《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练65双曲线一理20180515466.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练65双曲线一理20180515466.wps（28页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题组训练 6565 双曲线（一） x2 y2 1双曲线 1(00)的离心率为 2，则 a( ) a2 3 A2 B. 6 2 5 C. D1 2 答案 D x2 y2 3 解析 因为双曲线的方程为 1，所以 e21 4，因此 a21，a1.选 D. a2 3 a2 x2 y2 4(2017北京西城期末)mn0 和 m0，n0时，方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线；当 m0，n0，n0，b0)上一点，F1，F2分别是双 a2 b2 曲线的左、右焦点，已知 PF1PF2，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) Ay 2x By 3x Cy2x Dy4x 答案 C 解析 由双
2、曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|，得|PF2|2a，|PF1|4a. 在 RtPF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，4c216a24a2，即 c25a2，则 b24a2，即 b x2 y2 2a，则双曲线 1 的一条渐近线方程为 y2x.故选 C. a2 b2 7 2 21 7(2018安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为 ，且其顶点到其渐近线的距离为 ， 2 7 则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 3 4 4 3 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 C. 1 或 1 D. 1 或 1 3 4 3 4
3、4 3 4 3 答案 D x2 y2 c 解析 当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)双曲线的离心率为 e a2 b2 a a2b2 b2 7 1 ， a2 a2 2 b 3 b 3 ，渐近线方程为 y x x. a 2 a 2 3 | a| 2 2 21 由题意，顶点 到渐近线的距离为 ，解得 a2， 3 7 1 4 x2 y2 b 3，双曲线的方程为 1. 4 3 2 y2 x2 c b2 当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)双曲线的离心率为 e 1 a2 b2 a a2 7 ， 2 b 3 a 2 3 |a| ，渐近线方程为 y x x，由题意可知：顶点
4、到渐近线的距离为 a 2 b 3 4 1 3 2 21 ，解得 a2，b 3， 7 y2 x2 双曲线的方程为 1. 4 3 x2 y2 y2 x2 综上可知，双曲线的方程为 1 或 1.故选 D. 4 3 4 3 x2 y2 8已知点 F1，F2分别是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直 a2 b2 线与双曲线交于 A，B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A(1， 3) B( 3，2 2) C(1 2， ) D(1，1 2) 答案 D b2 a c2a2 1 解析 依题意，00，n0)的离心率为 2，则椭圆 mx2ny21 的
5、离心率为( ) 1 A. B. 2 6 3 3 2 3 C. D. 3 3 答案 B 1 1 m n 解 析 由已知双曲线的离心率为 2，得 2. 1 m 1 1 解得 m3n.又 m0，n0，mn，即 . n m y2 x2 故由椭圆 mx2ny21，得 1. 1 1 n m 3 1 1 1 1 n m n 3n 6 所求椭圆的离心率为 e . 1 1 3 n n x2 y2 5 10已知双曲线的方程为 1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 c(c a2 b2 3 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) 5 3 A. B. 2 2 3 5 2 C. D. 5 3 答
6、案 B x2 y2 x y 解析 双曲线 1 的渐近线为 0，焦点 A(c，0)到直线 bxay0 的距离为 a2 b2 a b bc a2b2 5 5 9 3 c，则 c2a2 c2，得 e2 ，e ，故选 B. 3 9 4 2 x2 y2 11(2018成都市高三二诊)设双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2 以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 OF1(O 为坐标原点)为直径的圆与 PF2相 切，则双曲线 C 的离心率为( ) 36 2 A. 2 B. 4 36 2 C. 3 D. 7 答案 D 解析 如图，在圆 O 中，F1F2为
7、直径，P 是圆 O 上一点，所以 PF1PF2， c 设 以 OF1为直径的圆的圆心为 M，且 圆 M 与直线 PF2相切于点 Q，则 M( ， 0) 2 c 3c |MQ| |MF2| 2 2 2c MQPF2，所以 PF1MQ，所以 ，即 ，可得|PF1| ， |PF1| |F1F2| |PF1| 2c 3 2c 4c2 2c 所以|PF2| 2a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以 ( 2a)24c2，即 7e26e90， 3 9 3 36 2 36 2 解得 e ，e (舍去)故选 D. 7 7 x2 y2 12(2018贵阳市高三检测)双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线
8、将平面划分为“上、 a2 b2 下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范 围是( ) 4 5 5 A(1， ) B( ， ) 2 2 5 5 C(1， ) D( ， ) 4 4 答案 B x2 y2 b 解析 依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且“右”区域是不 a2 b2 a b y ，因此题中的双 b a a 2 y a b 5 曲线的离心率 e 1（ ）2( ， )，选 B. a 2 x2 y2 13已知曲线方程 1，若方程表示双曲线，则 的取值范围是_ 2 1 答案 1 x2 y2 解析 方程 1 表示双曲线，(2
