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1、2013年高考文科数学辽宁卷试题与答案word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (辽宁卷) 第?卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1(2013辽宁，文1)已知集合A,0,1,2,3,4，B,x|x|,2，则A?B,( )( A(0 B(0,1 C(0,2 D(0,1,2 12(2013辽宁，文2)复数的模为( )( z=i1,12222A( B( C( D(2 ,3(2013辽宁，文3)已知点A(1,3)，B(4，,1)，则与向量同方向的单位向量为( )( AB34433443,55555555,A(
2、B( C( D( 4(2013辽宁，文4)下面是关于公差d,0的等差数列a的四个命题: np:数列a是递增数列; 1np:数列na是递增数列; 2na,np:数列是递增数列; 3,n,p:数列a，3nd是递增数列( 4n其中的真命题为( )( A(p1，p2 B(p3，p4 C(p2，p3 D(p1，p4 5(2013辽宁，文5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为:20,40)，40,60)，60,80)，80,100(若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )( A(45 B(50 C(55 D(60 6(2013辽宁，文6)在?ABC中，内角A，
3、B，C的对边分别为a，b，c，1b若asin Bcos C，csin Bcos A,，且a,b，则?B,( )( 2256336A( B( C( D( 27(2013辽宁，文7)已知函数f(x),，则ln(193)1，,，xx1,( )( ff(lg2)lg，,2,A(,1 B(0 C(1 D(2 8(2013辽宁，文8)执行如图所示的程序框图，若输入n,8，则输出S,( )( 4681097911A( B( C( D( 2013 辽宁文科数学 第1页 3(0,0)，(0，)，(，为直角三角形，则必有( )( 9(2013辽宁，文9)已知点OAbBaa)(若?OAB11,133333baba,
4、，,0()0baba,ba,，,aaa,A(b,a3 B( C( D( 10(2013辽宁，文10)已知直三棱柱ABC,ABC的6个顶点都在球O的球面上(若AB,3，AC,4，AB?111AC，AA,12，则球O的半径为( )( 11331721031022A( B( C( D( 22xy11(2013辽宁，文11)已知椭圆C:(a,b,0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B，=122ab4两点，连接AF，BF.若|AB|,10，|BF|,8，cos?ABF,，则C的离心率为( )( 535465757A( B( C( D( 222212(2013辽宁，文12)已知函数f(x),x,2
5、(a，2)x，a，g(x),x，2(a,2)x,a，8.设H(x),1maxf(x)，g(x)，H(x),minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的2较小值)(记H(x)的最小值为A，H(x)的最大值为B，则A,B,( )( 12A(a2,2a,16 B(a2，2a,16 C(,16 D(16 第?卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。 13(2013辽宁，文13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_( 14(2013辽宁，文14)已知等比数列是递增数列，是aSannn2的前n项和(若a，a是方程x,5x，4,0的两个根，则S,136
6、_. 22xy,=115(2013辽宁，文15)已知F为双曲线C:的左焦点，916P，Q为C上的点(若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则?PQF的周长为_( 16(2013辽宁，文16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据(已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_( 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ，3sin x17(2013辽宁，文17)(本小题满分12分)设向量a,(，sin x)，b,(cos x，sin x)，x?. 0,2，(1)若|a|
