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1、2012年高考数学试题分类汇编2012年高考数学试题分类汇编数列 S580aa，,S(2012浙江理数)(3)设为等比数列的前项和，则 ,na,n25nS2,11(A)11 (B)5 (C) (D) ,8380aa，,8a，aq,0qq解析:解析:通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，2522带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 aaa，,12(2012全国卷2理数)(4).如果等差数列中，那么a,345naaa，,. 127(A)14 (B)21 (C)28 (D)35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性
2、质. 7()aa，17【解析】 aaaaaaaaa，,？，,312,4,7283454412742S(2012辽宁理数)(6)设a是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知aa=1, n24nS,7S,则 3515313317(A) (B) (C) (D) 2442【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。 1242aq,1a,【解析】由aa=1可得，因此，又因为，Saqq,，,(1)72411231q14(1),5111312(3)(2)0，,联力两式有，所以q=,所以，故选B。 S,51qq241,2a,2a(2012江西理数)5.等比
3、数列中，=4，函数a,18n，则( ) fxxxaxaxa,()()()f0,，128691215A(2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项f0fx，412有关;得:。 aaaaaa,()2123818111,lim1，,2nx,333,(2012江西理数)4. ( ) 5323A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 11,n33【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和，然后对和取极限。 ,lim()n,，,121,3aa
4、,8(2012重庆理数)(1)在等比数列中， ，则公比q的值为 a,20102007nA. 2 B. 3 C. 4 D. 8 a32010,q,8解析: ？q,2a2007a,1aaaaaa,(2012北京理数)(2)在等比数列中，公比.若，则aq,1,1m12345nm= (A)9 (B)12 (C)11 (D)12 答案:C a,0SSSa,，2(2012四川理数)(8)已知数列的首项，其前项的和为，且，na,1nnn，11nanlim,则 n,Sn1(A)0 (B) (C) 1 (D)2 2SSa,，2SSa,，2解析:由,且 nn，11nn，211作差得a,2a ，n2n1又S,2S，
5、a，即a，a,2a，a , a,2a 211211121故a是公比为2的等比数列 n,2n1nS,a，2a，2a，2a,(2,1)a n11111n,1a2a1n1则 ,limlimnnn,Sa(21)2n1答案:B s(2012天津理数)(6)已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且aa,nnn2 ,19ss,，则数列的前5项和为 ,36an,15313115(A)或5 (B)或5 (C) (D) 168816【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 369(1q)1-,q113=12,，,qq,显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的1-q1,q
6、a2n151(),312. 等比数列， 前5项和T,51161,2【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。 aaaa,2a(2012广东理数)4. 已知为等比数列，S是它的前n项和。若， 且与nn23145aS2的等差中项为，则= 754A(35 B.33 C.31 D.29 aaaaa,2a,2aqa4(C(设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由n23141445515151a与2的等差中项为知，即( aa，,，22aa,，,，,(2)(22)747744424244a111337a,16 ?q,，即(，即( q,aaqa,，,21411a82
7、84aaaaaaa(2012全国卷1理数)(4)已知各项均为正数的等比数列中，=5，=12，n123789aaa则= 4565242 (A) (B) 7 (C) 6 (D) (2012山东理数) 3 1.(2012安徽理数)12、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和na2n3n,n分别为，则下列等式中恒成立的是 XYZ,XZY，,2A、 B、 YYXZZX,，2C、 D、 YXZ,YYXXZX,，12.D 【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。 1,2,4XYZ,1,3,7n,1【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，
8、剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. (2012湖北理数)7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，s又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面ns积之和，则lim= nn,82222A( 2 B. C.4 D.6 rrrr,34 Sa,11aa，,6S12福建理数)3(设等差数列的前n项和为,若,则当(20a,n146nn取最小值时,n等于 A(6 B(7 C(8 D(9 【答案】A aaadd，,，,，,，,282(11)86【解析】设该数列的公差为，则，解得d4
9、61， d,2nn(1),22S所以，所以当时，取最小Snnnn,，,11212(6)36n,6nn2值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 (2012全国卷2理数)(18)(本小题满分12分) 2n已知数列a的前n项和( Snn,，()3,nnan(?)求; lim,nSnaaann12(?)证明:( 3，,22212nsn(1),1【命题意图】本试题主要考查数列基本公式a,的运用，数列极限和数列,nssn,(2),nn1,不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 5 【点评】2012年高考数学全国I、?
