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1、2014年高考数学解题方法与解题思想总结续(上接同名文档(1) (二) 目 录 前言 2 第一章 高中数学解题基本方法 3 一、 配方法 3 二、 换元法 7 三、 待定系数法 14 四、 定义法 19 五、 数学归纳法 23 六、 参数法 28 七、 反证法 32 八、 消去法 九、 分析与综合法 十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 35 一、 数形结合思想 35 二、 分类讨论思想 41 三、 函数与方程思想 47 四、 转化(化归)思想 54 第三章 高考热点问题和解题策略 59 一、 应用问题 59 二、 探索性问题 65 三
2、、 选择题解答策略 71 四、 填空题解答策略 77 附录 一、 高考数学试卷分析 二、 两套高考模拟试卷 2(续) 二、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ? 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a
3、0、a,0、a2时分a0、a,0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论。 ?、再
4、现性题组: 1(集合A,x|x|?4,x?R，B,x|x,3|?a，x?R，若AB，那么a,的范围是_。 A. 0?a?1 B. a?1 C. a1 D. 0a0且a?1，p,log(a，a，1)，q,log(a，a，1)，则p、q的大aa小关系是_。 A. p,q B. pq D.当a1时，pq;当0a1时，p0、a,0、a1、0a1两种情况讨论，选C; 3小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案4,-2,0; ,4小题:分,、0、0、x0两种情况，选B; 6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D; 7小题:分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 ?、示范性题组:
5、 例1. 设0x0且a?1，比较|log(1,x)|与|log(1，x)|的大小。 aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ? 0x1 ? 01,x1 ? 当0a0，log(1，x)0; ? 当a1时，log(1,x)0，所以 aa|log(1,x)|,|log(1，x)|,log(1,x) ,log(1，x),log(1aaaaa2,x)0; 由?、?可知，|log(1,x)|log(1，x)|。 aa【注】本题要求对对数函数y,logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当aa1时其是增函数，当0a1时其是减函数。去绝对值
6、时要判别符号，用到了函数的单调性;最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A?B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数: ?. CA?B且C中含有3个元素; ?. ,C?A? 。 3 4【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类:?属于A 元素;?不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 122130【解】 C?C，C?C，C?C,1084 128128128【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中3
7、3元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C,C,1084。 208例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ?. 证明: nnlglgSS，lg()lg()ScSc,，,nn，2nn，20，使得n，122,lg(S,c)成立,并证明结论。(95年全国理) n，1【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q,1和q?1两种情况。 【解】 设a的公比q，则a0，q0 n1222?(当q,1时，S,na，从而SS,S,na(n，2)a,(n，1)a,n1nn，2n，11112,a0; 1naq
8、()1,1 当q?1时，S,，从而 n1,q2nn，22n，12aqq()()11,aq()1,22n11SS,S,aq0; nn，2n，1122()1,q()1,q22由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即nn，2n，1nn，2n，1lglgSS，nn，2lgS。 n，12lg()lg()ScSc,，,nn，2?. 要使,lg(S,c)成立，则必有(S,c)(S,n，1nn，222c),(S,c), n，1分两种情况讨论如下: 当q,1时，S,na，则 n122(S,c)(S,c),(S,c),(na,c)(n，2)a,c,(n，1)a,cnn，2n，11112,a0 1nnaq()
9、1,aq()1,112当q?1时，S,，则(S,c)(S,c),(S,c),nnn，2n，11,q1,qn，2n，1aq()1,aq()1,112n,c ,c,c,aqa,c(1,q) 111,q1,qa1n? aq?0 ? a,c(1,q),0即c, 11q1,4 5naaq11而S,c,S,0, 使得,lg(S,c)成立。 n，12【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:loglog，SS05052.nn，证明logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数05.n，12是0.5时，对数函数为单调递减。 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质