7、,|b|，求x的值; (2)设函数f(x),a?b，求f(x)的最大值( 2013 辽宁文科数学 第2页 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上18(2013辽宁，文18)(本小题满分12分)如图，ABOPAOCO的点( (1)求证:BC?平面PAC; (2)设Q为PA的中点，G为?AOC的重心，求证:QG?平面PBC. 19(2013辽宁，文19)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答(试求: (1)所取的2道题都是甲类题的概率; (2)所取的2道题不是同一类题的概率( 2013 辽宁文科数学 第3页 22，(,0)(点(20(2013辽宁，文20
8、)(本小题满分12分)如图，抛物线C:x,4yC:x,2pypMx，y)1200在抛物线C上，过M作C的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)(当x,时，切线12,2101MA的斜率为. ,2(1)求p的值; (2)当M在C上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，2中点为)( O21(2013辽宁，文21)(本小题满分12分) 2(1)证明:当x?0,1时，sin x?x; x23x2(2)若不等式ax，x，2(x，2)cos x?4对x?0,1恒成立，求实数a的取值范围( 22013 辽宁文科数学 第4页 22(2013辽宁，文22)(本小题满分10分)选修4,1
9、:几何证明选讲 如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明: (1)?FEB,?CEB; 2(2)EF,AD?BC. 23(2013辽宁，文23)(本小题满分10分)选修4,4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(圆C，直线C的极坐标方程分别为12,4sin ，. ,cos=22,4,(1)求C与C交点的极坐标; 123,xta,，,(2)设P为C的圆心，Q为C与C交点连线的中点(已知直线PQ的参数方程为(t?R为参数)，112,b3yt,，1,2求a，b的值( 2013 辽
10、宁文科数学 第5页 24(2013辽宁，文24)(本小题满分10分)选修4,5:不等式选讲 已知函数f(x),|x,a|，其中a,1. (1)当a,2时，求不等式f(x)?4,|x,4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x，a),2f(x)|?2的解集为x|1?x?2，求a的值( 2013 辽宁文科数学 第6页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (辽宁卷) 第?卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1( 答案:B 解析:?|x|,2，?x?(,2,2)，即B,x|,2,x,2(?A?B,0,1，故选B.
11、2( 答案:B 1i111,解析:， z,ii1(i1)(i1)22,22112,?|z|,，故选B. ,，,222,3( 答案:A ,，,，3,434AB,解析:与向量同方向的单位向量为,，故选A. AB,2255,AB34，,，4( 答案:D an解析:如数列,2，,1,0,1,2，则1a,2a，排除p，如数列1,2,3，则,1，排除p，1223n故选D. 5( 答案:B 15解析:根据频率分布直方图，低于60分的人所占频率为:(0.005，0.01)20,0.3，故该班的学生数为0.3,50，故选B. 6( 答案:A 11b解析:根据正弦定理asin Bcos C，csin Bcos A
12、,等价于sin Acos C，sin Ccos A,， 221即sin(A，C),. 25B,又a,b，所以A，C,，所以.故选A. 66( 7答案:D 2解析:?f(x),， ln(193)1，,，xx2?f(,x),， ln(193)1，xx?f(x)，f(,x),ln 1，1，1,2， 1lg又,lg 2， 21,?,2，故选D. ff(lg2)lg，,2,8( 答案:A 2013 辽宁文科数学 第7页 1111解析:当n,8时，输出的 S,，0222221416181,1111 ,，13355779，111111111, ,，,，,，,213355779,4， ,9故选A. 9( 答案
13、:C ,解析:若?OBA为直角，则， OBAB,0233即a，(a,b)?a,0， 13又a?0，故ba,，; a,33若?OAB为直角时，即b(a,b),0，得b,a; OAAB,0133若?AOB为直角，则不可能(所以b,a,0或b,a,0，故选C. a10( 答案:C 解析:过C，B分别作AB，AC的平行线交于点D，过C，B分别作AB，AC的平行线交于D，连接DD，11111111222341213，则,，故选C. ABCDABCD恰为该球的内接长方体，故该球的半径r,11112211( 答案:B 22222解析:如图所示，根据余弦定理，|AF|,|BF|，|AB|,2|BF|AB|co
