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1、2013年高考文科数学湖北卷试题与答案word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖北卷) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1(2013湖北，文1)已知全集U,1,2,3,4,5，集合A,1,2，B,2,3,4，则B?,( )( A(2 B(3,4 C(1,4,5 D(2,3,4,5 2222xyyx(2013湖北，文2)已知0,，则双曲线:,=1与:,1的( )( 2CC122222,cossinsincos4A(实轴长相等 B(虚轴长相等 C(离心率相等 D(焦距相等 3(2013湖北，文3
2、)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次(设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )( ，A(p)?(q) B(p?(q) C(p)?(q) D(p?q 4(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论: ?与负相关且,2.347,6.423; yxyx?y与x负相关且,3.476x，5.648; y?y与x正相关且y,5.437x，8.493; ?y与x正相关且y,4.326x,4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( )( (A(? B(?
3、C(? D(? 5(2013湖北，文5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )( 6(2013湖北，文6)将函数y,cos x，sin x(x?R)的图象向左平移m(m,0)个单位长度后，所得到3的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )( 563126A( B( C( D( AB7(2013湖北，文7)已知点A(,1,1)，B(1,2)，C(,2，,1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影CD为( )( 3231532315,2222A( B( C( D( 8(2013湖北，文8)为实数，表示不超过的最大整数，则
4、函数(),在R上为( )( xxxfxxxA(奇函数 B(偶函数 C(增函数 D(周期函数 9(2013湖北，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )( A(31 200元 B(36 000元 C(36 800元 D(38 400元 10(2013湖北，文10)已知函数f(x),x(ln x,ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )( 1,0,2,A(,?，0) B( C(0,1) D(0，?) 2013
5、 湖北文科数学 第1页 二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分(请将答案填在答题卡对应题号的位(置上(答错位置，书写不清，模棱两可均不得分( 11(2013湖北，文11)i为虚数单位，设复数z，z在复平面内对应的点关于原点对称，若z,2,3i，121则,_. z212(2013湖北，文12)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为_; (2)命中环数的标准差为_( 13(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序(若输入m的值为2，则输出的结果i,_. 2214(2013湖北，文14)已知圆O
6、:x，y,5，直线l:xcos ，ysin ,01.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k,_. ,2,15(2013湖北，文15)在区间,2,4上随机地取一个数，若满足|?的xxxm5概率为，则m,_. 616(2013湖北，文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水(天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸(若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注:?平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;?一尺等于十寸) 17(2013湖北，文17)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点(若一个
7、多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形(格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中?ABC是格点三角形，对应的S,1，N,0，L,4. (1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_; (2)已知格点多边形的面积可表示为S,aN，bL，c，其中a，b，c为常数(若某格点多边形对应的N,71，L,18，则S,_(用数值作答)( 三、解答题:本大题共5小题，共65分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18(2013湖北，文18)(本小题满分12分)在?ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A,3cos(B，C),1.
