《浙江诗阳中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题2018051711122.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江诗阳中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题2018051711122.doc（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、浙江省东阳中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题一、选择题（每小题5分，共50分）1直线的倾斜角为A B C D2.在的展开式中，项的系数为A B C D35名学生站成一排，其中甲不能站在两端，乙要站在正中间，则不同的排法有A6种 B12种 C24种 D60种4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则。其中真命题的个数是A1 B2 C3 D45若是实数，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是7
2、.正方体中，E、F分别是棱AD、DC的中点，则异面直线EF与所成的角是 （ ）A B C D8. 过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ, F1是左焦点, 若PF1Q=900, 则双曲线的离心率为 A B 1+ C 2+ D 3-9过x轴上一点P，向圆C：作切线，切点分别为A、B，则面积的最大值是 A B C D10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若球心O恰好在线段DA上，且DC=，则这个球的表面积为A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共28分）11过点且与原点距离最大的直线的方程是_.12已知椭圆的两焦点为，上顶点为B，则的外接圆方程是_.13函数（m为常数）在上有最
3、大值为3，那么此函数在上的最小值是_.14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交双曲线的右支于、两点，若，则的周长为15.把这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，则这样的数列共有_个.16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .17. 设圆M的半径为，圆心在直线上，若M上不存在点N，使，其中，则圆心M横坐标的取值范围是_.三、解答题（共72分）18.在长方体中，分别是的中点，过三点的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为（1）求证：平面；（2）求的长。19.给定抛物线：，过点斜率为的直
4、线与交于，两点（1）设线段的中点在直线上，求的值；（2）设，当时，求的长。20. 设，函数（1）若时，求曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围。21. 如图，在四棱锥PABCD中，G为AC与BD的交点，平面PAD，为正三角形，DC/AB，DA=DC=2AB,（1）若点E为棱PA上一点，且GE/平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平面PDC；（3）求平面PBD与平面PCD所成角的大小。22.已知椭圆：，椭圆的焦点是椭圆的长轴的顶点，且有相同的离心率，（1）求椭圆的方程；（2）若点M、N在椭圆上，点P在椭圆上，设直线的斜率分别为，当时，求证：直线的斜率的平方为定值；当时，是否存
5、在常数，使得成立？若是，求出该定值；若不是，说明理由。答案一、选择题：1解：C。2. 解：B。因为二项展开式的通项为，令，得，则项的系数为。3解：B。4解：B。正确，错误。5解：A。6. 解：C。由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1。由其体积是可知该几何体的底面积是。由图知A的面积是1，B的面积是 ，C的面积是，D的面积是，故选C.7. 解：B。 8. 解：B。 9解：A。10. 解：C.由可知。取AC 中点M，则OM为的中位线。又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.二、填空题：11解：12解：13解：14. 解：15. 解：30个。从中
6、选出一个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个；从中选出两个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个，因此满足条件的数列总个数为个。另解：先确定6，有1种方法；然后排5，可在6的左侧，也可在6的右侧，有2种方法；再排4，可在以上排列的左侧，也可在以上排列的右侧，有2种方法；，因此有种。这样数列中有一个全排在6的左侧的，有一个全排在6的右侧，因此符合条件的数列有个。16. 解：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.17. 解：或
7、。设，则，问题转化为两圆没有公共点，所以或，即或，解得或。三、解答题：18.解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，又面面，则平面 （2），所以19.解：（1）直线MN的方程为，代入，化简整理得，因为，解得（2）因为，得，又因为，且，解得，从而得，从而有。20.解：（1）函数的定义域为， 当时，则切线方程为，即（2）若时，则，是区间上的增函数，所以，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的最大值为。由于无零点，须使，解得。综上可知，所求实数的取值范围是21. 解：（1）因为GE/
8、平面PBC，所以GE/PC，故有AG：GCAE：EP。又因为DC/AB，DC2AB，所以AG：GCAB：DC1：2，故有（2）分别取PD、PC的中点M、F，连结AM、FB、MF，则MF/DC，MF/DC。又因为DC/AB，2ABDC，所以MF/AB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM/BF。在正三角形PAD中，M为PD的中点，所以AMPD。因为平面PAD，所以ABAM。又因为DC/AB,所以DCAM。因为BF/AM，所以BFPD，BFCD，所以BF平面PCD，故有平面PBC平面PDC。（3）由上易得是平面PBD与平面PCD的平面角。不妨设，则，。在中，即平面PBD与平面PCD所成