14、s?ABF，即|AF|,6，又|OF|,|BF|2，|OB|,2|OB|BF|cos?ABF，即|OF|,5.又根据椭圆的对称性，|AF|，|BF|,2a,14，?a,7，|OF|,55,c，所以离心率为，故选B. 712( 答案:C 22解析:?f(x),g(x),2x,4ax，2a,8 ,2x,(a,2)x,(a，2)， fxxa(),(,2,Hxgxxaa,(),(2,2,，? ，,1,fxxa(),(2,，,gxxa(),(,2,Hxfxxaa,(),(2,2,， ，,2,gxxa(),(2,，,可求得H(x)的最小值A,f(a，2),4a,4，H(x)的最大值B,g(a,2),4a，
15、12， 12?A,B,16.故选C. 第?卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。 13( 答案:16,16 解析:由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四2013 辽宁文科数学 第8页 2棱柱，故体积为?2?4,224,16,16. 14(答案:63 2解析:x,5x，4,0的两根为1和4，又数列递增， 所以a,1，a,4，q,2. 136112，,，所以S,63. 612,15(答案:44 解析:如图所示，设双曲线右焦点为重合，坐标为(5,0)，则|,|，|,|F，则F与APFPF|，2aQFQF|1111，2a，所以|PF|，|QF|,|
16、PQ|，4a,4b，4a,28，?PQF周长为28，4b,44. 16(答案:10 解析:设5个班级的人数分别为x，x，x，x，x，则12345xxxxx，12345， ,7522222，,，,，,，,，,，xxxxx7777712345 5,4， 即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4. 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17( 2222解:(1)由|a|,，sinx,4sinx， 3sin x，222|,cos，sin,1， bxx2及|a|,|b|，得4sinx,1. 1，又x?，从而sin x,. 0,22，x,
17、所以. 623sin x(2)f(x),a?b,?cos x，sinx 311 ,，sin2cos2xx2221,. ,，sin2x,62,，,当时，取最大值1. x,0,sin2x,632,，3所以f(x)的最大值为. 218( 证明:(1)由AB是圆O的直径，得AC?BC. 由PA?平面ABC，BC平面ABC，得PA?BC. 又PA?AC,A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC?平面PAC. (2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为?AOC的重心，得M为AC中点( 由Q为PA中点，得QM?PC. 又O为AB中点，得OM?BC. 因为QM?MO,M，QM平面QMO， MO
18、平面QMO，BC?PC,C， 2013 辽宁文科数学 第9页 平面，平面， BCPBCPCPBC所以平面QMO?平面PBC. 因为QG平面QMO， 所以QG?平面PBC. 19( 解:(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为:1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的( 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，62共6个，所以P(A),. ,155(2)基本事件同
19、(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，82,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B),. 1520 x12,解:(1)因为抛物线C:x,4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y=，且切线MA的斜率为，所以A122111,点坐标为，故切线MA的方程为. yx,，(1),1,244,因为点M(，y)在切线MA及抛物线C上， 12,0211322,于是，? y,，,(22)02442(12)322,.? y,022pp由?得p,2. 22,xxxx，1212x,x,x,(2)设N(x，y)，A，B，x?x，由N为线段AB中点知，? 12,
20、1,2424,22xx，12y,.? 8切线MA，MB的方程为 2xx11yxx,，()，? 1242xx22yxx,，()? 224由?得MA，MB的交点M(x，y)的坐标为 00xx，xx1212x,y,，. 00242因为点M(x，y)在C上，即,4y， x0020022xx，12xx,所以.? 126由?得 42xy,，x?0. 342xy,当x,x时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足. 1232013 辽宁文科数学 第10页 42因此AB中点N的轨迹方程为. xy,321( 22(1)证明:记F(x),，则F(x),. sin xx,cos x,22,，当时，(),0，(
