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1、2012高考数学解题技巧【专题3】转化与化归思想【专题三】转化与化归思想 【考情分析】 数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 预测2011年高考对本讲的考查为: (1)常量与变量的转化:如分离变量，求范围等。 (2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 (4)出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 所谓转化与化归思想就是把待解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法将实际问题数学化、
2、陌生问题熟悉化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，最后归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上来解决原问题的数学思想。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1(转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根)，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2(常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形
3、式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法:引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化; (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题; (5)坐标法:以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径; (6)类比法:运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径; (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的; (1
4、0)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题CA的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。 U3(化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决; (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据; (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律; (4)直观化原则:将比较抽
5、象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 【思想方法】 题型1:集合问题 例1(2007年湖南文14)设集合 ，?的取值范围是 ;?若AxyyxxBxyyxbAB,，,|2|,0,|,b，,且的最大值为9，则xy，2xyAB,b，的值是 。 b (2)已知函数222 f(x),4x,2(p,2)x,2p,p，1,在区间,1,1f(c),0c上至少存在一个实数使,求实2 p数的取值范围. 9解析:(1)?;?由图象可知的2)，,b2取值范围是;?若则2)，,xyAB,，9(x，y)在图中的四边形内，
6、t=在(0，b)处取得最大值，所0+2b=9，所以b= xy，22(2)分析:运用补集概念求解 p解答:设所求的范围为A,则 22,p在,1,1上函数f(x),4x,2(p,2)x,2p,p，1,0CA,I 注意到函数的图象开口向上 2,(1)2390f,p,p，,3,3,？CA,p,pp,或p,I22(1)210f,p，p，, 3A,P,3,P,2 点评:对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型2:函数问题 3232,3,，5,1,3,，5,5a，,例2(1)已知函数,满足，求的值; 1,a(2)(
7、2010年高考山东卷理科，22题)已知函数. f(x),1nx,ax,1(a,R)x112x,(0,2)()24.f(x) (?)当时，讨论的单调性;(?)设时，若对任意，a,gx,x,bx，当a,124x,1,2f(x),g(x)存在，使，求实数的取值范围. b212323f(x),x,3x，5x,(x,1)，2(x,1)，3,解析:(1)构造函数 f(,),1,f(,),5.则有 3g(t),t，2t又在R上是单调递增的奇函数，且 g(,1),f(,),3,2. g(,1),f(,),3,2, g(,1),g(,1),g(1,),1,1,，,2故。 1,a(2)解:(?)因为 fxxax(
8、)ln1,，,x2111aaxxa,，, 所以 fxax()(0,),，,，,22xxx2hxaxxax()1,(0,),，,，, 令 1)当 (ahxxx,，,，,0,()1,(0,)时, 所以，当xhxfx,(0,1),()0,()0时此时，函数单调递减; fx(),fx()0,函数f(x) 当时，此时单调递 x,，,(1,)hx()0, (2)当 a,0时,由f(x)=012 即，解得 axxa,，,10xx,1,112a1xxhx,()0 ?当时，恒成立， a,122, 此时，函数在(0，+?)上单调递减; fx()0,fx()11 ?当 0,110,a时2a,hxfxfx()0,()
9、0,(),此时函数 x,(0,1)时，单调递减; 1,hxfxfx()0,()0,(),此时函数 时，单调递增; x,(1,1)a1, ，此时fx()0,，函数fx()单调递减; xhx,，,(1,),()0时a1 ?当时，由于 ,10a,0a, x,(0,1)时，hx()0,，此时fx()0,，函数fx()单调递减; , x,，,(1,)时，hx()0,，此时fx()0,，函数fx()单调递增。 综上所述: 当时，函数fx()在(,，,)上单调递减; a,0fx() 函数在(,，?)上单调递增; 1 当时，函数在(0，+?)上单调递减; fx()a,21 当时，函数在(0，1)上单调递减;