8、(1)求角A的大小; (2)若?ABC的面积S,，b,5，求sin Bsin C的值( 532013 湖北文科数学 第2页 19(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知S是等比数列a的前n项和，S，S，S成等差数列，且nn423a，a，a,18. 234(1)求数列a的通项公式; n(2)是否存在正整数n，使得S?2 013,若存在，求出符合条件的所有n的集合;若不存在，说明理由( n20(2013湖北，文20)(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A处发现矿藏，再继续下钻到A处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为AA1212
9、,d.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为BB,d，CC,d，且d,d,d.过AB，AC的中点M，N1122123123且与直线AA平行的平面截多面体ABC?ABC所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S 2111222中(1)证明:中截面DEFG是梯形; (2)在?ABC中，记BC,a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多1面体ABC?ABC的体积V)时，可用近似公式V,S?h来估算(已知V,(d，d，d)S，试判断V111222估中123估3与V的大小关系，并加以证明( 2013 湖北文科数学 第3页 axb，21(2013湖北，文2
10、1)(本小题满分13分)设a,0，b,0，已知函数f(x),. x，1(1)当a?b时，讨论函数f(x)的单调性; (2)当x,0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数( ,bbbb,f?判断(1)，f，是否成等比数列，并证明; fff,aaaa,2ab?，的几何平均数记为.称为，的调和平均数，记为.若?()?，求的取值范围( abGabHHfxGxab，2013 湖北文科数学 第4页 22(2013湖北，文22)(本小题满分14分)如图，已知椭圆C与C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且12在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m,n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C，C的四个交点按纵坐标从1
11、2m大到小依次为A，B，C，D，记，?BDM和?ABN的面积分别为S和S. ,12n当直线与轴重合时，若,，求的值; (1)lySS12(2)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S,S,并说明理由( 122013 湖北文科数学 第5页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (湖北卷) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1( 答案:B 解析:?,3,4,5，,2,3,4，故?,3,4(故选B. BB2( 答案:D ,220,解析:对于?，sin，cos,1，因而两条双曲线的焦距相等，故选D. ,4,
12、3( 答案:A ，解析:至少有一位学员没有降落在指定范围，即p?q的对立面，即(p?q),(p)?(q)，故选A. 4( 答案:D 解析:正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为?，故选D. 5( 答案:C 解析:根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C. 6( 答案:B ,sinx，sinxm，解析:y,cos x，sin x,2的图象向左平移m个单位长度后得y,2的图3,33,sinxm，象(又平移后的图象关于y轴对称，即y,2为偶函数，根据诱导公式m的最小正值为，,36,故选B. 7( 答案:A
13、 ABABABAB解析:因为,(2,1)，,(5,5)，所以向量在方向上的投影为|cos，,CDCDCDABCDABCD,(2,1)(5,5)32.故选A. AB,222ABCDCD55，8( 答案:D 解析:由题意f(1.1),1.1,1.1,0.1，f(,1.1),1.1,1.1,1.1,(,2),0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数(又对任意整数a，有f(a，x),a，x,a，x,x,x,f(x)，故f(x)在R上为周期函数(故选D. 9( 答案:C 解析:设需A，B型车分别为x，y辆(x，2013 湖北文科数学 第6页 3660900,xy，,y?N)，则x，y需满足
14、设租金为z，则z,1 600x，2 400y，画出可行域如图，根据线yx,7,xy,NN,性规划中截距问题，可求得最优解为x,5，y,12，此时z最小等于36 800，故选C. 10( 答案:B 1,xa,(),ln ,，,ln ,2，1，函数()有两个极值点，即ln ,2，1,0有解析:fxxaxxaxfxxax,x,ln1x，两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x),与函数y,2ax,lnx在(0，?)上有两个不同交点(因为g(x),，所以g(x)在2x(0,1)上递增，在(1，?)上递减，所以g(x),g(1),1，如图( max1若g(x)与y,2a有两个不同交点，须0,2a,1.