21、)在上是增函数; FxFxx,0,0,44,，,，当时，F(x),0，F(x)在上是减函数( x,1,1,44,，2又F(0),0，F(1),0，所以当x?0,1时，F(x)?0，即sin x?. x2记H(x),sin x,x，则当x?(0,1)时，H(x),cos x,1,0，所以，H(x)在0,1上是减函数，则H(x)?H(0),0，即 sin x?x. 2综上，?sin x?x，x?0,1( x2(2)解法一:因为当x?0,1时， 3x2ax，x，2(x，2)cos x,4 23xx22，,，4(2)sinx,(a，2)x，x 2223,x22?(a，2)x，x， ,，4(2)xx,2
22、4,(a，2)x. 所以，当a?,2时， 3x2不等式ax，x，2(x，2)cos x?4对x?0,1恒成立( 2下面证明，当a,2时， 3x2不等式ax，x，2(x，2)cos x?4对x?0,1不恒成立( 2因为当x?0,1时， 3x2ax，x，2(x，2)cos x,4 23xx22,，4(2)sinx(,a，2)x，x， 2223xx,2?(a，2)x，x， ,，4(2)x,22,3x2,(a，2)x,x, 232x?(a，2)x, 232，. ,，xxa(2),23，2013 辽宁文科数学 第11页 3xa，2120所以存在x?(0,1)(例如x取和中的较小值)满足，2(x，2)co
23、s x,4,0， axx，000000322即当a,2时， 3x2不等式ax，x，2(x，2)cos x,4?0对x?0,1不恒成立( 2综上，实数a的取值范围是(,?，,2( 323xx2解法二:记(),，2(，2)cos ,4，则(),，2，2cos ,2(，2)sin . fxaxx，xxfxaxxxx22记G(x),f(x)，则 G(x),2，3x,4sin x,2(x，2)cos x. 1当x?(0,1)时，cos x,，因此 22G(x),2，3x,4?x,(x，2) 2,. (222)0,x于是f(x)在0,1上是减函数，因此，当x?(0,1)时，f(x),f(0),a，2，故当
24、a?,2时，f(x)3x2,，0，从而f(x)在0,1上是减函数，所以f(x)?f(0),0，即当a?,2时，不等式ax，x，2(x，22)cos x?4对x?0,1恒成立( 下面证明，当a,2时， 3x2不等式，2(，2)cos ?4对?0,1不恒成立( axx，xxx27由于f(x)在0,1上是减函数，且f(0),a，2,0，f(1),a，2cos 1,6sin 1. 27当a?6sin 1,2cos 1,时，f(1)?0，所以当x?(0,1)时，f(x),0，因此f(x)在0,1上是增函2数，故f(1),f(0),0; 7当,2,a,6sin 1,2cos 1,时，f(1),0，又f(0
25、),0，故存在x?(0,1)使f(x),0，则当0002,x,x时，f(x),f(x),0.所以f(x)在0，x上是增函数，所以当x?(0，x)时，f(x),f(0),0. 0000所以，当a,2时， 3x2不等式ax，x，2(x，2)cos x?4对x?0,1不恒成立( 2综上，实数a的取值范围是(,?，,2( 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22( 证明:(1)由直线CD与O相切，得?CEB,?EAB. 由AB为O的直径，得AE?EB， 从而?EAB，?EBF,; 2又EF?AB，得
26、?FEB，?EBF,， 2从而?FEB,?EAB. 故?FEB,?CEB. (2)由BC?CE，EF?AB，?FEB,?CEB，BE是公共边， 得Rt?BCE?Rt?BFE，所以BC,BF. 2013 辽宁文科数学 第12页 ?Rt?，得,. 类似可证:Rt?ADEAFEADAF2又在Rt?AEB中，EF?AB，故EF,AF?BF， 2所以EF,AD?BC. 23( 22解:(1)圆C的直角坐标方程为x，(y,2),4， 1直线C的直角坐标方程为x，y,4,0. 222x,0,x,2,xy，,，,24,12解得 ,y,4,y,2.xy，,4012,所以C与C交点的极坐标为，. 4,22,12,
27、24,注:极坐标系下点的表示不唯一( (2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)( 故直线PQ的直角坐标方程为x,y，2,0. bab由参数方程可得yx,，1. 22b,1,2所以 ,ab,，,12,2解得a,1，b,2. 24( ,，,26,2,xx,2,24,x解:(1)当a,2时，f(x)，|x,4|, ,26,4.xx,当x?2时，由f(x)?4,|x,4|得,2x，6?4，解得x?1; 当2,x,4时，f(x)?4,|x,4|无解; 当x?4时，由f(x)?4,|x,4|得2x,6?4，解得x?5; 所以f(x)?4,|x,4|的解集为x|x?1或x?5( (2)记h(x),f(2x，a),2f(x)， ,2,0,ax,hxxaxa()42,0,则 ,2,.axa,aa,，11,x由|h(x)|?2，解得. 22又已知|h(x)|?2的解集为x|1?x?2， a,1,1,2所以于是a,3. ,a，1,2.,22013 辽宁文科数学 第13页