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1、2013年高考文科数学安徽卷试题与答案word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (安徽卷) 第?卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 101(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数(a?R)是纯虚数，则a的值为( )( a,3i,A(,3 B(,1 C(1 D(3 2(2013安徽，文2)已知A,x|x，1,0，B,2，,1，0,1，则(A)?B,( )( RA(,2，,1 B(,2 C(,1,0,1 D(0,1 3(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输
2、出结果为( )( 311125461224A( B( C( D( 4(2013安徽，文4)“(2x,1)x,0”是“x,0”的( )( A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 5(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )( 2239355A( B( C( D( 102256，,2(2013安徽，文6)直线x，2y,5，,0被圆xyx,4y,0截得的弦长为( )( 46A(1 B(2 C(4 D( 7(2013安徽，文7)设S为等差数列a的前n项和，S,4a，a,2，
3、则a,( )( nn8379A(,6 B(,4 C(,2 D(2 8(2013安徽，文8)函数y,f(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到fx，fx，fx，n12n(n?2)个不同的数x，x，x，使得,，则12nxxxn21n的取值范围为( )( A(2,3 B(2,3,4 C(3,4 D(3,4,5 9(2013安徽，文9)设?ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b，c,2a,3sin A,5sin B，则角C,( )( 2353346A( B( C( D( 3210(2013安徽，文10)已知函数f(x),x，ax，bx，c有两个极值点x，x.若f(x),x,x，则关于
4、x121122的方程3(f(x)，2af(x)，b,0的不同实根个数为( )( A(3 B(4 C(5 D(6 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分(把答案填在答题卡的相应位置( 1,211(2013安徽，文11)函数的定义域为_( yx,，,ln11,x,xy,1,12(2013安徽，文12)若非负变量x，y满足约束条件则x，y的最大值为_( ,xy，,24,13(2013安徽，文13)若非零向量a，b满足|a|,3|b|,|a，2b|，则a与b夹角的余弦值为_( 14(2013安徽，文14)定义在R上的函数f(x)满足f(x，1),2f(x)(若当0?x?1时，f(x),x(1
5、,x)，则当,1?x?0时，f(x),_. 15(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD,ABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC上的动11111点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)( 1?当0,CQ,时，S为四边形 21?当CQ,时，S为等腰梯形 231?当,时，与满足, CQSCD的交点RCR111433?当,CQ,1时，S为六边形 46?当CQ,1时，S的面积为 2三、解答题:本大题共6小题，共75分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(解答写在答题卡上的指定区域内( ,16(2013安徽，文16)(本小题满分
6、12分)设函数f(x),sin x，. sinx，,3,(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合; (2)不画图，说明函数y,f(x)的图象可由y,sin x的图象经过怎样的变化得到( (2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简17单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下: (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这
7、次联考数学平均成绩分别为，估计值( xxxx,12122 ,的底面是边长为2的菱形，?18(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCDABCDBAD,60?.已知PB,PD,2，PA,. 6(1)证明:PC?BD; (2)若E为PA的中点，求三棱锥P,BCE的体积( (1)证明:连接AC，交BD于O点，连接PO. 因为底面ABCD是菱形，所以AC?BD，BO,DO. 由PB,PD知，PO?BD(再由PO?AC,O知，BD?面APC，因此BD?PC( *19(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列a满足a,2，a，a,8，且对任意n?N，函数f(x)n124,(a