9、角的大小是。另解：（1）同上解法。（2）取AD中点O，连PO，因为平面PAD，得。又因为为正三角形，有，从而有平面ABCD。以DA为x轴、AD的中垂线为y轴、PG为z轴建立坐标系，不妨设，得，可得平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为。因为，得，即平面PBC平面PDC。（3）可求平面PBD的法向量为，所以平面PBD与平面PCD所成角的大小的余弦值是，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。22.解：（1）（2）设直线MN的方程为，代入椭圆整理得，所以，解得设，则，代入可得，所以，。答案一、选择题：1直线的倾斜角为A B C D解：C。2.在的展开式中，项的系数为A B C D解：B。因为二
10、项展开式的通项为，令，得，则项的系数为。35名学生站成一排，其中甲不能站在两端，乙要站在正中间，则不同的排法有A6种 B12种 C24种 D60种解：B。4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则。其中真命题的个数是A1 B2 C3 D4解：B。正确，错误。5若是实数，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解：A。6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 解：C。由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1。由其体积是可知该几何体
11、的底面积是。由图知A的面积是1，B的面积是 ，C的面积是，D的面积是，故选C.7.正方体中，E、F分别是棱AD、DC的中点，则异面直线EF与所成的角是 （ ）A B C D解：B。8. 过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ, F1是左焦点, 若PF1Q=900, 则双曲线的离心率为 A B 1+ C 2+ D 3- 解：B。9过x轴上一点P，向圆C：作切线，切点分别为A、B，则面积的最大值是 （ ）A B C D解：A。10.已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若球心O恰好在线段DA上，且DC=，则这个球的表面积为A. B. C. D. 解：C.由可知。取AC 中点M，则OM为的中位线
12、。又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.二、填空题：11过点且与原点距离最大的直线的方程是_.解：12已知椭圆的两焦点为，上顶点为B，则的外接圆方程是_.解：13函数（m为常数）在上有最大值为3，那么此函数在上的最小值是_.解：14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交双曲线的右支于、两点，若，则的周长为解：15.把这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减，则这样的数列共有_个。解：30个。从中选出一个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个；从中选出两个数排在6的右侧，其余排在6的左侧，得到先增后减的数列有个，
13、因此满足条件的数列总个数为个。另解：先确定6，有1种方法；然后排5，可在6的左侧，也可在6的右侧，有2种方法；再排4，可在以上排列的左侧，也可在以上排列的右侧，有2种方法；，因此有种。这样数列中有一个全排在6的左侧的，有一个全排在6的右侧，因此符合条件的数列有个。16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .解：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.17. 设圆M的半径为，圆心在直线上，若M上不存在点N，使，其中，则
14、圆心M横坐标的取值范围是_.解：或。设，则，问题转化为两圆没有公共点，所以或，即或，解得或。三、解答题：18.在长方体中，分别是的中点，过三点的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为（1）求证：平面；（2）求的长。【解析】（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，又面面，则平面 （2），19.给定抛物线：，过点斜率为的直线与交于，两点（1）设线段的中点在直线上，求的值；（2）设，当时，求的长。解：（1）直线MN的方程为，代入，化简整理得，因为，解得（2）因为，得，又因为，且，解得，从而得，从而有。20. 设，函数（1）若时，求
15、曲线在处的切线方程；（2）若无零点，求实数的取值范围。解：（1）函数的定义域为， 当时，则切线方程为，即（2）若时，则，是区间上的增函数，所以，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的最大值为。由于无零点，须使，解得。综上可知，所求实数的取值范围是21. 如图，在四棱锥PABCD中，G为AC与BD的交点，平面PAD，为正三角形，DC/AB，DA=DC=2AB,（1）若点E为棱PA上一点，且GE/平面PBC，求的值；（2）求证：平面PBC平面PDC；（3）求平面PBD与平面PCD所成角的大小。解：（1）因为GE/平面PBC，
16、所以GE/PC，故有AG：GCAE：EP。又因为DC/AB，DC2AB，所以AG：GCAB：DC1：2，故有（2）分别取PD、PC的中点M、F，连结AM、FB、MF，则MF/DC，MF/DC。又因为DC/AB，2ABDC，所以MF/AB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，所以AM/BF。在正三角形PAD中，M为PD的中点，所以AMPD。因为平面PAD，所以ABAM。又因为DC/AB,所以DCAM。因为BF/AM，所以BFPD，BFCD，所以BF平面PCD，故有平面PBC平面PDC。（3）由上易得是平面PBD与平面PCD的平面角。不妨设，则，。在中，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。
17、另解：（1）同上解法。（2）取AD中点O，连PO，因为平面PAD，得。又因为为正三角形，有，从而有平面ABCD。以DA为x轴、AD的中垂线为y轴、PG为z轴建立坐标系，不妨设，得，可得平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为。因为，得，即平面PBC平面PDC。（3）可求平面PBD的法向量为，所以平面PBD与平面PCD所成角的大小的余弦值是，即平面PBD与平面PCD所成角的大小是。22.已知椭圆：，椭圆的焦点是椭圆的长轴的顶点，且有相同的离心率，（1）求椭圆的方程；（2）若点M、N在椭圆上，点P在椭圆上，设直线的斜率分别为，当时，求证：直线的斜率的平方为定值；当时，是否存在常数，使得成立？若是，求出该定值；若不是，说明理由。解：（1）（2）设直线MN的方程为，代入椭圆整理得，所以，解得设，则，代入可得，所以，。- 12 -