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1、年 级初一学 科数学版 本人教新课标版（2012教材）课程标题第三章 第3节 解一元一次方程（二）去括号与去分母编稿老师高静一校黄楠二校林卉审核路子华一、考点突破 去分母和去括号是解一元一次方程的重要步骤，在解一元一次方程的题目中属于比较复杂的步骤，学习时注意掌握以下几点：1. 理解去括号的方法，并能正确去括号；2. 理解去分母的理论依据，并能正确去分母；3. 会解较复杂的一元一次方程；4. 会列一元一次方程解决实际问题。 中考预测：中考试题中对本讲内容的考查，大多是以应用题的形式出现，直接考查通过去分母、去括号解一元一次方程的题目比较少见，一般都是综合到其它题目中进行考查。二、重难点提示重点
2、：通过去分母、去括号解一元一次方程；弄清列方程解应用题的思想方法。难点：括号前面是“”号，去括号时如何处理；逐步树立列方程解应用题的思想。一、知识脉络图二、知识点拨1. 解方程的一般步骤解方程一般要经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这些变形，最终化成xa的形式，这是解题中一般常用的“通法”，但在学习过程中也不能机械地套用“通法”，一定要观察方程的特点，灵活运用。2. 较复杂的一元一次方程的解法（1）分母是小数的一元一次方程利用分数的基本性质，将分子、分母同时扩大若干倍，使分子、分母化为整数。（2）含有多重括号的一元一次方程先去小括号，再去中括号，有大括号的最后去大括号。知识点1：
3、一元一次方程的解法例题1 解方程3（x3）2（5x7）6（1x）。思路导航：常规解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1。技巧解法：通常去括号后，把含有未知数的项移到等号的左边，本题可打破常规，把含有未知数的项移到等号的右边，可直接使x的系数化为1。答案：解法一：去括号，得3x910x1466x移项，得3x10x6x6914合并同类项，得x1系数化为1，得x1解法二：去括号，得3x910x1466x，移项，得91466x10x3x，合并同类项，得1x，即x1。点评：这里不按常规方法移项，避免了x的系数为负，省去了“系数化为1”这一步。可见，解一元一次方程的步骤可根据方程特点灵活运用。例题2
4、解方程1。思路导航：本题主要考查一元一次方程的解法，分母出现小数，给解方程带来麻烦，通过观察发现，其分子也有小数，所以可以利用分数的基本性质，将分子、分母都乘10，简化方程。答案：化简原方程，得1，去分母，得3（4x9）5（2x3）15，去括号，得12x2710x1515，移项，得12x10x151527，合并同类项，得2x3，系数化为1，得x。点评：这类题非常容易出错，在把分母化成整数时，等号右边的1千万不要乘10，注意正确区分分数的基本性质和去分母所依据的等式的基本性质。知识点2：一元一次方程的综合问题例题1 解方程x3x1x1。思路导航：分多种情况把绝对值符号去掉，转化为一元一次方程。答
5、案：因为当x3时x30，当x1时x10，结合数轴和绝对值的定义作如下讨论：（1）当x3时，原方程可化为（x3）（x1）x1。解得x5。（2）当3x1时，原方程可化为（x3）（x1）x1。解得x1。（3）当x1时，原方程可化为（x3）（x1）x1。解得x3。这3个解都符合题意，所以原方程的解是x5、x1、x3。点评：解含有绝对值的方程时，一般根据绝对值的定义把绝对值符号去掉，将其转化为一元一次方程。如果含有两个绝对值符号，则需结合数轴分类讨论，可分三种情况：两个含有绝对值的式子都小于0、都大于0、一个小于0，另一个大于0。例题2 已知关于x的方程4x13x2a和3x16x2a的解相同，求：（1）
6、a的值；（2）式子（a2）2012（2a）2013的值。思路导航：已知两个方程的解相同，可以把a看成已知数来表示方程的解，从而构造关于a的一元一次方程，求出a的值。答案：（1）由于4x13x2a，得x12a。由3x16x2a，得x。因为两个方程的解相同，所以12a，所以a。（2）当a时，（a2）2012（2a）2013（2）2012（2）2013（）2012（）2013（）2012（）2012（）（）2012（）1（）。点评：本题把一元一次方程和整式的求值问题以及有理数的运算综合在一起，解答这类问题时注意两点：一是两个方程的解相同的意义；二是整式和有理数的相关运算法则。知识点3：列一元一次方程