8、,a，a)x，acos x,asin x满足. f0,nn，1n，2n，1a，2,2,(1)求数列a的通项公式; n1,(2)若b,2，求数列b的前n项和S. a，nnnn,an2,2013 安徽文科数学 第3页 2220(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数(),(1，,0，区间,|(),fxaxa)x，其中aIxfx0( (1)求I的长度(注:区间(，)的长度定义为,); (2)给定常数k?(0,1)，当1,k?a?1，k时，求I长度的最小值( 22xy，,1:(,0)的焦距为4，且过点(2，21(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆CabP22ab3)( (1)
9、求椭圆C的方程; 22(2)设Q(x，y)(xy?0)为椭圆C上一点(过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,)，连接AE.过0000点A作AE的垂线交x轴于点D(点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点,并说明理由( 4 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (安徽卷) 第?卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1( 答案:D 1010(3i)10(3i)，解析:由已知，得,3,i， aaaa,3i(3i)(3)10,，10?复数为纯
10、虚数，?a,3,0，即a,3. a,3i,2( 答案:A 解析:?A,x|x,1，?A,x|x?,1， R?(A)?B,2，,1( R3( 答案:C 1解析:开始，2,8，s,0，n,2，2,4; 2113返回，4,8，s,，,，n,4，2,6; 2443111返回，6,8，n,6，2,8; s,，,461211s,返回，8,8不成立，输出. 124( 答案:B 1解析:由(2x,1)x,0，得x,或x,0. 2故(2x,1)x,0是x,0的必要不充分条件( 5( 答案:D 解析:五人录用三人共有10种不同方式，分别为:丙，丁，戊，乙，丁，戊，乙，丙，戊，乙，丙，丁，甲，丁，戊，甲，丙，戊，甲
11、，丙，丁，甲，乙，戊，甲，乙，丁，甲，乙，丙( 其中含甲或乙的情况有9种，故选D( 6( 答案:C 解析:由圆的一般方程可化为圆的标准方程: 225(x,1)，(y,2),5，可知圆心坐标为(1,2)，半径为， |1455|，,，圆心到直线的距离为， ,12212，22，,512由勾股定理可得弦长一半为. 故弦长为4. 7( 答案:A 解析:由S,4a知:a，a,a，a,a,a,2d,a，d，所以a,d,2.所以a,a，2d,2,4,8318383177976. 8( 2013 安徽文科数学 第5页 答案:B fx，fx，,0fx，fx，fx，,0fx，,0nn1212解析:,可化为,，所以可
12、以理解为xxxx,0x,0x,0n2112n图象上一点与坐标原点确定的斜率相等(由数形结合可得:曲线?为n,2，曲线?为n,3，曲线?为n,4. 9( 答案:B 解析:?3sin A,5sin B， ?3a,5b. ? 又b，c,2a, ? 57?由?可得，a,b，c,b， 332257,2bbb，,222,bac，,33,?cos C, 52ab22，b31,. 22?C,. 310( 答案:A 2解析:由f(x),3x，2ax，b,0，得 x,x或x,x， 122即3(f(x)，2af(x)，b,0的根为f(x),x或f(x),x的解，由题12可知f(x)的草图为: 由数形结合及x,x可知
13、满足f(x),x的解有2个，满足f(x),x的12122解仅有1个，因此3(f(x)，2af(x)，b,0的不同实数根个数为3. 第?卷(非选择题 共100分) 考生注意事项: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效( (二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分(把答案填在答题卡的相应位置( 11(答案:(0,1 1,xx,10,或,10,，,解析:由0,x?1. ,x,11x2,10,x,?该函数的定义域为(0,1( 12(答案:4 解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分(由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z,x，y，则z,4，0,4. max1,13(答
14、案: 3解析:?|a|,3|b|,|a，2b|， 2222?|a|,9|b|,|a|，4|b|，4a?b， 2?a?b,|b|， 6 2abb,|1?cosa，b,. ,2|3|3abb114(答案:x(x，1) ,2解析:?,1?x?0，?0?x，1?1， 11?f(x),f(x，1),(x，1)1,(x，1) 221,x(x，1)( ,215( 答案:? 1222222解析:当CQ,时，DQ,DC，CQ，AP,AB，BP，所以DQ,AP.又因为AD?PQ，AD,2PQ，所以?正111111121确;当0,CQ,时，截面为APQM，所以为四边形，故?也正确，如图?所示( 2图? 3如图?，当
