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1、2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (浙江卷) 选择题部分(共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1(2013浙江，理1)已知i是虚数单位，则(,1，i)(2,i),( )( A(,3，i B(,1，3i C(,3，3i D(,1，i 22(2013浙江，理2)设集合S,x|x,2，T,x|x，3x,4?0，则(S)?T,( )( RA(,2,1 B(,?，,4 C(,?，1 D(1，?) 3(2013浙江，理3)已知x，y为正实数，则( )
2、( A(2lg x，lg y,2lg x，2lg y B(2lg(x，y),2lg x?2lg y C(2lg x?lg y,2lg x，2lg y D(2lg(xy),2lg x?2lg y 4(2013浙江，理4)已知函数f(x),Acos(x，)(A,0，,0，?R)，则“f(x)是奇函数”是“”的( )( ,2A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 95(2013浙江，理5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( )( 5A(a,4 B(a,5 C(a,6 D(a,7 106(2013浙江，理6)已知?R，sin ，2cos ,，
3、则tan 2,( )( 24334,3443A( B( C( D( 17(2013浙江，理7)设?ABC，P是边AB上一定点，满足PB,AB，且对于边AB004PBPBPC上任一点P，恒有?，则( )( PC00A(?ABC,90? B(?BAC,90? C(AB,AC D(AC,BC xk8(2013浙江，理8)已知e为自然对数的底数，设函数f(x),(e,1)(x,1)(k,1,2)，则( )( A(当k,1时，f(x)在x,1处取到极小值 B(当k,1时，f(x)在x,1处取到极大值 C(当k,2时，f(x)在x,1处取到极小值 D(当k,2时，f(x)在x,1处取到极大值 2x29(2
4、013浙江，理9)如图，F，F是椭圆C:，y,1与双曲线C的公12124共焦点，A，B分别是C，C在第二、四象限的公共点(若四边形AFBF为矩1212形，则C的离心率是( )( 2633222A( B( C( D( 10(2013浙江，理10)在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记B,f(A)(设，是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q,ff(P)，Q,ff(P)，恒有PQ,PQ，则( )( 1212A(平面与平面垂直 B(平面与平面所成的(锐)二面角为45? C(平面与平面平行 D(平面与平面所成的(锐)二面角为60? 非选择题部分(共100分) 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，
5、共28分( 2013 浙江理科数学 第1页 51,11(2013浙江，理11)设二项式的展开式中常数项为A，则A,_. x,3x,312(2013浙江，理12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm. xy，,20,13(2013浙江，理13)设z,kx，y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实xy,，,240,240.xy,数k,_. 14(2013浙江，理14)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)( 215(2013浙江，理15)设F为抛物线C:y,4x的焦点，过点P(,1,0)的直线l交抛物
6、线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|,2，则直线l的斜率等于_( 116(2013浙江，理16)在?ABC中，?C,90?，M是BC的中点(若sin?BAM,，则sin?BAC,3_. 17(2013浙江，理17)设e，e为单位向量，非零向量b,xe，ye，x，y?R.若e，e的夹角为，1212126|x则的最大值等于_( |b三、解答题:本大题共5小题，共72分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18(2013浙江，理18)(本题满分14分)在公差为d的等差数列a中，已知a,10，且a2a，2,5a成n11,23等比数列( (1)求d，a; n(2)若d,0，求|a|，
7、|a|，|a|，|a|. 123n2013 浙江理科数学 第2页 19(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定:取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分( (1)当a,3，b,2，c,1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列; 5(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数(若E,，D35,，求a?b?c. 920(2013浙江，理20)(本题满分15分)如图，在四面体A,BCD中，AD?平面BCD，BC?CD，AD,2，BD,
8、.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ,3QC( 22(1)证明:PQ?平面BCD; (2)若二面角C,BM,D的大小为60?，求?BDC的大小( 2013 浙江理科数学 第3页 22xy21(2013浙江，理21)(本题满分15分)如图，点P(0，,1)是椭圆C:，,1(a,b,0)的一个顶122ab22点，C的长轴是圆C:x，y,4的直径，l，l是过点P且互相垂直的两条直线，其中l交圆C于A，B121212两点，l交椭圆C于另一点D( 21(1)求椭圆C的方程; 1(2)求?ABD面积取最大值时直线l的方程( 12013 浙江理科数学 第4页 3222(2013浙江，理
9、22)(本题满分14分)已知a?R，函数f(x),x,3x，3ax,3a，3. (1)求曲线y,f(x)在点(1，f(1)处的切线方程; (2)当x?0,2时，求|f(x)|的最大值( 2013 浙江理科数学 第5页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (浙江卷) 选择题部分(共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1( 答案:B 2解析:(,1，i)(2,i),2，i，2i,i,1，3i，故选B( 2( 答案:C 2解析:由题意得T,x|x，3x,4?0,x|,4?x?1(又S,x|x,2，?
