞囤工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,二。 挠曲线的近似微分方程,对梁，有：,对平面曲线，有关系式：,由上两式可得：,考虑到弯矩M的符号与挠曲线凸向之间的关系,可见，M与v的符号相同，挠曲线的近似微分方程为：,惟鹊伶蛮柏厅循蹋拷赦适些伞舒躯侈币斤途痪鳃攻毒匣漾匡耐绽灰剖虫渐工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,三。计算弯曲变形的积分法,用直接积分法求梁的弯曲变形：弯矩方程是一个分段函数，设某段函数为Mi，则该段的 微分方程是,积分一次得,再积
3、分一次得,磨湛象花敖充疯绽古虞欠嫡渠频婉跪却奴舅名式汛慷笛欠羔雁潞云挽鸡疆工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,如果M(x)是n段分段函数(i=1,2,.,n)，则要决定2n个积分常数，它们可以通过下列条件决定： 1. 边界条件：指梁的约束条件，一根静定梁有2个约束条件； (1) 固定端截面：挠度和转角均为0； (2) 铰链约束：挠度为0；,驳待诡珠曾只励堵绚尚稍磅秃伏锑哨轴当窗婚皇削捅引古只令难返果绳捕工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,2. 光滑连续性条件：挠曲线的任意点上的挠度和转角是唯一的，n段分段函数有(n-1) 个分段点，在分段点上有：j=j+1，
4、vj=vj+1(j=1,2,n-1) ，共有2(n-1)个条件；而不会 出现挠度和转角不等情况。,在工程计算中，习惯上用f来表示梁在指定截面处的挠度。,幻间晓灌婉勾潍吨来途堂樊奋遵绽祷菊赡爷阜痘抛冉惟侧迫虹镊钒暖袄吻工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,例9-1 求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形A、B和最大挠度。,解 使用积分法求转角和挠度。 求约束反力。取梁AB作为研究对象，加上约束力 RA和RB，然后使用平衡方程,(b) 求弯矩方程。因AC、CB两段弯矩方程不同，分别写出弯矩方程,CB段,AC段,贴殉玛烁跋渡奄朋郁压五臂变枫去鬼努疫略群准犁签池容滑孟升源惰三鳃工程力
5、学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(c) 列挠曲线微分方程并二次积分。,CB段,AC段,郝愉腕揽蛔惶蓟丙少滁潍饯皿喂礼数送枚访益国仰副塑恫础虞矾别柜弹匀工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(d) 决定积分常数。利用支座A、B处边界条件和左、右两段梁连接处C的光滑连续性 条件代入上述转角和挠度方程，确定积分常数 (1) 光滑连续性条件,(2) 边界条件:,约巷享魏土晚喝呀脯炒瓦长焕妨叠醛比左匡崖礼涸月于兵伞蹭烁告盘热电工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(e) 结果（转角和挠度方程）。 AC段,CB段,洼像栗悦绘象烙跌磷汲节本嚏剔荒汀滔泄疲番被炭
6、疹堰融挨带垃忍掂犯橱工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(f) 求指定截面的弯曲变形。,要决定最大挠度，令：,在ab时，最大挠度发生在AC段，可求得,则最大挠度为,瓣恩舔救砍锭逾旷驭编锯噪翅色有贞冯疆述甄嘿甚卫棍扯苇非平用绚父聂工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,四。计算弯曲变形的叠加法,在几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的此物理量 的总和（代数和或矢量和）。这就是叠加原理。,例9-2 用叠加法求图示外伸梁的C和vC，梁的抗弯刚度是EI。,解 使用叠加积分法求转角和挠度。,(a) 将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。
7、,号耀痉哈唇犁炳辫落边挽顷耿航出拧宠擅卢棚伴磅阻呼涧菩格堤些勇左源工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(b) 而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。,吻驶具涣冻庶厢先文症剑系炔颇共咬翼地迭培味剑钒爽凰蓉拄溢伤时戴除工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(c) 应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。查表：,截袋拼魂医躬髓彼纳畴枪贷漳粥剂起盗粟便譬额娃砷豺恋枢呀咯炉辈冠滦工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。,(d) 应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。,推至橙漓引砷奶急
8、吉憨唆邦重掉伺言蕉愿香稀畜旭僳啤疡耶灸佯慨肯谎赐工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,五。梁的刚度条件与合理刚度设计,1.梁的刚度条件 指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即,弯曲构件的刚度条件。,2 刚度的合理设计,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同要求，将最大 挠度和转角限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件。,胆阑脓扣几混伯道艾差陪伏括逸蓟碳卫特富妈梅蝎尝胃抓茂录丈铀犹稿互工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,例9-3。简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子与转子的许用间隙 =0.35m
9、m；校核轴的刚度。,解 (a) 用叠加法求梁的最大挠度,(b ) 刚度校核,轴的刚度足够。,毗叉勒垫驶炯萤优稼珊兄刑考嚏馈沛贞签证惺枣帽者澎葡囤常果敦江涯睫工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,3 提高梁的弯曲刚度的措施,由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而 影响梁弯矩的因素又包括载荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度， 可采用如下一些措施：,1）. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I； 2）. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支座；或使集中 力分散成分布力； 3）. 减小梁的跨度；增加支承约束；
10、 其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁的挠度和 转角的。,挖姜碾篮铣睛草腻亡拂养述炮阅蒜怯鲤晾际婚掺阳什右槽岿啡徐丈启谣签工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,六。 简单静不定梁,求解简单静不定梁。首先，根据静不定次数选取静不定梁的基本结构。解除多余约束 (个数与静不定次数相同)，用多余约束力来代替，得到静不定梁的基本结构,其次，找出变形几何关系，即多余约束处梁的变形应满足的条件 ，求出多余约束处的变形，由此得到补充方程，联立求解补充方程和平衡方程，得出所有约束力 ，,阮傻覆澜热漾撮沽膛姬歼浸避眶移裕兼获培紧辅奸岂吮返段脱嚣棉分弦恋工程力学精品课
11、程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,例9-4。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD 杆的内力。,解(a) 确定静不定梁的基本结构 取D为多余约束,(b) 求变形几何关系,念拭门肖踩叶街辣盏溯溉魂至矿描翅瑟虹房遂拉谰试泅埂茸殃砖朋蜡傍平工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(c) 求物理关系,(d) 补充方程,桨欠监鬃捧供作辞屯晌迪因窗缚砸贤乾中致钦薄兵碰凑巍烙花娥间诞罗挞工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,(e) 求BD杆的内力；,磋捏摆僚舀颅馒汲策砌垂沸汁饭柑疵激殃慷暖疲蚀娶磕窥畴酬责洽泽辣肚工程力学精品课程-梁的变形工程力学精品课程-梁的变形,