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1、2013高考数学考前知识要点复习 三角函数高中数学第四章-三角函数 考试内容: 角的概念的推广(弧度制( 任意角的三角函数(单位圆中的三角函数线(同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式( 两角和与差的正弦、余弦、正切(二倍角的正弦、余弦、正切( 正弦函数、余弦函数的图像和性质(周期函数(函数y=Asin(x+)的图像(正切函数的图像和性质(已知三角函数值求角( 正弦定理(余弦定理(斜三角形解法( 考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算( (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦
2、的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义( (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式( (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明( (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义( (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示( (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形( (8)“同角三角函数基本关系式:sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”(
3、?04. 三角函数 知识要点 三角函数知识要点 1. ?与,(0?,360?)终边相同的角的集合(角,与角的终边重合):,?, ,|,k，360，,k,Zy23sinxsinx,?终边在x轴上的角的集合: , ,|,k，180,k,Z41cosxcosxx,?终边在y轴上的角的集合:,|,k，180，90,k,Z cosxcosx41,sinxsinx,?终边在坐标轴上的角的集合:,|,k，90,k,Z 32,|,k，180，45,k,Z?终边在y=x轴上的角的集合: SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域,|,k，180,45,k,Z?终边在y,x
4、轴上的角的集合: ,360k,?若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系: ,?若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系: ,360k，180,?若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系: ,180k，,?角与角的终边互相垂直，则角与角的关系: ,360k，,902. 角度与弧度的互换关系:360?=2 180?= 1?=0.01745 1=57.30?=57?18 ,注意:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 180,、弧度与角度互换公式: 1rad,?57.30?=57?18( 1?,?0.01745(rad) ,1801123、弧长公式:. 扇形面积公式: ,
5、slrr|l,|,|,r扇形224、三角函数:设是一个任意角，在的终边上任取(异于原,y的终边ay点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r，则 ; sin,rP(x,y)ryrrxx; ; ; ;. . tan,sec,csc,cos,cot,oxxxryy5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦，三切四余弦) yTPyyy-+-oAoxOoMxxx-+-余弦、正割正切、余切正弦、余割 6、三角函数线 16. 几个重要结论:y(2)y 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: (1)|sinx|cosx|AT. sinxcosx|cosx|sinx|cosx|sinx|OOx xcosxsin
6、x7. 三角函数的定义域: |sinx|cosx|,(3) 若 ox,则sinxxtanx2三角函数 定义域 sinx f(x),x|x,Rf(x),cosx ,x|x,R f(x),tanx 1,且,x|x,Rx,k，,k,Z ,2,f(x),x|x,R且x,k,k,Zcotx f(x),secx 1,且x|x,Rx,k,，,k,Z ,2,f(x),x|x,R且x,k,k,Zcscx ,sin,cos8、同角三角函数的基本关系式: ,tan,cot,cossin,sec,cos,1csc,sin,1 tan,cot,1222222 sin,，cos,1sec,tan,1csc,cot,19、
7、诱导公式: ,k 把的三角函数化为的三角函数，概括为:,2“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系 公式组二 公式组三 公式组一,sinx22sin(2k，x),sinxsin(,x),sinx?xxsinxcscx=1tanx=sin+cos=1cosx,cos(2k，x),cosxcos(,x),cosx cosx22,x?xxcossecxx=1+tan=sec=1tan(2k，x),tanxtan(,x),tanxsinxcot(2k,，x),cotxcot(,x),cotx22?xtancotx=1 1+cotx=cscx公式组四 公式组五 公式组六 ,sin(，x