7、分析和解决实际问题例题1 在无风的情况下每小时航速为1200千米的一架飞机，逆风飞行一段x千米的航线用了3小时，如果顺风飞行这段航线只用2小时，则得方程12001200，这个方程表示的意义是（ ）A. 飞机往返一次的总时间不变B. 在顺风和逆风时，风速不变C. 在顺风和逆风时，飞机自身航速不变D. 在顺风和逆风时，航线长度不变思路导航：根据题意分析12001200的数量关系即可，其中1200是无风航速，是逆风航速，是顺风航速。等号左边无风航速逆风航速风速；等号右边顺风航速无风航速风速，可见这个方程是根据风速不变列出来的，故选B。答案：B点评：这是一道关于航行的问题，解题关键是弄清其数量关系，顺
8、风航速无风航速风速，逆风航速无风航速风速。例题2 如图所示，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用斜线标明。已知卡片的短边长度为10厘米，想要配三张图片来填补空白，则需要配边长为_厘米的图片。思路导航：从第一横行看，展示牌的长由5个小长方形的长组成，从第二横行看，展示牌的长由3个小长方形的长和3个小长方形的宽组成，那么等量关系为：5小长方形的长3（小长方形的长小长方形的宽）。答案：设卡片的长为x厘米，根据图形和题意，得5x3（x10），解得x15，所以需配正方形图片的边长为15105（厘米）故需要配边长为5厘米的正方形图片。点评：解题
9、关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解。本题的关键点在于根据展示牌的长或者宽来得到等量关系。例题3 以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个。（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？（2）若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？思路导航：本题共两问，关键是正确解答第一
10、问，可设境外投资合作项目为x个，用x的代数式表示出省外境内的投资合作项目个数，二者之和是348，据此列方程即可。答案：（1）设境外投资合作项目个数为x个，根据题意得：2x（348x）51，解得：x133，所以省外境内投资合作项目为：348133215（个）答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个。（2）因为境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，所以湖南省共引进资金：13362157.52410.5（亿元）答：东道主湖南省共引进资金2410.5亿元。点评：本题是一道简单的综合应用问题，既有一元一次方程的应用，又有数的运算，这类题在最近几年的
11、中考试题中比较常见。例题4 有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原来有多少只鸽子和多少个鸽笼？思路导航：题中含有两个未知量原来的鸽子数量和鸽笼数量，不妨设其中的一个量为x，那么就可根据题意用x的代数式来表示另一个未知量，然后找等量关系列方程。答案：解法一：设原来有鸽子x只，根据题意鸽笼数可表示为或，所以鸽笼有，解得x27。所以鸽笼有4（个）。即原有鸽子27只，鸽笼4个。解法二：设鸽笼有y个，则原来鸽子数可表示为6y3或8y5，则有6y38y5，解得y4。所以原来有鸽子6y364327（只）。点评：解
12、题中我们可以发现，题中的两个未知量关系比较密切，且能用其中的一个未知量表示另一个未知量。两种方法中都用所设的未知量来表示另一个未知量，并且用两种不同的方式来表示同一个未知量，从而找到等量关系列出方程。（云南中考）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？命题意图：考查用一元一次方程分析和解决实际问题。解答：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校的矿泉水件数是2x400，依题意得方程：（2x400）x2000，解得：x800，2x4001200。所以，该企业捐给甲校矿泉水120
