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1、2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U=R，集合M=x| x1，P=x
2、| x21，则下列关系中正确的是 （A）MP （B）PM （C）MP （ D）（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若，且，则向量与的夹角为 （A）30 （B）60 （C）120 （D）150 （4）从原点向圆 x2y212y27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A） （B）2 （C）4 （D）6（5）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos （C）co
3、s(+)sinsin （D）cos(+)0；. 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .（14）已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共13分） 已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，
4、求它在该区间上的最小值（16）（本小题共14分） 如图, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未E， （I）求证：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小 （17）（本小题共13分） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率（18）（本小题共14分） 如图，直线 l1：ykx（k0）与直线l2：ykx之间的
5、阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合 （19）（本小题共12分）设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求（20）（本小题共14分） 设f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在x*(0，1)，使得f(x)
6、在0, x*上单调递增，在x*，1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的0，l上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（I）证明：对任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0r0.5），证明：存在x1，x2(0，1)，满足x2x12r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r；（III）选取x1，x2(0, 1)，x1x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x
7、3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）； （11）15 （12）(1, e)；e （13） （14）n(n3)；2n三、
8、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABC
9、DAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 与（I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1， 则C1BF就是AD与BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1，
10、BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=，BC1， 在BFC1 中，, C1BF= 即异面直线AD与BC1所成角的大小为（17）（共13分）解：（I）P(0)，P(1)，P(2)，0123PP(3)， 的概率分布如下表： E, （或E=3=1.5）； （II）乙至多击中目标2次的概率为1=； （III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则AB1B2， B1，B2为互斥事件 所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.（18）（共14分）解：（I）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x
11、, y)| kxy0， （II）直线l1：kxy0，直线l2：kxy0，由题意得 , 即， 由P(x, y)W，知k2x2y20， 所以 ，即, 所以动点P的轨迹C的方程为； （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为xa（a0）由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合， 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n0） 由，得 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2m20且=0设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
12、则, , 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， 由得从而，所以y3+y4=m(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是OM1M2的重心与OM3M4的重心也重合（19）（共12分）解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列 （III）.（20）（共14分）（I）证明：设x*为f(x) 的峰点
13、，则由单峰函数定义可知，f(x)在0, x*上单调递增，在x*, 1上单调递减 当f(x1)f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1x2f(x1)， 这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间. 当f(x1)f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*x1f(x2)， 这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知： 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l1x2； 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1x1； 对于上述两种情况，由题意得 由得 1x2x11+2r，即x1x12r. 又因为x2x12r，所以x2x1=2r, 将代入得 x10.5r, x20.5r， 由和解得 x10.5r， x20.5r 所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1 由条件x1x30.02，得x1(12x1)0.02，从而x10.34 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x10.34，x20.66，x3=0.32