8、),sinxsin(2,x),sinxsin(,x),sinx,cos(，x),cosxcos(2,x),cosxcos(,x),cosx ,tan(，x),tanxtan(2,x),tanxtan(,x),tanxcot(,，x),cotxcot(2,x),cotxcot(,x),cotx(二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 sin2,2sin,cos,cos(,，,),cos,cos,sin,sin,2222cos,2,cos,sin,2cos,1,1,2sin, cos(,),cos,cos,，sin,sin,2tan,tan2, sin(,，,),sin,cos,，cos,sin
9、,21,tan,1cos sin(,),sin,cos,cos,sin,sin22,tan，tan,，,1cos,tan(，), ,cos1,tan,tan,22,tan,tan,1,cossin1,cos,tan(,), tan,1，tan,tan,21，cos,1，cos,sin,公式组三 公式组四 公式组五 1,sincos,sin，sin,，1,2cos(,),sin,2tan212,sin, cossin,sin，,sin,，,221，1tansin(,),cos,212,coscos,cos，cos,，21,，sin,sin,cos,，,cos,21,2tan(,),cot,1,t
10、an22, cos,，,21，1tansinsin2sincos,，,cos(,，,),sin,2222,，,sinsin2cossin,1,22tan(,，,),cot,2tan,，,22 coscos2coscos，,tan22,21,1tan,，,sin(,，,),cos,coscos2sinsin,2222,6，26,2,. ,tan15,cot75,2,3tan75,cot15,2，3sin75,cos15,sin15,cos75,4410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: ，y,Asin,x，, y,cosx y,cotxy,tanxy,sinx(A、,0) ,1,定义域
11、 R R R x|x,Rx,k，,k,Z且,x|x,R且x,k,k,Z2,1,，1,1,，1 值域 R R ,A,A, 2, 2, 周期性 ,2 ,当非奇非偶 ,0,奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当奇函数 ,0,上为减函,，k,，k，1,，2k,1, ,k,k,，;,，2k,2k,222k, 数() k,Z,22(A), 上为增函上为增函数,，2k,2,1 数(k,Z) ,2k，,2,2k, 上为增函,(,A) ,，2k，1, 数;单调性 上为减函上为增函数; ,，2k,数 ，2,2k，,2,3(k,Z) (A),，2k,2 ,3,2k，,上为减函2(,A),k,Z数() ,，上为减
12、函数k,Z() 注意:?y,sinx与y,sinx的单调性正好相反;y,cosx与y,cosx的单调性也同样相反.一般地，若y,f(x)在a,b上递增(减)，则y,f(x)在a,b上递减(增). ?y,?与的周期是. y,cosxy,sinx,2,0y,cos(,x，,)?y,sin(,x，,)或()的周期. T,x,Ox,的周期为2(，如图，翻折无效). ,y,tanT,T,2,2,?的对称轴方程是x,k，()，对称中心();的对,k,Zy,cos(,x，,)y,sin(,x，,)k,02k,1称轴方程是()，对称中心();的对称中心(). x,k,k,Zy,tan(,x，,),0k,，,0
13、22原点对称 y,cos2x,y,cos(,2x),cos2x,，,k，(k,Z),k，(k,Z)?当?;?. tan,tan,tan,1,tan,1,22,?与是同一函数,而是偶函数，则 y,cosxy,(,x，,)y,sinx，2k,2,1. y,(x，,),sin(,x，k,，,),cos(,x)2?函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y,tanxR为增函数，同样也是错误的. y,tanx?定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义f(x)域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数:，奇函数:f(,x),f(
14、x) f(,x),f(x)1是奇函数，是非奇非偶.(定义奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:y,tanxy,tan(x，,)3域不关于原点对称) 0,x0,x奇函数特有性质:若的定义域，则一定有.(的定义域，则无此性质) f(x)f(0),0?yy?不是周期函数;为周期函数(); T,y,sinxy,sinxx1/2x是周期函数(如图);为周期函数(); T,y,cosxy,cosxy=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象1,的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如: y,cos2x，2. y,f(x),5,f(x，k),k,Rb2222a，b,y? 有. y,acos,