15、即0,a,，故选2B. 二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分(请将答案填在答题卡对应题号的位置上(答错位置，书写不清，模棱两可均不得分( (11(答案:,2，3i 解析:z在复平面上的对应点为(2，,3)，关于原点的对称点为(,2,3)，故z,2，3i. 1212( 答案:(1)7 (2)2 78795491074，解析:平均数为， ,710标准差为 222222222(77)(87)(77)(97)(57)(47)(97)(107)(47),，,，,，,，,，,，,，,，, 10,2. 13(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序(若输入m的值为2，则输出的
16、结果i,_. 答案:4 解析:由程序框图，i,1后:A,12，B,11，A,B,否;i,2后:A,22，B,12，A,B,否;i,3后:A,42，B,23，A,B,否;i,4后:A,82，B,64，A,B,是，输出i,4. 14( 解析:由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为,2，故圆上有4个点到该直线的距离为1. 515(答案:3 解析:由题意,2,4的区间长度为6，而满足条件的x取值范围的区间长度为5，故m取3，x?,2,3( 16(答案:3 2812，解析:由题意盆内所盛水的上底面直径为,20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V21222,?9?(?10，?6，?10?6),
17、588，而盆上口面积为?14,196，故平地降雨量为3588,3(寸)( 19617( 2013 湖北文科数学 第7页 答案:(1)3,1,6 (2)79 解析:由图形可得四边形DEFG对应的S，N，L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S，N，L的值为2,0,6.1加上已知S,1时N,0，L,4，代入S,aN，bL，c可计算求出a,1，b,，c,1，故当N,71，L,1821时，S,71，18,1,79. 2三、解答题:本大题共5小题，共65分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18( 2解:(1)由cos 2,3cos(，),1，得2cos，3cos ,2,0， ABCAA即(
18、2cos A,1)(cos A，2),0， 1解得cos A,或cos A,2(舍去)( 2因为0,， A所以. A,33311由,sin ,，,bc53，得,20. (2)SbcAbcbc2422又b,5，知c,4. 222由余弦定理得a,b，c,2bccos A,25，16,20,21，故. a,21bcbc20352又由正弦定理得sin Bsin C,sin A?sin A,sinA,. ，,2aaa214719( 解:(1)设数列a的公比为q，则a?0，q?0. 1nSSSS,2432由题意得 ,aaa，,18,234,232,aqaqaq,111即 ,2aqqq，,118,1a,3,
19、1解得 ,q,2.,n,1故数列a的通项公式为a,3(,2). nnn312,，,，n(2)由(1)有S,1,(,2). n12,，,，若存在n，使得S?2 013， nn则1,(,2)?2 013， n即(,2)?,2 012. n当n为偶数时，(,2),0，上式不成立; nnn当n为奇数时，(,2),2?,2 012，即2?2 012，则n?11. 综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n,2k，1，k?N，k?5( 20( (1)证明:依题意，?平面，?平面，?平面， AAABCBBABCCCABC121212所以AA?BB?CC. 121212又AA,d，BB,d，C
20、C,d，且d,d,d. 121122123123因此四边形AABB，AACC均是梯形( 12211221由AA?平面MEFN，AA平面AABB，且平面AABB?平面MEFN,ME， ,222222可得AA?ME，即AA?DE. 212同理可证AA?FG，所以DE?FG. 12又M，N分别为AB，AC的中点， 则D，E，F，G分别为AB，AB，AC，AC的中点， 112222112013 湖北文科数学 第8页 即DE，FG分别为梯形AABB，AACC的中位线( 122112211111,(，),(，)，,(，),(，)， 因此DEAABBddFGAACCdd1212121212132222而d,
21、d,d，故DE,FG，所以中截面DEFG是梯形( 123(2)解:,.证明如下: VV估由AA?平面ABC，MN平面ABC，可得AA?MN. ,1212?，所以?， 而EMAAEMMN12同理可得FN?MN. 11由是?的中位线，可得,即为梯形的高， MNABCMNDEFGBCa,22dd，1ddaa，,1312，,，(2)ddd因此S,S,， 中梯形DEFG123,22228,ah即V,S?h,(2d，d，d)( 估中1238ah11又，所以V,(d，d，d)S,(d，d，d)( Sah,123123632ahahah于是V,V,(d，d，d),(2d，d，d),(d,d)，(d,d)( 估