13、0件，捐给乙校矿泉水800件。点拨：该应用题的相等关系类型是：部分部分总体，这是一类比较简单的应用题。在中考试题中单纯考查一元一次方程的应用题大多如此，难度不大。分母是小数时，在化为整数时容易与去分母混淆当分母是小数时，一般是利用分数的基本性质，将分子、分母都扩大适当的倍数，使分母变为整数，这时，容易与去分母混淆，错误地把方程两边都乘适当的倍数，从而导致错误。例如：解方程：2.57.5。在化小数为整数时，和分别利用分数的基本性质，使分子、分母都乘以10，变为和，而方程左边的2.5和右边的7.5不应该乘以10。解含绝对值的一元一次方程解这类方程的关键是把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程。如
14、果只含有一个绝对值，那么根据绝对值的定义将其转化成一元一次方程即可；若含有多个绝对值，则需分类讨论。化去绝对值的方法可分为四步：（1）取0点令各绝对值等于0，分别求出未知数的值；（2）排序把求得的未知数的值从小到大排列（或从大到小也可）；（3）确定未知数的取值范围；（4）分别在各范围内化简绝对值，进而在这个范围内求方程的解。若求得的未知数的值在对应的范围内，此未知数的值是原方程的解；若求得的未知数的值不在对应的范围内，则此未知数的值就不是原方程的解，应舍去。如本讲知识点2的例1，解方程x3x1x1时，可分x3，3x1，x1三个x的取值范围进行讨论。第三章3.4实际问题与一元一次方程一、预习导学
15、1. 甲乙两城市相距600千米，小明乘特快客车需5小时到达，已知特快客车的时速比普通客车快40千米，普通客车的速度是多少？解：设普通客车每小时行x千米，则特快客车每小时行驶_千米，小明乘特快客车5小时所行路程的代数式是_，列出的方程为_，解方程x_。答：_。2. 某超市以每台1000元的价格购进一批彩电，每台标价1600元，出售时打八折，在此题中，每台彩电的进价是_元，标价是_元，售价是_元，利润是_元，利润率是_。3. 李红的妈妈2011年初存入银行一年定期存款2000元，年利率为2.5%，2012年初到期。请你帮李红的妈妈算一下：利息_元；本利和_元。4. A、B两地相距48km，甲、乙两
16、人分别从A、B相向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，x h后两人相遇，则可列方程为_。二、问题思考1. 如何分析实际问题中的数量关系？2. 用方程解决实际问题和用算术方法解决实际问题相比有什么优越性？3. 请你总结一下常见数学应用问题中的数量关系。（答题时间：60分钟）一、选择题1. 若的值比的值小1，则x的值为（ ）A. B. C. D. 2. 解方程4（x1）x2（x），步骤如下：（1）去括号，得4x4x2x1；（2）移项，得4xx2x14；（3）合并同类项，得5x5；（4）系数化为1,得x1。经检验知x1不是原方程的解，证明解题的四个步骤中有错，其中做错的一步是（ ）A.
17、 （1）B. （2）C. （3）D. （4）3. 解方程（x1）1（x1）4的最佳方法是（ ）A. 去括号B. 去分母C. 移项合并（x1）D. 以上方法都可以4. 在下面的方程变形中：2x813变形为2x138；1变形为2x63x36；xx变形为6x10x5；x2（x1）1变形为3x10（x1）1。正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 教室里有40套课桌椅，总价值2800元，每把椅子20元，则每张桌子多少元？（一把椅子配一张课桌），设每张桌子x元，可列方程为（ ）A. 40x202800B. 40x40202800C. 40（x20）2800D. 40x20（40x）2800*6. 规
18、定adbc，如，则x的值是（ ）A. 60B. 4.8C. 24D. 12*7. 下列方程去分母后，所得结果错误的有（ ）方程1，去分母，得2（2x1）10x16；方程（3x7）2，去分母，得21（3x7）14；方程1，去分母，得2（2x1）3（5x1）1；方程0，去分母，得4（2x3）（9x5）8。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*8. 某班在一次美化校园的劳动实践中，先安排35人去打扫卫生，15人去拔草，后又增派10人去支援他们，结果打扫卫生的人数是拔草人数的2倍，设支援打扫卫生的人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）A. 35x210B. 35x2（1510x）C. 35x2（1