10、fx()0,a21 函数在上单调递增; fx()(1,1),a1上单调递减， 函数fx()(1,)在,，,a11 (?)因为，由(?)知， a,(0,)22,xx,1,3(0,2) ，当x,(0,1)时,f(x)0， 12, 函数单调递减;当时， fx()x,(1,2)fx()0,1 函数单调递增，所以在(0，2)上的最小值为 fx()fx()f(1),2x,1,2fxgx()(),x,(0,2) 由于“对任意，存在，使”等价于 12121 “在1，2上的最小值不大于在(0，2)上的最小值” (*) gx()fx(),222gxxbbx()()4,1,2,，, 又，所以 ()(1)520gxg
11、b, ?当时，因为，此时与(*)矛盾; b,1min2 ?当时，因为，同样与(*)矛盾; b,1,2()40,gxb,min()(2)84gxgb, ?当时，因为 b,，,(2,)min117 解不等式，可得 84,bb,.2817 综上，的取值范围是 b,).，,8点评:通常函数的最值要转化为导数处理，要理解不等式恒成立与函数的最值的等价变换关系，提高自己综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 题型3:不等式问题 x,1,yx,例3(1)(2010全国卷2文数，5)若变量x,y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为( ) ,325xy，,(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2，,2x,
12、，,fxx()1,(2)(2010天津理数16)设函数，对任意，,3，,x,2fmfxfxfm,，4()(1)4()恒成立，则实数m的取值范围是 . ,m,解析:(1)C:本题考查了线性规划的知识。 yx,325xy，,? 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，?即为(1，z,3xy,1,1max1)，当时，。 评析:将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。 (2)【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 2x32222,，,
13、14(1)(1)14(1)mxxm在上恒定成立，即依据题意得x,，,)2m213232在上恒成立。 ,，41mx,，,)22mxx2332515222(31)(43)0mm，,当时函数取得最小值，所以，即，解,x,y,，1,4m2232xxm333m,m,得或 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。 题型4:三角问题 例4(1)(2010年全国I理， 2)记,那么 cos(80),:,ktan100:,221,k1,kkk
14、A. B. - C. D. - 22kk1,k1,k222sin801cos801cos(80)1,k解答:，所以2sin801,k,. 故本题选B. tan100tan80:,cos80k点评:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。 ,(2)若，则( ) 0,，,，,，sincossincos,ab4ab,ab, A( B( ab,1ab,2 C( D( 22ab与 解析:若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 22ab,，,，1212sinsin,， 因为 , 又因为 022,222 所以，所以
15、 sinsin22,ab,ab, 又因为，所以 ab，,0故选(A)。 点评:体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。 题型5:数列问题 anaaan,33,2,例5(2010辽宁理数，16)已知数列满足则的最小值为_. a,11nn，nn21 【答案】 2【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 2【解析】a=(a-a)+(a-a)+(a-a)+a=21+2+(n-1)+33=33+n-n nnn-1n-1n-2211a33n所以 ,，,n1nn33,3
16、3(33,)，,(0,33)设，令，则在上是单调递增，在上fn(),fn(),fn()，,10，,n12nn是递减的，因为n?N,所以当n=5或6时有最小值。 fn()+aaaa5363212156n6又因为，所以，的最小值为 ,n5562662.点评:数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数。 aaa,，如等差数列的通项公式，前n项的和公式()()nddnad,，,1nn11nn,dd()12。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利Sna,，d,，,nand,0()n11222用函数的思想方法去研究数列问题不
17、仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。 题型6:立体几何问题 例6(1)如果，三棱锥PABC中，已知PA?BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h(求证三棱12锥PABC的体积。 Vlh,6分析:如视P为顶点，?ABC为底面，则无论是S以及高h都不好?ABC求(如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境( 解析:如图，连结EB，EC，由PA?BC，PA?ED，ED?BC=E，可得PA?面ECD(这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+
18、AE=PA=l，所以 111V=V+V=SAE+SPE=S PA ,?PABCPECDAECDECDECDECD3331112=BC?ED?PA=。 Vlh,236评:辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。 点(2)如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于?NSC。求证:SC垂直于截面MAB。(83年全国高考) 分析:由三垂线定理容易证明SC?AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC?DM。 证明:由已知可得:SN?底面ABC，AB?CD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ? AB?SC。 ? AB
