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1、高考数学解题思想方法-分类讨论思想方法二、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ? 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a,0、a2时分a0、a,0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不
2、确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论。 ?、再现性题组: 1(集合A,x|x|?4,x?R，B,x|x,3|?a，x?R，若A
3、B，那么a的范围是_。 ,A. 0?a?1 B. a?1 C. a1 D. 0a0且a?1，p,log(a，a，1)，q,log(a，a，1)，则p、q的大小关系是aa_。 A. p,q B. pq D.当a1时，pq;当0a1时，p0、a,0、a1、0a1两种情况讨论，选C; 3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0; ,4小题:分,、0、0、x0两种情况，选B; 6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D; 7小题:分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 ?、示范性题组: 例1. 设0x0且a?1，比较|log(1,x)|与|log(1，x)|的大小
4、。 aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ? 0x1 ? 01,x1 ? 当0a0，log(1，x)0; aaaaa(1,x)0，所以 ? 当a1时，logaa|log(1,x)|,|log(1，x)|,log(1,x) ,log(1，x),log(1,aaaaa2x)0; 由?、?可知，|log(1,x)|log(1，x)|。 aa【注】本题要求对对数函数y,logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1时其是a增函数，当0a1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性;最后差值的符号判断，也用到函数的单调
5、性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A?B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数: ?. CA?B且C中含有3个元素; ?. C?A? 。 ,【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类:?属于A 元素;?不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 122130【解】 C?C，C?C，C?C,1084 128128128【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种33解题思路是直接使用“排除法”，即C,C,1084。 2
6、08例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ?. 证明: nnlglgSS，lg()lg()ScSc,，,nn，2nn，20，使得,lgn，122(S,c)成立,并证明结论。 n，1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q,1和q?1两种情况。 【解】 设a的公比q，则a0，q0 n1222?(当q,1时，S,na，从而SS,S,na(n，2)a,(n，1)a,n1nn，2n，11112a0; 1naq()1,1 当q?1时，S,，从而 n1,q2nn，22n，12aqq()()11,aq()1
7、,22n11SS,S,aq0; nn，2n，1122()1,q()1,qlglgSS，nn，222由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。 n，1n，1nn，2nn，2n，12lg()lg()ScSc,，,nn，2?. 要使,lg(S,c)成立，则必有(S,c)(S,c),n，1nn，222(S,c), n，1分两种情况讨论如下: 当q,1时，S,na，则 n122(S,c)(S,c),(S,c),(na,c)(n，2)a,c,(n，1)a,c,nn，2n，11112a0 1nnaq()1,aq()1,112当q?1时，S,，则(S,c)(S,c),(S,c),nnn，2n，11
8、,q1,qn，2n，1aq()1,aq()1,12n1c ,c,c,aqa,c(1,q) 111,q1,qa1n? aq?0 ? a,c(1,q),0即c, 11q1,naqa11而S,c,S,0, 使得,lg(S,c)成立。 n，12【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明loglog，SS05052.nn，logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，05.n，12对数函数为单调递减。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。 2例4. 设
9、函数f(x),ax,2x，2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛 物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合 得解。 1 4 x 112 【解】当a0时，f(x),a(x,)，2, aa 1 ,1,1,4,?1 ,aa? 或 , 1 4 x 11,fa()1220,?,，f(),2,0,aa,1,?4,a或 ,fa()416820,?,，,11? a?1或a; 22,fa()1220,?,，当a 。 2【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭
10、区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。 ()()xaxa，,461例5. 解不等式0 (a为常数，a?,) 21a，2【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a，1的符号和两根,4a、6a的大小，故对11参数a分四种情况a0、a,0、,a0、a0时，a,; ,4a0 。 所以分以下四种情况讨论: 2当a0时，(x，4a)(x,6a)0，解得:x6a; 2当a,0时，x0，解得:x?0; 1当,a0，解得: x,4a; 21当a,时，(x，4a)(x,6a)0，解得: 6ax0时，x6a;当a,0时，x?0
11、;当,a0时，x21,4a;当a,时，6ax0)， ? ,y，2y,a 解得:y,1?1,a (0?a?1) 1，a1,a由上可得，z,?(,1，)或?(1?), 【注】本题用标准解法(设z,x，y,再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 2222xy，【另解】 设z,x，y,，代入得 x,y，2，2xy,a; 2222,xyxya,，,2,? ,20xy,21，a1，a当y,0时，x，2|x|,a，解得x,?(,1，)，所以z,?(,1，); 21,a1,a当x,0时，,y，2|y|,a，解得y,?(1?)，所以?(1?),。 由上可
12、得，z,?(,1，)或?(1?), 1，a1,a【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy,0而分x,0和y,0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。 2例7. 在xoy平面上给定曲线y,2x，设点A(a,0)，a?R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40) 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x?0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。 2【解】 设M(x,y)为曲线y,2x上任意一点，则 2222222|MA|,(x,a)，y,(x,a)，2x,x,2(a,1)x，a,x,(a,1)，(2a,1) 2由于y,2x限定x?0，所以分以下情况讨论: 2当a,1?0时，x,a,1取最小值，即|MA,2a,1; min22当a,10时，x,0取最小值，即|MA,a; min,()a?时121a,综上所述，有f(a), 。 ,|a()a,1时,【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x?0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d,f(a)的函数表达式。