9、)(1)0，解得 1. 2 1 x2 y2 14(2016北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为 a2 b2 ( 5，0)，则 a_；b_ 答案 1 2 b 解析 由题意知，渐近线方程为 y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知 2，由 c 5，c2 a a2b2，可得 b2，a1. 1 15(2015课标全国 ，文)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y x，则该双曲 2 线的标准方程为_ x2 答案 y21 4 1 1 解析 方法一：因为双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y x，故点(4， 3)在直线 y x 2 2 42 （ 3）2 1， x2
10、 y2 a2 b2 a2 ， a2 b 1 b2，) 的下方设该双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，所 以 解得 b1，)故 a 2 x2 双曲线 方程为 y21. 4 1 x2 方法二：因为双曲线的渐近线方程为 y x，故可设双曲线为 y2(0)，又双曲线 2 4 5 42 x2 过点(4， 3)，所以 ( 3)2，所以1，故双曲线方程为 y21. 4 4 x2 16(2018湖南长沙模拟)P 是双曲线 C： y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐 2 近线，P 在 l 上的射影为 Q，F1是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为_ 答案 2 21 解析 设右焦点
11、为 F2，|PF1|PF2|2 2， |PF1|PF2|2 2，|PF1|PQ|PF2|2 2|PQ|.当且仅当 Q，P，F2三点共线，且 P 在 F2，Q 之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为 F2到 l 的距离 1 由题意得 l 的方程为 y x，F2( 3，0)，F2到 l 的距离 d1，|PQ|PF1|的最小值为 2 2 21. 17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1，F2分别为左、右 焦点，双曲线的左支上有一点 P，F1PF2 ，且PF1F2的面积为 2 ，又双 3 3 曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程 3x2 y2 答案 1 2 2 x2 y2 解析
12、 设双曲线的方程为 1， a2 b2 F1(c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0) 在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 3 (|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|. 即 4c24a2|PF1|PF2|. 又SPF1F22 3， 1 | PF1|PF2|sin 2 . 3 2 3 |PF1|PF2|8. 4c24a28，即 b22. c 2 又e 2，a2 . a 3 3x2 y2 所求双曲线方程为 1. 2 2 y2 18(2018上海崇明一模)已知点 F1，F2为双曲线 C：x2 1 的左、右焦点，过 F2作垂直 b2 于
13、x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF1F230. (1)求双曲线 C 的方程； 6 (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P2，求PP1PP2的 值 y2 2 答案 (1)x2 1 (2) 2 9 解析 (1)设 F2，M 的坐标分别为( 1b2，0)，( 1b2，y0)(y00)， y02 因为点 M 在双曲线 C 上，所以 1b2 1，则 y0b2， b2 所以|MF2|b2. 在 RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2. 由双曲线的定义可知：|MF1|MF2|b22， y2 故双 曲线 C 的
14、方程为 x2 1. 2 (2)由条件可知：两条渐近线分别为 l1： 2xy0，l2： 2xy0. 1 设双曲线 C 上的点 P(x0，y0)两条渐近线的夹角为 ，由题意知 cos .则点 P 到两条渐近 3 | 2x0y0| | 2x0y0| 线的距离分别为|PP1| ，|PP2| . 3 3 y2 因为 P(x0，y0)在双曲线 C：x2 1 上，所以 2x02y022. 2 | 2x0y0| | 2x0y0| |2x02y02| 1 2 所以PP1PP2 cos . 3 3 3 3 9 x2 y2 5 1(2015广东，理)已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5，0)
15、，则双 a2 b2 4 曲线 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 4 3 9 16 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 16 9 3 4 答案 C 解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5，0)，所以 c5. c 5 因为离心率 e ，所以 a4. a 4 又 a2b2c2，所以 b29. x2 y2 故双曲线 C 的方程为 1. 16 9 x2 y2 2若双曲线 1 的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) a2 b2 7 Ay2x By 2x 1 2 Cy x Dy x 2 2 答案 B b 解析 由离心率为 3，可知 c 3a，b 2a.渐近线方程为
16、y x 2x，故选 B. a x2 y2 3(2015天津，文)已知双曲线 1(a0，b0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐 a2 b2 近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 9 13 13 9 x2 y2 C. y21 Dx2 1 3 3 答案 D b 解析 双曲线的一条渐近线方程为 y x，即 bxay0. a c2a2b2， c2， 2b 由题意，得 3，)解得 a21，b23， b2a2 y2 从而 双曲线的方程为 x2 1. 3 x2 y2 4设 F1，F2分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一
17、点 P 使得|PF1| a2 b2 9 |PF2|3b，|PF1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为( ) 4 4 5 A. B. 3 3 9 C. D3 4 答案 B 解析 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2 (|PF1|PF2|)29b24a2，即 4|PF1|PF2|9b24a2.又 4|PF1|PF2|9ab，因此 9b2 b 2 9b 3b 3b b 4 b 1 4a29ab，即 9( 40，则 0，解得 ，则双曲线 a ) a ( 1)( 4) 3( 舍去) a a a a 3 b 2 5 的离心率 e 1(a ) .