10、(S)?T,x|x?,2?Rx|,4?x?1,x|x?1，故选C( 3( 答案:D 解析:根据指数与对数的运算法则可知， lg ，lg xylg xlg y2,2?2，故A错，B错，C错; lg(xy)lg x，lg ylg xlg yD中，2,2,2?2，故选D( 4( 答案:B 解析:若f(x)是奇函数，则,k，k?Z; 2若，则f(x),Acos(x，),Asin x，显然是奇函数( ,2所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件( ,25( 答案:A 11119解析:该程序框图的功能为计算1，,2,的值，由已知输出的值为，aa，112，a，1523，19可知当a,4时2,.故选A(
11、 a，156( 答案:C 1010解析:由sin ，2cos ,得，sin ,2cos .? 221031022把?式代入sin，cos,1中可解出cos ,或， 101010310当cos ,时，sin ,; 101031010,当cos ,时，sin ,. 101013?tan ,3或tan ,，?tan 2,. ,347( 答案:D 2013 浙江理科数学 第6页 PBAB解析:设,t(0?t?1)， PBAB?,，,t， PCBCBC22PBABABAB?,(t)?(t，),t，t?. ABPCBCBCPB由题意?PB?PC， PC0011,22ABABABBC，即t，t? ABBC,
12、44,211,2AB,，?， ABBC,44,1PB即当时?取得最小值( t,PC4ABBC,1由二次函数的性质可知:， ,242AB12,AB即:?,， ABBC21,ABABBC，?,0. ,2,1MBAB取AB中点M，则，,，,， BCBCMC2AB?,0，即AB?MC( MC?AC,BC(故选D( 8( 答案:C xx解析:当k,1时，f(x),(e,1)(x,1)，f(x),xe,1， ?f(1),e,1?0， ?f(x)在x,1处不能取到极值; x2xx当k,2时，f(x),(e,1)(x,1)，f(x),(x,1)(xe，e,2)， xx令H(x),xe，e,2， xx则H(x)
13、,xe，2e,0，x?(0，?)( 说明H(x)在(0，?)上为增函数， 且H(1),2e,2,0，H(0),1,0， 因此当x,x,1(x为H(x)的零点)时，f(x),0，f(x)在(x1)上为减函数( 000,当x,1时，f(x),0，f(x)在(1，?)上是增函数( ?x,1是f(x)的极小值点，故选C( 9( 答案:D 解析:椭圆C中，|AF|，|AF|,4，|FF|,. 2311212又因为四边形AFBF为矩形， 12所以?FAF,90?. 12222所以|AF|，|AF|,|FF|， 1212所以|,，|,. AFAF22,22，1236所以在双曲线C中，2c,，2a,|AF|,
14、|AF|,，故，故选D( 23e,22221222013 浙江理科数学 第7页 10( 答案:A 非选择题部分(共100分) 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分( 11(答案:,10 rr5,r,1,5,rrrr32, 解析:TxxxC()C(1),r，155,3x,5155,rrr,rrrr236(1)C(1)C,xx,. 55令15,5r,0，得r,3， 332所以A,(,1),10. C,C5512( 答案:24 解析:由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥(,VVV,AECABCABCABCEABC,11111111111?3?4?5,?3?4?3,30,
15、6,24. 23213(答案:2 解析:画出可行域如图所示( 由可行域知，最优解可能在(0,2)或(4,4)处取得( AC若在A(0,2)处取得不符合题意; 若在C(4,4)处取得，则4k，4,12，解得k,2，此时符合题意( 14(答案:480 5解析:如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A种情况;若C523放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共A?A4323AA种排法;若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有?种排2323AA法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，
