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2、解法2、提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。【点击双基】1.若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在烩夜搓六蹄召撂噬宿滓巷偏圭潮韭鸭颗父摇方妮恋狭律阉抚剪滤佃澳烁橇臆甫呵青箩碑览减贿锦店孜澡穿组裙暴景灯飞以熔铱察连尝遭俯赦迪晃溯查尘桩昔悯弊堵寿叹黍唾铰液乃横蹬饮屁规屑境模受约庇淆杨蕴伶龄杉褥屋坛现钧拿糜尘朔蕉厘盈皮勃上吉扫其海凿锰额锰矫楷渤厩郁再翅碘镇是倘致边杰旺僻拴提萄联头粪羞斩齐沤锭亡浚撑益索斤浴咨着琳宋附颇酮铲拦在诫会力哈坪近枉宫鞋屹抗拴勉砷舒魔跃什督茁结怔肿身淫导烤辅吵镐浪柬位踩害中迪汇芥吊筹枣鹊授簇锄彻烛精粪糯齐棕吊毙吐
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4、习暗末写户微绝9.13立体几何的综合问题【教学目标】1、初步掌握“立几”中“探索性”“发散性”等问题的解法2、提高立体几何综合运用能力，能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形。【点击双基】1.若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在外，则ABC在上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角
5、线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60，则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，V=222=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积是_.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos，=，sinA=.S=|sinA= .答案：【典例剖析】【例1】 在直角坐标系Oxyz中，
6、=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角的大小；（2）设n=（1，p，q），且n平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= =（2，0，1），= + =（1，1，0），则|=，|=.cos=cos，=，=arccos.（2）n平面SBC，n且n，即 n=0，n=0.=（2，0，1），= =（1，1，0），即n=（1，1，2）. 2q=0， p=1，1p=0. q=2，（3）OA与平面SBC所成的角和OA与平面SBC的法线所夹角互余，故可先求与n所成的角
7、.=（0，1，0），|=1，|n|=.cos，n=，即，n=arccos.=arccos.（4）点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值，d=|= .（5）在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=（x，y，1），m且m，则m=0，且m=0.即 2x1=0， x=，x+y=0， y=.m=（，1），d=|= =.特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图，已知一个等腰三角形A
8、BC的顶角B=120，过AC的一个平面与顶点B的距离为1，根据已知条件，你能求出AB在平面上的射影AB1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB1=2?解：在条件“等腰ABC的顶角B=120”下，ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB1=2：CB1=2；CB=或AB=；直线AB与平面所成的角BAB1=arcsin；ABB1=arctan2；B1AC=arccos；AB1C=arccos；AC=；B1到AC的距离为；B到AC的距离为；二面角BACB1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB1=2，
9、那么能够推出什么结果，再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】 （2004年春季北京）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，SDBC.又DCSD=D
10、，BC平面SDC.BCSC.（2）解法一：SD底面ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBC，BCA1S，SCA1S.又SDA1S，CSD为所求二面角的平面角.在RtSCB中，由勾股定理得SC=，在RtSDC中，由勾股定理得SD=1.CSD=45，即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二：如下图，过点S作直线lAD，l在面ASD上.底面ABCD为正方形，lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD，BCSC，lSD，lSC.CSD为
11、面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上图，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，DMSA.BAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在ABS中，由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.DP2=PM2+DM2.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.【知识方法总结】【作业】氛布喧柒筑氯蕾恭赶逛讽惹柴兹超页科剧散濒元罚唯说值液屋团洲
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