18、 3 3 5(2015广东改编)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心率等于 ，则 C 的 2 方程是( ) 8 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 4 5 4 5 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 2 5 2 5 答案 B 解析 由曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，知 c3. 3 c 3 由离心率 e ，知 ，则 a2. 2 a 2 故 b2c2a2945. x2 y2 所以双曲线 C 的方程为 1. 4 5 x2 y2 6(2016天津)已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 4 b2 圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，
19、C，D 四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方 程为( ) x2 3y2 x2 4y2 A. 1 B. 1 4 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 4 4 4 12 答案 D b 解 析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为 y x， 2 b 4 2b 圆的方程为x2y24，不妨设交点A 在第一象限，由y x，x2y24 得 xA ，yA ， 2 4b2 4b2 32b x2 y2 故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 2b，解得 b212，故所求的双曲线方程为 1， 4b2 4 12 选 D. x2 y2 7(2017邯郸
20、调研)已知 F 为双曲线 1(a0，b0)的左焦点，c 为双曲线的半焦距， a2 b2 定点 G(0，c)，若双曲线上存在一点 P 满足|PF|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A( 2， ) B(1， 2) C 3， ) D(1， 3) 答案 A 解析 若双曲线上存在点 P 满足|PF|PG|，则必须满足 FG的中垂线与双曲线有交点，则 P 是线段 FG 中垂线与双曲线的交点，因为直线 FG的方程为 yxc，所以线段 FG 中垂线的方 b b b b2 程为 yx，又双曲线的渐近线方程为 y x，则 1，所以 e 1 2， a a a a2 所以双曲线的离心率的取值范围为( 2，
21、) 9 x2 y2 8(2018辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线 M： 1(2m0b，0)的 a2 b2 左、右两个焦点若直线 yx 与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2为 矩形，则双曲线的离心率为( ) A2 2 B2 6 C. 2 2 D. 2 6 答案 C x2 y2 a2b2 a2b2 解析 将 yx 代入 1，可得 x .由矩形的对角线长相等，得 2 a2 b2 b2a2 b2a2 c，2a2b2(b2a2)c2，2a2(c2a2)(c22a2)c2，2(e21)e42e2，e44e22 0，又e1，e22 2，e 2 2.故选 C. x2 y2 10(201
22、8河南八市重点高中模拟)已知 F1，F2分别是双曲线 1(b0)的左、右焦点，P 4 b2 为双曲线上的一点，若F1PF2120，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的 斜率是( ) 5 3 3 5 A B 4 4 5 3 3 5 C D 2 2 答案 D mn4 解析 不妨设 P 点在第一象限，|PF1|m，|PF2|n，则由已知得所 mn 22nc22mmn（2c）2，) 以 c29c140，解得 c7 或 c2(舍去)，由 b2c2a2得 b3 5，则双曲线的渐近线的 3 5 斜率是 ，故选 D. 2 x2 y2 11(2018天津一中模拟)已知双曲线 1(a0，b0)的一条
23、渐近线平行于直线 l：x2y a2 b2 10 50，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 20 5 5 20 3x2 3y2 3x2 3y2 C. 1 D. 1 25 100 100 25 答案 A x2 y2 解析 因为双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：x2y50，且双曲线 a2 b2 b 1 ， a2 5， x2 y2 a 2 的一个焦点在直线 l 上，所以得 所以双曲线的方程为 1. a2b2c2，)b 5， ) c5， 20 5 x2 y2 12(2018兰州市高考诊断)已知 F1，F2为双曲线 C：