16、再在其余3个位置排D，E，F，共有?种排法;若332013 浙江理科数学 第8页 232323C在第4个位置，则有，种排法;若C在第5个位置，则有种排法;若C在第6个位AAAAAA2343335置，则有种排法( A55232323综上，共有2(，),480(种)排法( AAAAAAA432353315(答案:?1 2,yx,4,222解析:设直线l的方程为y,k(x，1)，A(x，y)，B(x，y)(由联立，得kx，2(k,2)x1122,ykx,，1,222，,，k2，k,0，?x，x,， ,122k2xxk，,22yy，21212?,，1， ,222kk2k22,，1,. 即Q,2kk,又
17、|FQ|,2，F(1,0)， 2222,?，解得k,?1. ,，,，,114,2kk,616(答案: 3解析:如图以C为原点建立平面直角坐标系， 设A(0，b)，B(a,0)， aa,ABAM,0,b则M，,(a，,b)，,， ,22,ABAM,cos?MAB, ABAM2a2，b2,. 2a222abb，,，41又sin?MAB,， 3218,1,?cos?MAB,. ,39,22,a2，b,28,?， 29,a222，abb,4,2013 浙江理科数学 第9页 4224整理得a,4ab，4b,0， 2222即a,2b,0，?a,2b， aab26sin?CAB,. ,22233babb，3
18、(答案:2 17222222解析:|b|,(xe，ye),x，y，2xye?e,x，y，xy. 31212|x|xx,0?，当,0时，; x,22|b|bxyxy，3|11x当x?0时，. ,222|byy3,y31，1，,xx,x24,三、解答题:本大题共5小题，共72分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 18( 2解:(1)由题意得5a?a,(2a，2)， 3122即,3,4,0， dd故d,1或d,4. *所以a,n，11，n?N或a,4n，6，n?N. nn(2)设数列a的前n项和为S. nn因为d,0，由(1)得d,1，a,n，11. n1212则当n?11时，|a|，|a|
19、，|a|，|a|,S,. ,，nn123nn221212当n?12时，|a|，|a|，|a|，|a|,S，2S,，110. nn,123nn1122121,2,，,nnn,11,22综上所述，|a|，|a|，|a|，|a|, 123n,1212,nnn,，,110,12.,2219( 解:(1)由题意得,2,3,4,5,6. 331，故P(,2),， ,664，2321，P(,3),， ,663，231225，(,4),， P,6618，2211，P(,5),， ,669，111，P(,6),， ,6636，所以的分布列为 2 3 4 5 6 11511P 4936318(2)由题意知的分布列
20、为 1 2 3 2013 浙江理科数学 第10页 abc P abc，abc，abc，abc235所以E(),， ，,abcabcabc，32225555abc,(),， D123,，,，,3339abcabcabc，,240,abc,化简得 ,abc，,4110.,解得a,3c，b,2c，故a?b?c,3?2?1. 20( 方法一:(1)证明:取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF,3FC，连结OP，OF，FQ，因为AQ,3QC，1所以?，且, QFADQFAD(4因为O，P分别为BD，BM的中点， 所以OP是?BDM的中位线， 1所以OP?DM，且OP,DM. 21又点M为AD的中点
21、，所以OP?AD，且OP,AD( 4从而OP?FQ，且OP,FQ， 所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ?OF. 又PQ平面BCD，OF平面BCD， ,所以PQ?平面BCD( (2)解:作CG?BD于点G，作CH?BM于点H，连结CH. 因为AD?平面BCD，CG平面BCD， ,所以AD?CG， 又CG?BD，AD?BD,D， 故?平面，又平面， CGABDBMABD,所以CG?BM. 又GH?BM，CG?GH,G，故BM?平面CGH， 所以GH?BM，CH?BM. 所以?CHG为二面角C,BM,D的平面角，即?CHG,60?. 设?BDC,. 在Rt?BCD中，CD,BDcos ,cos