22、12312321316824由d,d,d，得d,d,0，d,d,0，故V,V. 1232131估21( 解:(1)f(x)的定义域为(,?，,1)?(,1，?)， axaxbab，,，,1,f(x),. 22，xx11当a,b时，f(x),0，函数f(x)在(,?，,1)，(,1，?)上单调递增; 当a,b时，f(x),0，函数f(x)在(,?，,1)，(,1，?)上单调递减( ,ab，bab2b,f,0fab,0(2)?计算得f(1),0， ,aab，a2,2，,bababb，2,故， ffabf(1),aaba2，,，2，,bb,即，(*) fff(1),aa,，,bb,ff所以f(1)，
23、成等比数列( ,aa,ab，aff(1),ab因，即， ,b2,bb,ff,由(*)得. ,aa,bb,fH,fG,?由?知，. ,aa,bb,ffxf,()故由H?f(x)?G，得.(*) ,aa,2013 湖北文科数学 第9页 ,bb,当,时，ffxfa,(). ab,aa,这时，x的取值范围为(0，?); bbb,当a,b时，从而， 01aaa由f(x)在(0，?)上单调递减与(*)式， ，bbbb,x,得，即x的取值范围为. ,aaaa，22( 解:依题意可设椭圆C和C的方程分别为 122222xyxy，=1，=1:C，C. 122222anamm其中a,m,n,0，,1. ,n(1)
24、解法1:如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x,0，则 SBD|11111S,|BD|?|OM|,a|BD|，S,|AB|?|ON|,a|AB|，所以,. 12SAB|22222在C和C的方程中分别令x,0， 12可得y,m，y,n，y,m， ABD|1BDmn|yy,，,BD于是,. |1AByymn,ABS,，11=,若，则， ,S,1,22化简得,2,1,0. 由,1，可解得,. 2+1故当直线l与y轴重合时，若S,S，则,. 2+112图1 解法2:如图1，若直线l与y轴重合，则 |BD|,|OB|，|OD|,m，n，|AB|,|OA|,|OB|,m,n; 11,|?|,|，
25、SBDOMaBD12211S,|AB|?|ON|,a|AB|. 222SBDmn|1，,1,所以. SABmn|1,22013 湖北文科数学 第10页 S,，121若，则，化简得,2,1,0. =,S,1,2由,1，可解得,. 2+1故当直线与轴重合时，若,，则,. lySS122+1(2)解法1:如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S,S. 12图2 根据对称性，不妨设直线l:y,kx(k,0)， 点(,0)，(0)到直线的距离分别为，则 Ma,Na,ldd12|0|,akak|0|akak,因为，所以d,d,12222211，kk11，kkd,d. 1211又S,|BD|d，S,|A
26、B|d， 112222SBD|1所以,，即|BD|,|AB|. ,SAB|2由对称性可知|AB|,|CD|， 所以|BC|,|BD|,|AB|,(,1)|AB|， |AD|,|BD|，|AB|,(，1)|AB|， |1AD,，,于是.? |1BC,将l的方程分别与C，C的方程联立，可求得 12anam，x,. x,AB222222akm，akn，根据对称性可知x,x，x,x，于是 CBDA2222|AD1|2，,kxxxmakn，ADA,.? 2222|2BCxnakm，1|，,kxxBBC从而由?和?式可得 222akn，,1.? ,222akm，,，1,222nt，,，,1,，12k,t=
27、令，则由m,n，可得t?1，于是由?可解得. 22at，,，1，,，1,2因为k?0，所以k,0. 222nt，,，,10于是?式关于k有解，当且仅当， 22at，,，11,22(1)0tt,等价于. ,2,1由,1，可解得,1， t,11,，,1即， ，,，1,由,1，解得,，所以 1+2当1,?时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S,S; 1+212当,时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S,S. 1+212解法2:如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S,S.根据对称性， 122013 湖北文科数学 第11页 不妨设直线l:y,kx(k,0)， 点M(,a,0)，N(a,0)到直线l
28、的距离分别为d，d，则 12|0|,akak|0|akak,因为，所以d,d. d,d,1212222211，kk11，kk11又,|，,|， SBDdSABd112222SBD|1所以. ,=SAB|22|BD1|，,，kxxxxBDAB,因为,， 2|ABxx,1|，,kxxABABx,，1A所以. ,x,1,B由点A(x，kx)，B(x，kx)分别在C，C上，可得 AABB12222222xkxxkxAABB=1=1， 2222aman222222xxkxx,，,，,ABAB=0两式相减可得， 22am22依题意x,x,0，所以. xx,ABAB222mxx，,，2AB所以由上式解得. k,2222,axx，,，BA222xmxx，,，2AAB因为k,0，所以由，可解得102222x,axx，,，BBA,，1从而，解得,，所以 11+2,1,当1,?时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S,S; 1+212当,时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S,S. 1+2122013 湖北文科数学 第12页