10、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. (2012江西理数)22. (本小题满分14分) 证明以下命题: 222(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(b0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的横坐标为a,kkkk+1为正整数，a=16，则a+a+a=_?_ 1135解析考查函数的切
11、线方程、数列的通项。 a22kyaaxa,2(),在点(a,a)处的切线方程为:当时，解得， y,0x,kkkkk2ak所以。 ,，,，,164121aaaa，1135k21(本小题满分14分) *a(1),pSppa已知数列各项均不为0，其前项和为S，且对任意都有nn,N,nnnn12n1CCC，aaannnn12fn(),p(为大于1的常数)，记( n2Sn(1) 求a; n24 p，1*(2) 试比较与的大小(); fn(1)，n,Nfn()2p21n,，,pp，11*(3) 求证:，()( (21)()(1)(2)(21)1nfnfffn,，,剟,n,N,pp,12,，解:(1) ?，
12、 ? (1),pSppann?( ? (1),pSppann，11?,?，得 ， (1),，papapannn，11即( (3分) apa,nn，1n,1在?中令，可得( ap,1napap,?是首项为，公比为的等比数列，( (4分) ap,n1nnnpppp(1)(1),(2) 由(1)可得( S,n11,pp12n122nnnn1CCC，aaa,，,，,，1CCC(1)(1)ppppp( nnnn12nnn12nn1CCC，aaapp,，1(1)nnnn12fn(),?， (5分) ,nnn2Spp2(1),nn，1pp,，1(1)( fn(1)，,nn，11pp2(1),n，1p，1pp
13、,，1(1)而，且， p,1,fn()nn，11ppp2(),2pnn，11ppp,10?，( p,10p，1*,?，()( (8分) fn(1)，n,Nfn()2pp，1p，1*,(3) 由(2)知 ，()( fn(1)，n,Nf(1),fn()2p2ppppp，111121nn,?当时，( n2fnfnfnf()(1)()(2)()(1)(),2222pppp221n,ppp，111fffn(1)(2)(21)，,，? ,222ppp,21n,，,pp，11,1,， (12分) ,pp,12,，n,1(当且仅当时取等号)( 25 另一方面，当，时， kn,1,2,21n2knk2,，ppp
14、,，1(1)(1)fkfnk()(2)，,， ,kknknk22,ppp2(1)2(1),，knk2,ppp,，1(1)(1),2 kknknk22,ppp2(1)2(1),npp,，12(1)1, 2,nknkppp2(1)(1),npp,，12(1)1,( 22,nnknkpppp21,，knkn2,2222nknknnn,?ppp，2，?pppppp,，,，,121(1)( npp,，12(1)kn,?，(当且仅当时取等号)(13分) fkfnkfn()(2)2()，,nnpp2(1),212121nnn,1n,1?(当且仅当时取等fkfkfnkfnnfn,，,()()(2)()(21)
15、(),2kkk,111号)( 21n,，21n,pp，11*(21)()()1nfnfk,剟综上所述，()(14分) ,n,N,k,1pp,12,，2(本小题满分13分) 00()x,已知函数， fx(),nxnfnnxnnN()()(*),，,111，,数列满足 aafnnN,()(*)nn(I)求数列a的通项公式; n(II)设x轴、直线xa,与函数yfx,()的图象所围成的封闭图形的面积为，求SnSnnN()()(*),1; Saa()(),0MNNkkZ,|2， (III)在集合，且10001500,k中，是否存在正整数N，nN,aSnSn,10051()()使得不等式对一切恒成立,若
16、存在，则这样的正整数Nn共有多少个,并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由. b (IV)请构造一个与a有关的数列，使得lim()bbb，？存在，并求出nnn12n,26 这个极限值. ？nN,*解:(I) ？,，,，,fnnnnfnnfn()()()()1111分 ？,fnfnn()()1？,ff()()101ff()()212,ff()()323, fnfnn()(),1将这n个式子相加，得 nn()，1 fnfn()(),，,0123？2？f()00,nn()，1？,fn()2nn，()1 3分 ？,anN,(*)n2n,1 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该
17、梯形的两底SnSn()(),1fnfn()(),1，边的长分别为，高为1 aa，fnfn()(),，1nn,1 ？,SnSn()()1，,12221nnnnn()(),1，1,，, 6分 2222(III)设满足条件的正整数N存在，则 2nnnn()，1,100510052010n 222M,200020022008201020122998，？ 又 ？,N201020122998， 均满足条件 它们构成首项为2012，公差为2的等差数列. m,495 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 2010212998，,()m27 ？M 中满足条件的正整数N存在，共有495个， 9分 N,2010m