24、1(a0，b0)的左、右焦点， a2 b2 点 P 为双曲线 C 右支上一点，直线 PF1与圆 x2y2a2相切，且|PF2|F1F2|，则双曲线 C 的 离心率为( ) 10 4 A. B. 3 3 5 C. D2 3 答案 C 1 解析 设直线PF1与圆相切于点M，|PF2|F1F2|，PF1F2为等腰三角形，|F1M| |PF1|， 4 1 在 RtF1MO(O 为坐标原点)中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，|F1M|b |PF1|，又|PF1| 4 c 5 |PF2|2a2c2a，c2a2b2，故由得，e .故选 C. a 3 x2 y2 13(2018福建漳州一中期中)已知双
25、曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2 若双曲线右支上存在一点 P，使得 F2关于直线 PF1的对称点恰在 y 轴上，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( ) 2 3 2 3 A1 3 3 Ce 3 D10，即有 3b23c23a2a2，即 c a，则有 e .故 3 a 3 选 B. x2 y2 14(2016课标全国 )已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 m2n 3m2n 为 4，则 n 的取值范围是( ) A(1，3) B(1， 3) C(0，3) D(0， 3) 答案 A 解析 由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的离心率为
26、 ，则 C 的渐近线方程为 a2 b2 2 ( ) 1 1 Ay x By x 4 3 1 Cy x Dyx 2 答案 C c 5 c2 a2b2 5 解析 e ，e2 . a 2 a2 a2 4 b 1 1 a24b2， .渐近线方程为 y x. a 2 2 x2 y2 17(2018山东滕州月考)已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若双曲线的左 25 9 支上有一点 M 到右焦点 F2的距离为 18，N 是 MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) 2 A. B1 3 C2 D4 答案 D 12 x2 y2 解析 由双曲线 1，知 a5，由双曲线定义|MF2|MF1|
27、2a10，得|MF1|8，|NO| 25 9 1 |MF1|4. 2 x2 y2 18(2018湖南六校联考)已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，以 F1F2 a2 b2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 16 9 3 4 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 9 16 4 3 答案 C 解析 由已知可得交点(3，4)到原点 O 的距离为圆的半径，则半径 r 32425，故 c5，a2 b b225，又双曲线的一条渐近线 y x 过点(3，4)，故 3b4a，可解得 b4，a3，故
28、选 C. a x2 y2 19(2018杭州学军中学模拟)过双曲线 C1： 1(a0，b0)的左焦点 F 作圆 C2：x2y2 a2 b2 a2的切线，设切点为 M，延长 FM交双曲线 C1于点 N.若点 M 为线段 FN 的中点，则双曲线 C1 的离心率为( ) A. 5 B. 5 2 C. 51 D. 51 2 答案 A 解析 设双曲线 C1的右焦点为 F1.根据题 意， 得|FN|2b，|F1N|2a.根据双曲线的定义得|FN| |F1N|2ab2a，则 e 5. 20(2018辽宁五校协作体月考)已知 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上 |PF1|2 的任意一点，若
29、 的最小值为 8a，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) |PF2| A(1， ) B(1，2 C(1， 3 D(1，3 答案 D 解析 设|PF2|m(mca)， 则根据双曲线的定义，得|PF1|2am. |PF1|2 （2am）2 4a2 所以 4am8a，当且仅当 m2a 时等号成立所以 ca2a，解 |PF2| m m 得 e3，所以 10，b0)的两条渐近 a2b2 a2 b2 线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为_ 答案 2 2ab bc c 解析 由已知可得 ，c2a，e 2. a2b2 a2b2 a x2 y2 24(2015山东，文)过双曲线 C： 1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 a2 b2 线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_ 答案 2 3 x2 y2 1， a2 b2 b a2c2 a2c2 c a（xc），) 2c 2c a 解析 设直线方程为 y (xc)，由 得 x ，由 2a，e ，解 b y a 得 e2 3(e2 3 舍去) 14