10、、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。 2例4. 设函数f(x),ax,2x，2，对于满足1x0，求实数a的取值范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛 物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合 得解。 1 4 112x 【解】当a0时，f(x),a(x,)，2, aa 1,1 ,1,4,?1,a a? 或 ,11, fa()1220,?,，f(),2,0,aa, 1 4 1,x ?4,a或 ,fa()416820,?,，,11 a?1或?a; 22,fa()12
11、20,?,，当a 。 2【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。 5 6()()xaxa，,461例5. 解不等式0 (a为常数，a?,) 221a，【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a，1的符号和两根,4a、6a的大11小，故对参数a分四种情况a0、a,0、,a0、a0时，a,; ,4a0 。 所以分以下四种情2况讨论: 当a0时，(x，4a)(x,6a)0，解得:x6a; 2当a,0时，x0，解得:x?0; 1当,a0，
12、解得: x,4a; 21当a,时，(x，4a)(x,6a)0，解得: 6ax0时，x6a;当a,0时，x?0;当,a0时，21x,4a;当a,时，6ax0)， ? ,y，2y,a 解得:y,1? (0?a?1) 1,a由上可得，z,?(,1，)或?(1?), 1，a1,a【注】本题用标准解法(设z,x，y,再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 2222xy，【另解】 设z,x，y,，代入得 x,y，2，2xy,a; 2222,xyxya,，,2,? ,20xy,2当y,0时，x，2|x|,a，解得x,?(,1，)，所以z,?(,1，1
13、，a); 1，a6 72当x,0时，,y，2|y|,a，解得y,?(1?)，所以?(1?),。 1,a1,a由上可得，z,?(,1，)或?(1?), 1，a1,a【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy,0而分x,0和y,0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。 2例7. 在xoy平面上给定曲线y,2x，设点A(a,0)，a?R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40) 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x?0下的最小值问题，而引起
14、对参数a的取值讨论。 2【解】 设M(x,y)为曲线y,2x上任意一点，则 2222222|MA|,(x,a)，y,(x,a)，2x,x,2(a,1)x，a,x,(a,1)，(2a,1) 2由于y,2x限定x?0，所以分以下情况讨论: 2当a,1?0时，x,a,1取最小值，即|MA,2a,1; min22当a,10时，x,0取最小值，即|MA,a; min,()a?时121a,综上所述，有f(a), 。 ,|a()a,1时,【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x?0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d,f
15、(a)的函数表达式。 ?、巩固性题组: 21. 若loglog(x,a) (a0且a?1) 2aaSn11.设首项为1，公比为q (q0)的等比数列的前n项和为S，又设T,，nnSn，1lim求T 。 nn?2312. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|,2，求z 。 13. 有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。 214. 函数f(x),(|m|,1)x,2(m，1)x,1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。 8 9三、函数与方程的思想方法 函数思想
16、，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题?数学问题?代数问题?方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y,f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x),
17、y,0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用,1的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析
18、、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可
19、以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 ?、再现性题组: 1.方程lgx，x,3的解所在的区间为_。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+?) 22.如果函数f(x),x，bx，c对于任意实数t，都有f(2，t),f(2,t)，那么_。 A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0)，则，,，解出x,2，再用万能公2221，x51，x式，选A; SSmpq，n5小题:利用是关于n的一次函数，设S,S,m，,x，则(,p)、pqp，npqm(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两
