《2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练47专题研究2数学归纳法理2018051.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练47专题研究2数学归纳法理2018051.wps（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题组训练 4747 专题研究 2 2 数学归纳法 1 1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一个值 n0等于 2 ( ) A1 B2 C3 D0 答案 C 解析 边数最少的凸 n 边形是三角形 2(2017山东德州一模)用数学归纳法证明 12222n22n31，在验证 n1 时， 左边的式子为( ) A1 B12 C1222 D122223 答案 D 解析 当 n1 时，左边122223.故选 D. 1 1 1 127 3用数学归纳法证明不等式 1 (nN N*)成立，其初始值至少应取( ) 2 4 2n1 64 A7 B8 C9 D10 答案 B 1 1
2、1 1 1 2n 127 解析 1 ，整理得 2n128，解得 n7. 2 4 2n1 1 64 1 2 初始值至少应取 8. 1 1 1 4设 f(n)1 (nN N*)，那么 f(n1)f(n)等于( ) 2 3 3n1 1 1 1 A. B. 3n2 3n 3n1 1 1 1 1 1 C. D. 3n1 3n2 3n 3n1 3n2 答案 D 5用数学归纳法证明 34n152n1(nN N)能被 8 整除时，当 nk1 时，对于 34(k1)152(k 1)1 可变形为( ) A5634k125(34k152k1) B3434k15252k C34k152k1 D25(34k152k1)
3、 1 答案 A 解析 因为要使用归纳假设，必须将 34(k1)152(k1)1分解为归纳假设和能被 8 整除的两部 分所以应变形为 5634k125(34k152k1) 1 6若数列an的通项公式 an ，记 cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算 c1， （n1）2 c2，c3的值，推测 cn_ n2 答案 n1 1 3 解析 c12(1a1)2(1 ) ， 4 2 1 1 4 c22(1a1)(1a2)2(1 )(1 ) ， 4 9 3 1 1 1 5 c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1 )(1 )(1 ) ， 4 9 16 4 n2 故由归纳推理得 cn . n1 7设
4、数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：(Sn1)2anSn. (1)求 S1，S2，S3； (2)猜想 Sn的表达式并证明 1 2 3 n 答案 (1)S1 ，S2 ，S3 (2)Sn ，证明略 2 3 4 n1 1 解析 (1)由(S11)2S12，得 S1 ； 2 2 由(S21)2(S2S1)S2，得 S2 ； 3 3 由(S31)2(S3S2)S3，得 S3 . 4 n (2)猜想：Sn . n1 证明：当 n1 时，显然成立； k 假设当 nk(k1 且 kN N* *)时，Sk 成立 k1 1 1 k1 则当 nk1 时，由(Sk11)2ak1Sk1，得 Sk
5、1 . 2Sk k k2 2 k1 从而 nk1 时，猜想也成立 综合得结论成立 8已知函数 f(x)xsinx，数列an满足：00， 所以 f(x)在(0，1)上是增函数 又 f(x)在0，1上连续， 从而 f(0)0，所以 akak12(n1)n. 1 1 1 故 a1b1 a2b2 anbn 1 1 1 1 1 ( ) 6 2 2 3 3 4 n（n1） 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 6 2 2 3 3 4 n n1 1 1 1 1 1 1 5 ( ) . 6 2 2 n1 6 4 12 1 1 1 13 1用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 nk 推导 nk1 时， n1
6、n2 nn 24 不等式的左边增加的式子是_ 1 答案 （2k1）（2k2） 1 1 1 1 解 析 不 等 式 的 左 边 增 加 的 式 子 是 ， 故 填 2k1 2k2 k1 （2k1）（2k2） 1 . （2k1）（2k2） 1 1 1 n 2用数学归纳法证明：对任意的 nN N*， . 1 3 3 5 （2n1）（2n1） 2n1 答案 略 1 1 1 1 解析 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，所以等式成立 1 3 3 2 11 3 5 (2)假设当 nk(kN N*且 k1)时等式成立，即有 1 1 1 k ， 1 3 3 5 （2k1）（2k1） 2k1 则当 n
7、k1 时， 1 1 1 1 1 3 3 5 （2k1）（2k1） （2k1）（2k3） k 1 k（2k3）1 2k1 （2k1）（2k3） （2k1）（2k3） 2k23k1 k1 k1 ， （2k1）（2k3） 2k3 2（k1）1 所以当 nk1 时，等式也成立 由(1)(2)可知，对一切 nN N*等式都成立 1 3(2017湖北宜昌一中模拟)已知函数 f(x) x3x，数列an满足条件：a11，an1f 3 1 1 1 1 (an1)试比较 与 1 的大小，并说明理由 1a1 1a2 1a3 1an 1 1 1 1 答案 1 1a1 1a2 1a3 1an 解析 f(x)x21，an
8、1f(an1)， an1(an1)21. 函数 g(x)(x1)21x22x 在区间1， )上单调递增， 于是由 a11， 得 a2(a11)21221， 进而得 a3(a21)21241231. 由此猜想：an2n1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当 n1 时，a12111，结论成立； 假设 nk(k1 且 kN N*)时结论成立， 即 ak2k1， 则当 nk1 时， 由 g(x)(x1)21 在区间1， )上单调递增知， ak1(ak1)2122k12k11， 即 nk1 时，结论也成立 由、知，对任意 nN N*， 都有 an2n1. 即 1an2n， 6 1 1 . 1an 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )n1. 1a1 1a2 1a3 1an 2 22 23 2n 2 7