19、?SC、AB?CD ? AB?平面SDNC ? ?MDC就是截面MAB与底面所成的二面角 由已知得?MDC,?NSC 又? ?DCM,?SCN ? ?DCM?SCM ? ?DMC,?SNC,Rt? 即 SC?DM 所以SC?截面MAB。 点评:立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。 题型7:解析几何问题 2222例7(1)设x、y?R且3x，2y,6x，求x，y的范围。 22分析:设k,x，y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。 22解析:由6x,3x,2y?0得0?x?2
20、。 22222设k,x，y，则y,k,x，代入已知等式得:x,6x，2k,0 ， 12即k,x，3x，其对称轴为x,3。 2由0?x?2得k?0,4。 2222所以x，y的范围是:0?x，y?4。 另解:数形结合法(转化为解析几何问题): 2y22222由3x，2y,6x得(x,1)，,1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x，y的范32围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭222圆相切的切点。设圆方程为x，y,k，代入椭圆中消y得x,6x，2k,0。由判别式?,36,8k,0得2222k,4,所以x，y的范围是:0?x，y?4。
21、 再解:三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题): x,1cos,2y,222由3x，2y,6x得(x,1)，,1，设，则 ,63y,sin,2,233122222x，y,1，2cos，cos，sin,1，2cos,cos 222152,cos，2cos，?0,4 222222所以x，y的范围是:0?x，y?4。 点评:题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。 OH(2)(2005全国卷?(理)第15题):,ABC的外接圆的
22、圆心为，两条边上的高的交点为H，OOAOBOC,m(，)，则实数m, 分析:如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设,ABC是以?A为直角的直角三角形，则为斜边OOAOBOCOAOHBC上的中点，H与A重合，,，于是得出m,1。 点评:这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。 题型8:具体、抽象问题 例8(2004浙江卷(理)第12题):若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x,f,g(x),0有实数解，则g,f(x),不可能是( ) 11112222(A)x，x, (B) x，x， (C)x, (D)x， 5
23、555分析:本题直接解不容易，不妨令f(x),x，则f,g(x),g(x)，g,f(x),g(x)，x,f,g(x),0有实数解即x,g(x),0有实数解。这样很明显得出结论，B使x,g(x),0没有实数解，选B 这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f(x，y),f(x)，f(y)，m，对数函数型f(xy),f(x)，f(y)，幂函数型f(xy),f(x)f(y)。 点评:把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。 题型9:正难则反转化问题 例9(20
24、05全国卷?第15题):在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有,个。 分析:不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。 13AA所有四位数有,300个， 553A末位为0时有,60个， 512AA,48个， 末位为5时有44?满足题意的数共有300,60,48,192个。 点评:一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是
25、一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 题型10:实际应用问题 例10(把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大,并求出它的最大面积。 分析:这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 ,x则半圆的周长为 解析:如图，设矩形的一边长为x,22P,(，2)x1x,A D ?O 矩形的另一边长为= AB,(P,x,)422设零件的面积为S，则 2P,(，2)x，4P1,B C 22x S= ,x，x,x，x244822bPP?a,0 ?当时，S有最大值，这时AB=。 ,x2,，4,，4a2P?当矩形的两邻边A
26、B与BC之比为1:2时，S=。 max8，2,点评:实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 【思维总结】 1(熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。 (为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部2结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决
27、问题。 3(注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题(通常称为规范性问题)为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题(即问题的规范化)。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题:怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下
28、实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。 4(注意化归的等价性，确保逻辑上的正确 化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验;解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。 数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的:走过两遍的路就是方法。 高(考?试?题(库