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1、模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，棱台的各侧棱不一定相交于一点，如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析:命题中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题中:因两个直角三角形相似
2、且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题正确；命题中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D.答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16 B.20 C.24 D.32解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面
3、积公式可得球的表面积为24.答案：C4.木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍 B.倍 C.120倍 D.倍解析:设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意,得,则木星的表面积地球的表面积=答案：C5.已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中BO=CO=1,AO=,那么原ABC是一个( )图3A.等边三角形 B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=BC=2,AO=2AO=.故原ABC是一个等边三角形.答案：A6.已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：若m，n，则m
4、n；若m，n，则nm；若m，m，则.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析:通过举例可证明错误,可知命题为正确命题.答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3) B.(3,-6) C.(-6,-3) D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案：D8.点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析:将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC与BD所
5、成角即DBC.在等边三角形DBC中，DBC=60，即PA与BD所成角为60.答案：C9.若l为一条直线，、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，;,；l,l其中正确的命题有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:中可由长方体的一角证明是错误的；易证明是正确的.答案：C10.已知实数x、y满足2x+y+5=0，那么的最小值为( )A. B. C. D.解析:表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.
6、4条解析:与点A（1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B（3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A、B两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因AB=，且，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的四个顶点所在球的体积为( )A. B. C. D.解析:连结矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，则AO=BO=CO=DO，翻折后仍然AO=BO=CO=DO，则O为四面体ABCD四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABC
7、D四个顶点所在球的半径为，故球的体积为.答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为_.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x，故有4x=4+6，解得x=.答案：14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是_.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+(7x+15y+1)=0，整理得(2+7)x+(3+15)y-7+=0.根据两直线平行关系得=1，代入得3x+6y-2=0.
8、答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是_解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB为直径端点的圆满足条件,所求方程为x2+y2=9.答案：x2+y2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q，则圆锥的体积为_.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l,则S侧=rl，S底=r2，S侧=2S底,rl=2r2，即l=2r.又l2=r2+h2，解得h=.又S轴截面=rh=Q,r2=,即r=.h=.故V圆锥=r2h=.答案：17.已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA
9、=a，在母线BB1上取一点Q，使B1Q=b，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为_.解析:如图甲，沿圆柱的母线AA1剪开得矩形（如图乙），过P作PEAB交BB1于E，则PE=AB=2R=R，QE=h-a-b.PQ=.答案：18.过圆x2+y2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为_.解析:设弦的中点是P(x0,y0)，根据圆的几何性质得OPAP，即点P(x0,y0)在以OA为直径的圆上，即(x0-2)2+y02=4.因P(x0,y0)在圆x2+y2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4，x0,1).答案：(x-2)2+y2=4，x0,1)三、解答题
10、（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分10分）已知直线l垂直于直线3x-4y-7=0，直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l的方程.解：设直线l方程为4x+3y+b=0，则l与x轴、y轴的交点为A(,0),B(0,).AB=.由OA+OB+AB=10,得=10.b=10.l方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图
11、，设正方体棱长为x，则CC1=x,C1D1=x.作SOEF于O，则SO=,OE=1,ECC1ESO,.x=(cm).正方体棱长为cm.21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图4解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y)，则PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1.同理,PN2=(x-2)2+y2
12、-1PM=PN，(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33这就是动点P的轨迹方程22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点.图5（1）求二面角B1MNB的正切值；（2）求证：PB平面MNB1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离.（1）解：连结BD交MN于F，连结B1F.平面DD1B1B平面ABCD,交线为BD，ACBD,AC平面DD1B1B.又AC/MN，MN平面DD1B1B.B1F,BF平面DD1B1B，B1FMN,BFMN.B1F平面B1MN，BF平面BMN，则B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.在RtB1FB中，设B1B=1，则FB=，tanB1FB=.（2）证明：过点P作PEAA1，则PEDA，连结BE.又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1,即PEB1M.又BEB1M，B1M平面PEB.PBMB1.由（1）中MN平面DD1B1B,得PBMN，所以PB平面MNB1.（3）解：PB=，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：