15、，bsin,a，bsin(,，,)，cos,a11、三角函数图象的作法: ,)、几何法: ,)、描点法及其特例五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正、余切曲线). ,)、利用图象变换作三角函数图象( 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等( 1|,2,x，;函数y,Asin(x，)的振幅|A|，周期，频率，相位初相(即,fT,T2,|,当x,0时的相位)(当A,0，,0 时以上公式可去绝对值符号)， 由y,sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|,1)或缩短(当0,|A|,1)到原来的|A|倍，得到y,Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换(用
16、y/A替换y) 由y,sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0,|,1)或缩短(|,1)1到原来的倍，得到y,sin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替|,换x) 由y,sinx的图象上所有的点向左(当,0)或向右(当,0)平行移动,个单位，得到y,sin(x，)的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x，替换x) 由y,sinx的图象上所有的点向上(当b,0)或向下(当b,0)平行移动,b,个单位，得到y,sinx，b的图象叫做沿y轴方向的平移(用y+(-b)替换y) 由y,sinx的图象利用图象变换作函数y,Asin(x，)(A,0，,0)(x?R)的图
17、象，要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数: 函数y,sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y,arcsinx，它的定义域是,1，,，,x,，,22，,1,，值域是( ,，,，,22，函数y,cosx，(x?,0，,)的反应函数叫做反余弦函数，记作y,arccosx，它的定义域是,1，1,，值域是,0，,( 函数y,tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y,arctanx，它的定义域是(,x，,22,?，?)，值域是( ,，,22,函数y,ctgx，,x?(0，),的反函数叫做反余切函数，记作y,arcctgx，它的定义域是(,?，?)，
18、值域是(0，)( II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数:?反正弦函数是奇函数，故，(一y,arcsinxarcsin(,x),arcsinx,x,1,1x定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数) yy,sinx，x,，,，注:，. sin(arcsinx),xx,1,1xarcsin,22，?反余弦函数非奇非偶，但有，. y,arccosxarccos(,x)，arccos(x),，2k,x,1,1注:?，. cos(arccosx),x,arccosx,0,x,1,1?是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数. y,arcsinxy,arccosxy,sinxy,cosx
19、,?反正切函数:，定义域，值域()，是奇函数， (,，,),y,arctanxy,arctanx22x,，. (,，,)arctan(,x),arctanx注:，. x,tan(arctanx),x(,，,),?反余切函数:，定义域，值域()，是非奇非偶. y,arccotx,y,arccotx(,，,)22，. x,(,，,)arccot(,x)，arccot(x),，2k,注:?，. x,(,，,)cot(arccotx),x?与互为奇函数，同理为奇而与非y,arctanxy,arccosxy,arcsinxy,arcsin(1,x)y,arccotx. 奇非偶但满足arccos(,x)，
20、arccosx,，2k,x,1,1arccotx，arccot(,x),，2k,x,1,1,? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 的取值范围 解集 的取值范围 解集 aa?的解集 ?的解集 sinx,acosx,aaa,1 ,1 ,aa=1 =1 ,x|x,2k,，arccosa,k,Z,x|x,2k,，arcsina,k,Zkaa,x|x,k,arccosa,k,Z,1 ,1 ,，x|x,k,，,1arcsina,k,Z,x|x,k,，arctana,k,Z?的解集: tanx,ax,|x,k,，arccota,k,Z?的解集: cotx,a二、三角恒等式. 322n，1,sin3,3si
21、n,4sin,sin2sin,sin,sin，sin,组一 ，n,coscos2cos4.cos2,n，13222sin, cos3,4cos,3cos,cos,cos,组二 n,sin coscoscoscoscos,？,kn,24822n,k12sinn2nsin(n1)d)cos(xnd)， cos(xkd)cosxcos(xd)？cos(xnd)，,，,sind,0knsin(n1)d)sin(xnd)， sin(xkd)sinxsin(xd)？sin(xnd)，,，,sind,0k,tan，tan，tan,tantantan, tan(，),1,tan,tan,tan,tan,tan,tan,组三 三角函数不等式 ,sinxtanx,x,(0,)sinxx, 在(0,)上是减函数 f(x),2x222A，B，C,x，y，z,2yzcosA，2xzcosB，2xycosC若，则