19、5x）D. 35x215*9. 一艘轮船在A、B两码头间航行，从A到B顺流需4小时，已知A、B间的路程是80千米，水流速度是2千米/小时，则从B返回A需要（ ）A. 3.5小时B. 4小时C. 4.5小时D. 5小时*10. 8个人用35天完成了某项工程的。此时，又增加6个人，那么要完成剩余的工程，还需要的天数是（ ）A. 18B. 35C. 40D. 60二、填空题11. 2a7和3a互为相反数，则a_。12. 某服装车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设有x人做上衣，则做裤子的人数为_人，根据题意，可列方程为_，解得x_。
20、*13. 地震时，地震中心同时向各个方向传播出纵波和横波，纵波的传播速度是3.96千米/秒，横波的传播速度是2.58千米/秒。某次地震，地震检测点用地震仪接收到地震的纵波之后，隔了18.5秒钟，又接收到这次地震的横波，那么这次地震的地震中心距离地震检测点_千米（精确到个位）。*14. 两盒糖果共176块，从第二个盒子中取出16块放入第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块数比第二个盒子中糖果的块数的4倍多31块，那么第一个盒子中原来有糖果_块。三、解答题*15. 解方程：3x2x50。*16. 小明在解方程1去分母时，方程右边的（1）项没有乘3，因而求得的解是x2，试求a的值，并求出方程正确的解
21、。*17. 王老师利用假期带领团员同学到农村去搞社会调查，每张汽车票原价50元，甲车主说：“乘我的车，8折优惠。”乙车主说：“乘我的车学生9折，老师不买票。”王老师经过核算以后觉得两车收费一样多，请问王老师带了多少个学生？*18. 一个长方形（如图所示）恰好能分成六个正方形，其中最小的正方形A的面积是1cm2，求这个长方形的面积。1. B 解析：根据题意列出方程1，解得x。2. B 解析：（1）去括号，得4x4x2x1，（2）移项，得4xx2x14，（3）合并同类项，得x5，故选B。3. C 解析：注意到（x1）和（x1）可通过移项合并得（x1），比去括号和去分母简单，故选C。4. C 解析：
22、2x813应变形为2x138；1应变形为2x63x36；xx变形为6x10x5，正确；x2（x1）1应变形为3x10（x1）5。只有正确，故选C。5. B 解析：根据桌子和椅子的总价值为2800元列方程。6. D 解析：根据题目条件得28（2x）1（3x2）67，解得x12。7. D 解析：四个都不对，改正如下：方程1，去分母，得2（2x1）（10x1）6；方程（3x7）2，去分母，得3（3x7）14；方程1，去分母，得2（2x1）3（5x1）12；方程0，去分母，得4（2x3）（9x5）0。8. B 解析：如果设支援打扫卫生的人数是x人，那么支援拔草的人数是（10x）人，所以35x2（151
23、0x）。9. D 解析：设该轮船在静水中的速度为x千米/小时，则x2，解得x18，所以该轮船逆水航行的速度为18216（千米/时），5（小时）。所以从B返回A需要5小时。10. C 解析：因为8个人用35天完成了某项工程的，所以每个人的工作效率是835，设还需要x天完成，则x（86）（835）1,即x，解得x40。11. 解析：由题意可得（2a7）（3a）0，解得a。12. 54x，8x10（54x），3013. 137 解析：设地震中心距离地震检测点x千米，则18.5，解得x137。14. 131 解析：设第一个盒子中原来有糖果x块，则第二个盒子中原来有（176x）块，x164（176x16
24、）31，解得x131。15. 解：当x0时，原方程化为3x2x50，解得x5；当x0时，原方程化为3x2x50，解得x1（不符合题意，舍去）。所以原方程的解为x5。16. 解：根据小明的解法，2x1xa1，即xa，因为此时方程的解是x2，所以a2。当a2时，原方程为1，解这个方程得x0。所以a2，x0。17. 解：设王老师带了x名学生，50（1x）80%50x90%，解得x8。答：王老师带了8个学生。18. 解：设正方形E和F的边长为x cm，因为正方形A的面积为1cm2，所以其边长为1cm，所以正方形D的边长为（x1）cm，正方形C的边长为（x11）cm，正方形B的边长为（x111）cm。于是得方程：2x（x1）（x11）（x111），解得x4。所以这个长方形的长为2x（x1）3x113，宽为x（x111）2x311，所以其面积为1311143（cm2）。