18、in2111b,2() (IV)设，即 b,nnannnn()，1，1n11111111 则 bbb，,，,，,，,？21()()()()(),2112n22334nnn，1，11 显然，其极限存在，并且 12分 lim()limbbb，,？2,2n12n,nn，1aa22nn1cn，n11bbqq,()(|)，01 注:(c为非零常数)，等都能使b,nnn2an存在. lim()bbb，？n12n,3. (本小题满分13分) *aSnN(), 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成Smma,，,()1,nnnnm,1立，其中m为常数，且. a (I)求证数列是等比数列; ,n1ab (II
19、)设数列的公比，数列满足: qfm,()babfb，(),nn111nn,3*()nnN,2，,3，试问当m为何值时， lim(lg)lim(babbbbbbnn122334,nn，bb)成立, nn,1解:(I)由已知Smma,，,()()11 nn，11Smma,，,()1 (2) nn* 由得:amama,，即()mama，,1对任意都成立 nN,()()12,nnn，11nn，1？mm为常数，且,1amn，1 ？,am，1n即为等比数列分a5,nn,1amma,，,()1 (II)当时， 1128 1？,ab1，从而113m 由()知Iqfm,()m，1b*n,1？,bfb()()nn
20、N,2，nn,1b，1n,11111？,，,，即11bbbbnnnn,11,1 ？为等差数列,bn,11*？,，,，,()()nnb，分nN,3129nbn，2nn,1m, ？a,n,1m，n,1mm？lim(lg)limlglgba,?,nnn,n,n，mm，211lim()bbbbbb，312231,nnn,111111,lim,，,，,31,n,nn，344512m10m 由题意知， 13分 lg,1？,？,10，mm，1m，194(本小题满分14分) 2,a(理)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，na,a,bbn1n，1,y,a，a，？，aya试求的最大值，并求出取最大
21、值时的首项和公差( n，1n，22n，1n2,a(文)给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，na,a,bbn1n，1,y,a，a，？，aya试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差( n，1n，22n，1n,a,a，nd,nd,a,aa(理)解:设公差为，则( 3分 dn，11n，11ny,a，a，？，an，1n，22n，1,a，(a，d)，？，(a，nd) n，1n，1n，1,(n，1)a，(1，2，？，n)dn，1(1)nn，(1) 4分 nad,，n，1229 a,andn，11 (1)()(1)(),n，a，,n，a，n，1n，122n，1( 7分 ,(3a,a)n，11
22、222又( a,a,b,？,a,b,an，n，111139494,b,b22?33()，当且仅当a,a,a，a,b,a,，,n，n，n，n，111112443时，等号成立( 11分 a,n，121(1)(94)n，n，,b?(3)( 13分 y,a,a,n，112894b，3(n，1)(9,4b),a当数列首项，公差时， d,y,a,b，n144n8(n，1)(9,4b)y?的最大值为( 14分 8,a,a，nd,nd,a,aa(文)解:设公差为，则( 3分 dn，11n，11n,，yaaa？n，1n，22n，1,(，)，(，)aadand？n，1n，1n，1,(，1)，(1，2，)nand？
23、n，1n(n，1)nd,(，1)，,(，1)(，)nadnan，1n，122a,an，1n，11， 6分 ,(n，1)(a，),(3a,a)n，1n，112222又( a,a,b,？,a,b,an，n，111139494,b,b2233()?( a,a,a，a,b,a,，,n，n，n，n，111112443当且仅当时，等号成立( 11分 a,n，121(1)(94)n，n，,b(3)?( 13分 y,a,a,n，112894b，3(n，1)(9,4b),ad,y,当数列首项，公差时，( a,b，n144n8(n，1)(9,4b)y?的最大值为( 14分 85(本小题满分12分) 某突发事件，在
24、不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施30 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. (总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) (本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解:?不采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120(万元); ?若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为 1,0.9=0.1，损失期望值为4000.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85(万元) ?若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1,15=60(万元)，所以总费用为30+60=90(万元); 0.85=0.15，损失期望值为4000.?若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(1,0.9)(1,0.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元). 综合?、?、?、?