20、点斜率相等解得x,0，则答案:0; q526小题:设cosx,t，t?-1,1，则a,t,t,1?,1，所以答案:,45,1; 47小题:设高h，由体积解出h,2，答案:24; 364168小题:设长x，则宽，造价y,4?120，4x?80，?80?1760，答案:xx1760。 ?、示范性题组: 22例1. 设a0，a?1，试求方程log(x,ak),log(x,a)有实数解的k2aa的范围。(89年全国高考) 10 11【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。 22【解】 将原方程化为:log(x,ak
21、),log， 等价于 xa,aaxak,0, (a0,a?1) ,22,xakxa,xxx2(),1? k, ( |1 ), aaax设,csc， ?(,0)?(0, )，则 k,f(),csc,|ctg| a22当?(,0)时，f(),csc，ctg,ctg,1，故k,1; 22当?(0, )时，f(),csc,ctg,tg?(0,1)，故0k1; 22综上所述，k的取值范围是:k,1或0k0)，xa,xa,aa22设曲线C:y,x,ak，曲线C:y, (y0)，如图所示。 xa,12由图可知，当,aka或,a,ak0时曲线C与C有交点，即方程有实解。12所以k的取值范围是:k,1或0kak
22、，,1()ka，222k,xakxa,x,2k,22k，1k,1即,k0，通分得0，解得k,1或0k1。所以k的取值范围是:2k2kk,1或0km(x,1)对满足|m|?2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。 11 12【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然2而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x,1)m,(2x,1)02在-2,2上恒成立的问题。对此的研究，设f(m),(x,1)m,(2x,1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在-2,2内恒为负值时参数x应该满f()20,足的条件。 ,f(),20,2【解】问题可变成关于m
23、的一次不等式:(x,1)m,(2x,1)m(x,21)的解集是-2,2时求m的值、关于x的不等式2x,1m(x,1)在-2,2上恒成立时求m的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 例3. 设等差数列a的前n项的和为S，已知a,12，S0，S0， 121S,13a，78d,13(12,2d)，78d,156，52d0。 13124 解得:,d,3。 711? S,na，n(n1,1)d,n(12,2d)，n(n,1)d n122d1
24、24d12422,n,(5,),(5,) 2222dd12 131242412因为d0，故n,(5,)最小时，S最大。由,d,3得6(5n22d7241242,)0、a0 ，即:由daa，由nn，11213S,13a0得a0得a0。所以，在S、S、S12中，S的值最大。 6例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设?BAC,，PA,AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 【解】 在PB上任取一点M，作MD?AC于D，MH?AB于H，
25、P 设MH,x，则MH?平面ABC，AC?HD 。 222222?MD,x，(2r,x)sin,(sin，1)x,4rsinx M 22，4rsin A H B 2224rsin2rsin D C 22,(sin，1)x,， 221，sin1，sin22rsin2rsin即当x,时，MD取最小值为两异面直线的距离。 221，sin1，sin【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不
26、等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。 例5. 已知?ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA?tgC,2，3又知顶点C的对边c上的高等于4,求?ABC的三边a、b、c及三内角。 3【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B,60?; 由?ABC中tgA，tgB，tgC,tgA?tgB?tgC，得 tgA，tgC,tgB(tgA?tgC,1), (1，) 3313 142设tgA、tgC是方程x,(，3)x，2，,0的两根，解得x,1，x,23312， 35设A0在x?(-?,1上恒成立的不等
27、式问题。 xx【解】 由题设可知，不等式1，2，4a0在x?(-?,1上恒成立， 112xx即:()，()，a0在x?(-?,1上恒成立。 22111x2设t,(), 则t?， 又设g(t),t，t，a，其对称轴为t, 222111122? t，t，a,0在,+?)上无实根， 即 g(),()，a0，得a22223, 43所以a的取值范围是a,。 4【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转
28、化。 112xx在解决不等式()，()，a0在x?(-?,1上恒成立的问题时，也可使22113x2用“分离参数法”: 设t,(), t?，则有a,t,t?(,?,，2243所以a的取值范围是a,。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区4间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。 ?、巩固性题组: 1. 方程sin2x,sinx在区间(0,2)内解的个数是_。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15 16x2. 已知函数f(x),|2,1|，abf(c)f(b)，则_。 ,acacA. a0,b0 B. a0,c0 C. 22 D. 2，20，S0)与椭圆(x2)，y,1有四个42交点。(88年全国高考) 213.已知关于x的实系数二次方程x，ax，b,0有两个实数根、。证明: ?. 如果|