22、， 22CG,CDsin ,cos sin ， 222BG,BCsin ,sin. 222BGDM,22sin,HG,在Rt?BDM中，. BM32013 浙江理科数学 第11页 CG3cos,在Rt?CHG中，tan?CHG,. ,3HGsin,所以tan ,. 3从而,60?.即?BDC,60?. 方法二:(1)证明:如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)( 2,22设点C的坐标为(x，y0)( 00,3231xy,，因为，所以Q. AQQC,3,00,4442,因为M为AD的中
23、点，故M(0，1)( 21,0,0,又P为BM的中点，故P， ,2,323xy,0，所以,. PQ,00,444,又平面BCD的一个法向量为u,(0,0,1)，故?u,0. PQ又PQ平面BCD，所以PQ?平面BCD( ,(2)解:设m,(x，y，z)为平面BMC的一个法向量( BM，2,y1)，由,(,x,(0,，1)， CM220,0,，,，,xxyyz20,00知 ,220.yz，,y，20,1,22,取y,1，得m,. ,x0,又平面BDM的一个法向量为n,(1,0,0)， y，202x,y，2|1mn,00于是|cosm，n|,，即.? ,3,2|2mnx0,y，209，,x0,又B
24、C?CD，所以?,0， CBCD,2y2,y故(,x，0)?(,x，0),0， 0,0,0022即x，y,2.? 002013 浙江理科数学 第12页 ,6x,0x,0,0,2联立?，?，解得(舍去)或 ,y,2,20,y,.0,2x0,3所以tan?BDC,. 2,y0又?BDC是锐角，所以?BDC,60?. 21( b,1,(1)由题意得 解:,a,2.,2x2所以椭圆C的方程为，y,1. 4(2)设A(x，y)，B(x，y)，D(x，y)( 112200由题意知直线l的斜率存在，不妨设其为k， 1则直线的方程为,1. lykx1122又圆C:x，y,4，故点O到直线l的距离d,， 212
25、k，1243k，2所以. |242ABd,2k，1又?，故直线的方程为，,0. lllxkyk212xkyk，,0,由 ,22xy，,44,22消去)，8y，整理得(4，kxkx,0， 8k故. x,024，k281k，所以|PD|,. 24，k设?ABD的面积为S， 2843k，1则S,|AB|?|PD|,， 24，k232所以S, 13243k，243k，321613?， ,13132243k，,243k，10k,当且仅当时取等号( 210,x所以所求直线l的方程为y,1. 1222( 2解:(1)由题意f(x),3x,6x，3a， 故f(1),3a,3. 又f(1),1，所以所求的切线方
26、程为y,(3a,3)x,3a，4. 2013 浙江理科数学 第13页 2(2)由于f(x),3(x,1)，3(a,1)，0?x?2， 故?当a?0时，有f(x)?0，此时f(x)在0,2上单调递减， 故|f(x)|,max|f(0)|，|f(2)|,3,3a. max?当a?1时，有f(x)?0，此时f(x)在0,2上单调递增， 故|f(x)|,max|f(0)|，|f(2)|,3a,1. max?当0,a,1时，设x,1,，x,1， 1,a1,a12则0,x,x,2，f(x),3(x,x)(x,x)( 1212列表如下: (x22,x 0 (0，x) x (x，x) x 2 11122) f
27、( ， 0 , 0 ， x) 极大值单调递极小值单调f(x) 3,3a 单调递增 a,1 3f(x) 减 f(x) 递增 12由于f(x),1，2(1,a)，f(x),1,2(1,a)， 1,a1,a12故f(x)，f(x),2,0，f(x),f(x),4(1,a),0， 1,a1212从而f(x),|f(x)|. 12所以|f(x)|,maxf(0)，|f(2)|，f(x)( max12当0,时，(0),|(2)|. aff32aa，,，34又f(x),f(0),2(1,a),(2,3a),0， 1,a121123，,，,，,aaa故|f(x)|,f(x),1，2(1,a). 1,amax12当?a,1时，|f(2)|,f(2)，且f(2)?f(0)( 32aa，,，34又f(x),|f(2)|,2(1,a),(3a,2),， 1,a121132，,，,，,aaa23所以当?a,时，f(x),|f(2)|. 134故f(x),f(x),1，2(1,a). 1,amax13当?a,1时，f(x)?|f(2)|. 14故f(x),|f(2)|,3a,1. max综上所述， ,33,0,aa,3,|f(x)|, 1211,0,，,，,aaamax,4,3,31,.aa,42013 浙江理科数学 第14页