15、CQ,时，由?QCN?QCR得 141CR1CQCR4111，即,，CR,，故?正确( ,1331CQCN4图? 如图?所示，当CQ,1时，截面为APCE. 132可知AC,，EP,且APCE为菱形， 116,，故?正确( S四边形APCE123当,CQ,1时，截面为五边形APQMF. 4所以?错误( 图? 三、解答题:本大题共6小题，共75分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(解答写在答题卡上的指定区域内( 16( 13解:(1)因为f(x),sin x，sin x，cos x 2233,3,sin x，cos x,. sinx，,226,2,3所以当x，,2k,，即x,2k,(k?Z
16、)时，f(x)取最小值. 6232013 安徽文科数学 第7页 ,2此时x的取值集合为. xxkk,2,Z,3,(2)先将y,sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y,sin x的图象;33再将y,sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得y,f(x)的图象( 3617( 30解:(1)设甲校高三年级学生总人数为.由题意知，,0.05，即,600. nnn样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为55. 1,306(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.根据样本茎叶图可知， x,x,1230()3030xxxx,1212
17、,(7,5)，(55，8,14)，(24,12,65)，(26,24,79)，(22,20)，92 ,2，49,53,77，2，92 ,15. 因此.故的估计值为0.5分( xx,0.5xx,121218( (1)证明:连接AC，交BD于O点，连接PO. 因为底面ABCD是菱形，所以AC?BD，BO,DO. 由,知，?再由?,知，?面，因此? PBPDPOBD(POACOBDAPCBDPC(11(2)解:因为E是PA的中点，所以V,V,V,V ,PBCECPEBCPABBAPC(22由PB,PD,AB,AD,2知，?ABD?PBD( 因为?BAD,60?， 323所以PO,AO,，AC,，BO
18、,1. 2226又PA,，PO，AO,PA，即PO?AC， 1故S,PO?AC,3. ?APC21111由(1)知，BO?面APC，因此V,V,?BO?S,. P,BCEB,APC?APC223219( *解:(1)由题设可得，f(x),a,a，a,asin x,acos x(对任意n?N， nn，1n，2n，1n，2,a,a，a,a,0，即a,a,a,a，故a为等差数列( fnn，1n，2n，1n，1nn，2n，1n,2,由a,2，a，a,8，解得a的公差d,1，所以a,2，1?(n,1),n，1. 124nn111,(2)由b,2,2,2n，2知， a，n，1nn,nan，1n222,n，
19、11,1,22,nn，11,2，S,b，b，b,2n，2?，,n，3n，1,. n12nn1221,220( a22x,解:(1)因为方程ax,(1，a)x,0(a,0)有两个实根x,0，故f(x),0的解集为x|x,x11221，a8 aa,x，因此区间I,，区间长度为. 0,2,221，a1，a,2a1,a(2)设d(a),，则d(a),， 2221，a，1a令d(a),0，得a,1.由于0,k,1，故 当1,k?a,1时，d(a),0，d(a)单调递增; 当1,?1，时，(),0，()单调递减( akdada因此当1,?1，时，()的最小值必定在,1,或,1，处取得( kakdaakak
20、1,k232dkkk，,，,1211，,，k而， ,1231，kdkkk，,，12211，k故d(1,k),d(1，k)( 1,k因此当a,1,k时，d(a)在区间1,k,1，k上取得最小值. 222,，kk21( 2322223解:(1)因为焦距为4，所以a,b,4.又因为椭圆C过点P(，)，所以，故a,8，b2，,122ab22xy,4，从而椭圆C的方程为，,1. 84,(2)由题意，点坐标为(0)，则,()，,(，)( Ex0)(设Dxx，,22x,22AEAD0,D,0D,再由?知，?,0，即ADAExx，8,0. AEADD08由于xy?0，故x,. ,00Dx0,8,0因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G. ,x0,yxy000,故直线QG的斜率k,. QG28x,80x,0x0又因Q(x，y)在椭圆C上，所以 0022x，2y,8.? 00x0从而k,. QG2y0,x80yx,故直线QG的方程为.? ,2yx00,将?代入椭圆C方程，得 2222(x，2y)x,16xx，64,16y,0.? 0000再将?代入?，化简得 22x,2xx，x,0. 00解得x,x，y,y，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点( 002013 安徽文科数学 第9页