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1、题组训练 3939 专题研究 3 3 数列的综合应用 1设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列， 则 a1( ) A2 B2 1 1 C. D 2 2 答案 D 解析 S1a1，S2a1a22a11，S44a16. S22S1S4，(2a11)2a1(4a16) 1 4a124a114a126a1a1 . 2 1 2(2017山西四校联考)已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3，2a2成等差数列， 2 a9a10 则 ( ) a7a8 A1 2 B1 2 C32 2 D32 2 答案 C 1 1 解析 因为 a1， a3，2
2、a2成等差数列，所以 a32a12a2，即 a1q2a12a1q，所以 q21 2 2 a9a10 a1q8（1q） 2q，解得 q1 2 或 q1 2(舍)，所以 q2(1 2)232 2. a7a8 a1q6（1q） 3已知an是等差数列，a115，S555，则过点 P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为( ) 1 A4 B. 4 1 C4 D 4 答案 C 5 4 a4a2 解析 S55a1 d，所以 51510d55，即 d2.所以 kPQ 2d4. 2 43 4(2016四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015年全年投入 研发资金 130 万元，在此基
3、础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入 的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg2 0.30)( ) A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年 答案 B 1 解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从 2015 年起，每年投入 的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项 a1130，公比 q112%1.12，所以 an lg2lg1.3 lg2lg1.3 1301.12n1.由 1301.12n1200，两边同时取对数，得 n1 ，又 lg1.12 lg1.12 0.30
4、0.11 3.8，则 n4.8，即 a5开始超过 200，所以 2019年投入的研发资金开始超过 200 0.05 万元，故选 B. 5已知各项均不为 0 的等差数列an，满足 2a3a722a110，数列bn是等比数列，且 b7 a7，则 b6b8( ) A2 B4 C8 D16 答案 D 解析 因为an为等差数列，所以 a3a112a7，所以已知等式可化为 4a7a720，解得 a7 4 或 a70(舍去)，又bn为等比数列，所以 b6b8b72a7216. 6已知an，bn均为等差数列，且 a28，a616，b24，b6a6，则由an，bn的公共 项组成的新数列cn的通项公式 cn( )
5、 A3n4 B6n2 C6n4 D2n2 答案 C 解析 设an的公差为 d1，bn的公差为 d2， a6a2 8 b6b2 12 则 d1 2，d2 3. 62 4 62 4 ana2(n2)22n4，bnb2(n2)33n2. 数列an为 6，8，10，12，14，16，18，20，22，数列bn为 1，4，7，10，13，16， 19，22，. cn是以 10 为首项，以 6 为公差的等差数列 cn10(n1)66n4. 7(2017重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有大夫、不更、 ”簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？ 意思是：今有大夫、
6、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分 配，问各得多少若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( ) A200 B300 500 C. D400 3 答案 B 解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为 a1，a2，a3，a4，a5，则 a1a2a3 2 a4a5500.由等差数列的性质可得 5a3500，即 a3100，所以 a2a3a43a3300. 8(2017河南洛阳期末)已知等差数列an的公差和首项都不等于 0，且 a2，a4，a8成等比数 a1a5a9 列，则 ( ) a2a3 A2 B3 C5 D6
7、 答案 B 解析 a2，a4，a8成等比数列，a42a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，a1d， a1a5a9 3a112d 3.故选 B. a2a3 2a13d 9(2017衡水中学调研卷)在 1 到 104之间所有形如 2n与形如 3n(nN N*)的数，它们各自之和 的差的绝对值为(lg20.301 0)( ) A1 631 B6 542 C15 340 D17 424 答案 B 4 解析 由 2nb2 Ba3b5 Da6b6 答案 A 43d1， 解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为 d，q，则由题意得4q 31， )解得 d1， ， ) 3 1 3 16 3 2
8、7 则 a2b23 3 0；故选 A. q 4 11数列an是等差数列，若 a1，a3，a4是等比数列bn中的连续三项，则数列bn的公比为 _ 1 答案 或 1 2 解析 设数列an的公差为 d，由题可知，a32a1a4，可得(a12d)2a1(a13d)，整理得(a1 4d)d0，解得 d0 或 a14d.当 d0 时，等比数列bn的公比为 1；当 a14d 时， 3 1 a1，a3，a4分别为4d，2d，d，所以等比数列bn的公比为 . 2 12(2017广东潮州期末)从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精，然后填满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_
9、次后才能使纯酒精体积与总 溶液的体积之比低于 10%. 答案 4 解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比 a1 1 1 ，设操作 n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为 an，则 an1an ，ana1qn1 2 2 1 1 1 ( )n，( )n0，nN N*. (1)若 a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式； y2 (2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e22，求 e12e22en2. an2 1 答案 (1)an2n1(nN N*) (2)n (3n1) 2 解析 (1)由已知 Sn1qSn1，得 Sn2qSn11，两
10、式相减得到 an2qan1，n1. 4 又由 S2qS11 得到 a2qa1， 故 an1qan对所有 n1 都成立 所以数列an是首项为 1，公比为 q 的等比数列 从而 anqn1. 由 a2，a3，a2a3成等差数列，可得 2a3a2a2a3， 所以 a32a2，故 q2， 所以 an2n1(nN N*) (2)由(1)可知，anqn1. y2 所以双曲线 x2 1 的离心率 en 1an2 1q2（n1）. an2 由 e2 1q22 解得 q 3. 所以 e12e22en2(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)n q2n1 1 n (3n1) q21 2 15(2018
11、衡水中学调研卷)若某地区 2015 年人口总数为 45万，实施“放开二胎”新政策后 专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025年每年人口比上年增加 0.5 万人， 从 2026 年开始到 2035年每年人口为上一年的 99%. (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an的表达式(注：2016年为第一年)； (2)若新政策实施后的 2016年到 2035 年人口平均值超过 49万，则需调整政策，否则继续实施， 问到 2035 年后是否需要调整政策？(说明：0.9910(10.01)100.9) 0.5n45，1 n 10 答案 (1)50 0.99 n10，11 n 2
12、0) (2)不需要 解析 (1)由题意知，当 n10 时，数列an是以 45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以 an 45.5(n1)0.50.5n45. 当 11n20 时，数列an是公比为 0.99的等比数列，而 a11500.99，所以 an500.99n 10. 所 以 新 政 策 实 施 后 第 n 年 的 人 口 总 数 an(单 位 ： 万 )的 表 达 式 为 an 0.5n45，1 n 10， 50 0.99n10，11 n 20.) (2)设 Sn为数列an的前 n 项和，则从 2016年到 2035 年共 20年，由等差数列及等比数列的求 和公式得 S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)972.5(万)， S20 所以新政策 实施到 2035 年人口均值为 48.6349. 20 所以到 2035 年后不需要调整政策 16(2018云、贵、川三省联考)设数列an是公差大于 0 的等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S39，且 2a1，a31，a41 构成等比数列 5