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1、导数中的探索性问题一、常见基本题型：(1)探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，例1、 已知函数,(1)若是的极值点，求在上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说 明理由。解:（1）因为是的极值点,所以,得:,在区间1,4上, 在(1,3)单调减在(3,4)单调增,且所以,(2) 设,由题意可得有三个零点,又由于0是的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可;因此,方程有两个不等实根且无零根,所以,所以,存在实数b使得函数的图像与函数的图象恰有3个交 点,且.（2）探索函数的零点个数
2、问题例2.已知函数，是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由解：，因在区间内有两个不同的零点,所以，即方程在区间内有两个不同的实根 设， 令，因为为正数，解得或（舍） 当时, , 是减函数； 当时,，是增函数. 为满足题意，只需在内有两个不相等的零点, 故, 解得 (3) 探索函数图象的位置关系问题例3.若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足： 和，则称直线为和的“隔离直线” 已知，（其中为自然对数的底数）(1)求的极值；(2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由解：(1) ， 当
3、时，当时，此时函数递减； 当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为 (2)由（1）可知函数和的图象在处有公共点，则， 当时，当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为从而，即恒成立函数和存在唯一的隔离直线 二、针对性练习1. 设函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时,是否存在整数，使不等式恒 成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。解：(1)由得函数的定义域为，。 由得；由得，函数的递增区间是；递减区间是。 (2)由(1)知,在上递减,在上递增。 又，且, 时,。 不等式恒成立, ，即是整数，。 存在整数，使不等式恒成立。 2. 已知定义在R上的二次函数满足，且的 最小值为0，函数，又函数。（I）求的单调区间；（II）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（）， 当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B 连线平行于x轴，并说明理由。（参考数据：e=2.71828）解：（I）可得 又在x=0时取得最小值0，令当x变化时，的变化情况如下表：（0，）（，）0增函数极大值减函数的单调递增区间是，的单调递减区间是（，）。（II）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以令 由（I）知在（0，2）内单调递增，故 取则所以存在即存在所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴.