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1、第六课时 解三角形应用举例（二）教学目标：进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.教学过程：.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角
2、形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.例题指导例1如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，试求AB的长.分析：如图所示，对于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由ACB，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在ACD内利用正弦定理求解，BC可在BCD内由正弦定理求解.解：在ACD中，已知CDa，ACD，ADC，由正弦定理得AC在BCD中，由正弦定理得BC在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB，所以用余弦定理.就可以求得AB评述：（1）要求学
3、生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.例2据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060在
4、SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB3002（30t）2230030tcos60若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|270，即SB22702化简整理得，t210t190解之得，5t5所以从现在起，经过5小时S岛开始受到影响，（5）小时后影响结束.持续时间：（5）（5）2小时.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时. 评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB270是否有解最终转化为关于t的一元二次
5、不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.练习：1.海中有一小岛B，周围38海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75东，航行8海里到C，望见岛B在北60东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 kmh速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约1.3小时.课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，
6、熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.课后作业课本P21习题 4，5，6.解三角形应用举例例1某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以9 n mileh的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mileh的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 例2如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处（1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里时的速度追截
7、走私船，此时走私船正以10海里时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 例3用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.例4如图所示，已知半圆的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.例5如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，试求AB的长.例6据气
8、象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.练习：1.海中有一小岛B，周围38海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75东，航行8海里到C，望见岛B在北60东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?2.直线AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 kmh速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.解三角形应用举例
9、1在ABC中，下列各式正确的是 （ ）A. B.asinCcsinBC.asin(AB)csinAD.c2a2b22abcos(AB) 2已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是 （ ）A.135 B.120 C.60 D.90 3海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B、C间的距离是 （ ）A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile 4如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.、a、bB.、aC.a、b、D.、 5某人以时速a km向东行走，此时正刮
10、着时速a km的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 . 6在ABC中，tanB1，tanC2，b100，则c . 7某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 8甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 . 9在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进10米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是 米. 10在ABC中，求证：.11欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB
11、45，CBA75，AB120 m，求河宽.（精确到0.01 m） 12甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？ 解三角形应用举例答案1C 2B 3D 4C 5东南 a 640 710 820，91510在ABC中，求证：.提示：左边()2()右边.11欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120 m，求河宽.（精确到0.01 m）解：由题意C180AB180457560在ABC中，由正弦定理
12、BC40SABCABBCsinBABhhBCsinB40602094.64河宽94.64米.12甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解：设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC120由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC(28t)281(20t)22920t()整理得128t260t270解得t (t舍去)故BC15（nmile），AC21( nmile) 由正弦定理sinBACBACarcsin故甲舰沿南偏东arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.