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1、9.6 空间向量及其运算（B）知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.ab=|a|b|cosa，b.a2=|a|2.a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb.a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc.点击双基1.在以下四个式子中正确的有a+bc，a（bc），a（bc），|ab|=|a|b|A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析：根据数量积的定义，bc是一个实数，a+bc无意义.实数与向量无数量积，故a（bc）错，|ab|=|a|b|cosa，b|，只有a（bc）正确.答案
2、：A2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.a+b，ba，aB.a+b，ba，bC.a+b，ba，cD.a+b+c，a+b，c解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，ba，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3.在平行六面体ABCDABCD中，向量、是A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析：=，、共面.答案：C4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m0），则a，b=_.答案：455.已知四边形ABCD中，=a2c，=5a+6b8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_.解析：=+，又=+，两式相加，得2=（+）+（+）+
3、（+）.E是AC的中点，故+=0.同理，+=0.2= +=（a2c）+（5a+6b8c）=6a+6b10c.=3a+3b5c.答案：3a+3b5c典例剖析【例1】 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y +z.剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1 +y1=+x1（）+y1（）=（1x1y1）+x1+y1，取x=1x1y1、y=x1、z=y1，
4、则有=x+y+z，且x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例2】 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离.解：如下图，因为ACD=90，所以 =0.同理，=0.因为AB与CD成60角，所以，=60或120.因为=，所以2=222222=2222=3211cos，= 4 （，=60）， 2 （，=120）.所以
5、=2或，即B、D间的距离为2或.【例3】 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1平面ACB1；（2）BE=ED1.证明：（1）我们先证明BD1AC. = + +， = +，=（ + +）（+）=+ =|2|2=11=0.BD1AC.同理可证BD1AB1，于是BD1平面ACB1.（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则= = ，即2=.对于空间任意一点O，设=b， =m，=b1，=d1，则上述等式可改写成2（mb）=d1b1或b1+2m=d1+2b.记=e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成（=2）之比，所以点E既
6、在线段B1M（B1M面ACB1）上又在线段D1B上，所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，即D1EEB=21.BE=ED1.思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.闯关训练夯实基础1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与相等的是A. a+ b+c B. a+ b+cC. a b+cD. a b+c解析：= + =+ （+）= + =c a+ b，故选A.答案：A2.O、A、B、C为空间四个点，又、为空间的一个基底，则A.O、A、B、C四点不共线B.
7、O、A、B、C四点共面，但不共线C.O、A、B、C四点中任意三点不共线D.O、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.答案：D3.已知a+3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b=_.解析：由条件知（a+3b）（7a5b）=7|a|215|b|2+16ab=0，及（a4b）（7a2b）=7|a|2+8|b|230ab=0.两式相减得46ab=23|b|2，ab= |b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|.cosa，b=.a，b=60.答案：604.试用向量证明三垂线定
8、理及其逆定理.已知：如下图，PO、PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在内的射影，a，求证：aPAaOA.证明：设直线a上非零向量a，要证aPAaOA，即证a =0a =0.a，a =0，a=a（+）=a+a=a.a=0a=0，即aPAaOA.评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.5.直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求证：AB1=A1C.证明：=AB=AC.又A1A=B1B，A1C=AB1.评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的
9、运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.培养能力6.沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.解：用a、b、c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1=a，f2=2b，f3=3c，则f=f1+f2+f3=a+2b+3c，|f|2=（a+2b+3c）（a+2b+3c）=|a|2+4|b|2+9|c|2+4ab+6ac+12bc=1+4+9+4|a|b|cosa，b+6|a|c|cosa，c+12|b|c|cosb，c=14+4cos60+6cos60+12cos60=14+2+3+6=25.|f|=5，
10、即所求合力的大小为5，且cosf，a=.同理，可得cosf，b=，cosf，c=.7.在空间四边形ABCD中，求证：+ +=0.证法一：把拆成+后重组，+=（ +）+=+=（+）+（+）=+ = （+）=0=0.证法二：如下图，设a=，b= ，c=，则+=（ba）（c）+（ca）b+（a）（cb）=bc+ac+cbabac+ab=0.评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于a、b、c的式子，化简时的思路方向较清楚.探究创新8.（2004年全国，理20）如下图，已知四棱锥PABC
11、D，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.（1）解：如下图，作PO平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.ADPB，ADOB.PA=PD，OA=OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，PEAD.由此知PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PEB=120，PEO=60.由已知可求得PE=，PO=PEsin60=，即点P到平面ABCD的距离为.（2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴
12、平行于DA.P（0，0，），B（0，0），PB中点G的坐标为（0，），连结AG.又知A（1，0），C（2，0）.由此得到 =（1，）， =（0，），=（2，0，0）.于是有=0，=0，. ，的夹角等于所求二面角的平面角.于是cos=，所求二面角的大小为arccos.解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AGPB，FGBC，FG=BC.ADPB，BCPB，FGPB.AGF是所求二面角的平面角.AD面POB，ADEG.又PE=BE，EGPB，且PEG=60.在RtPEG中，EG=PEcos60=，在RtGAE中，AE=AD=1，于是tanGAE= .又AGF=GAE
13、，所求二面角的大小为arctan.思悟小结1.若表示向量a1，a2，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1a2a3an=0.2.应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算.教师下载中心教学点睛1.要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积，掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件.2.空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的.拓展题例【例1】 下列命题中不正确的命题个数是
14、若A、B、C、D是空间任意四点，则有+ +=0 |a|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件 若a、b共线，则a与b所在直线平行 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、zR），则P、A、B、C四点共面A.1 B.2 C.3 D.4解析：易知只有是正确的，对于，若O平面ABC，则、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面.答案：C【例2】 A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点.现在= = = （）= （）=（ ）=（）=.=|= |= BD=.说明：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化.【例3】 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明： = ， = ，=2，=2.又 = （+），（*）A、B、C及A1、B1、C1分别共线，=2，=2.代入（*）式得= （2+2）=+，、共面.M、N、P、Q四点共面.