《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练64椭圆二理20180515465.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练64椭圆二理20180515465.wps（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题组训练 6464 椭圆（二） x2 y2 1已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，若 AB a2 b2 的中点为 M(1，1)，则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 45 36 36 27 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 27 18 18 9 答案 D 01 1 b2 b2 1 解析 kAB ，kOM1，由 kABkOM ，得 ，a22b2.c3，a218，b2 31 2 a2 a2 2 x2 y2 9，椭圆 E 的方程为 1. 18 9 y2 1 1 2(2018南昌二模)已知椭圆： x21
2、，过点 P( ， )的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且 9 2 2 弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB的方程为( ) A9xy40 B9xy50 C2xy20 Dxy50 答案 B y12 x121， y2 9 9x221，) 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆 x21 上，所以 两式相减 y22 9 y12y22 （y1y2）（y1y2） 1 得 x12x220，得 (x1x2)(x1x2)0，又弦 AB被点 P( ， 9 9 2 1 y1y2 y1y2 )平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得 x1x20，得 9，即 2 9 x1x2 1
3、1 直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y 9(x )，即 9xy50. 2 2 x2 y2 3椭圆 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是( ) 16 4 A3 B. 11 C2 2 D. 10 答案 D x2 y2 解析 设椭圆 1 上的点 P(4cos，2sin)，则 点 P 到直线 x2y 20 的距离为 d 16 4 1 |4 2sin（ ） 2| |4cos4sin 2| 4 |4 2 2| ，dmax . 10 5 5 5 x2 y2 4(2018广东梅州阶段测评)已知椭圆 E： 1 的一个顶点 C(0，2)，直线 l 与椭圆 E 5 4 交于 A，B 两点，
4、若 E 的左焦点 F1为ABC 的重心，则直线 l 的方程为( ) A6x5y140 B6x5y140 C6x5y140 D6x5y140 答案 B 解析 由题意知 F1(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x203， x1x23， 则y 1y220， )y1y22. ) 3 设 M 为 AB 的中点，则 M( ，1) 2 x12 y12 1， 5 4 （x1x2）（x1x2） （y1y2）（y1y2） 由1，)作差得 0， x22 y22 5 4 5 4 y1y2 6 将代入上式得 . x1x2 5 6 6 3 即 k ，由点斜式得，直线方程为 y1 (x )，即 6x5
5、y140. 5 5 2 x2 y2 5(2018广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2 过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为 C，若 SABC 3SBCF2，则椭圆的离心率为( ) 5 A. B. 5 3 3 10 3 3 C. D. 5 10 答案 A 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，将 xc 代入椭圆方程得 y b2 b2 b2 .设 A(c， )，C(x，y)，由 SABC3SBCF2，可得AF22F2C，即有(2c， )2(x a a a b2 b2 4
6、c2 b2 c，y)，即 2c2x2c， 2y，可得 x2c，y ，代入椭圆方程可得 1.由 a 2a a2 4a2 c 1 1 5 e ，b2a2c2，得 4e2 e21，解得 e ，故选 A. a 4 4 5 x2 y2 3 6已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 C 相 a2 b2 2 2 交于 A，B 两点若向量AF3FB，则 k( ) A1 B. 2 C. 3 D2 答案 B 3 解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)因为AF3FB，故 y13y2.因为 e ，设 a2t，c 2 3 t，bt，故 x24y24t20，直线 AB
7、 的方程为 xsy 3t.代入消去 x，所以(s24)y22 3 2 3st t2 2 3st t2 styt20，所以 y1y2 ，y1y2 ，2y2 ，3y22 ，解 s24 s24 s24 s24 1 1 得 s2 ，又 k ，则 k 2.故选 B. 2 s 7已知直线 l：yk(x2 2)与椭圆 x29y29 交于 A，B 两点，若|AB|2，则 k_ 答案 3 3 x2 解析 椭圆 x29y29 即椭圆 y21，所以椭圆的焦点坐标为(2 2，0)因为直线 yk(x 9 2 2)，所以直线过椭圆的左焦点 F(2 2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 yk(x 36
8、2k2 2 2)代入椭圆 x29y29，可得(19k2)x236 2k2x72k290，所以 x1x2 ，x1x2 19k2 72k29 6（1k2） ， 所 以 |AB| 1k2 （x1x2）24x1x2 ， 因 为 |AB| 2， 所 以 19k2 19k2 6（1k2） 3 2，所以 k . 19k2 3 x2 8直线 m 与椭圆 y21 交于 P1，P2两点，线段 P1P2的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k1 2 0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_ 1 答案 2 1 x 中解 析 由点差法可求出 k1 ， 2 y 中 y 中 1 1 k1 ，即 k1k2
9、. x 中 2 2 x2 y2 9(2018河北唐山期末)设 F1，F2为椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点，经过 F1的直 a2 b2 线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 是面积为 4 3 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为_ x2 y2 答案 1 9 6 b2 3 1 2b2 解析 由F2AB 是面积为 4 3 的等边三角形知 AB垂直 x 轴，得 2c， 2c a 3 2 a 3 x2 y2 4 3，a2b2c2，解得 a29，b26，c23.所以的椭圆方程为 1. 9 6 x2 y2 10椭圆 ： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y 3(xc
10、) a2 b2 与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案 31 解析 由直线 y 3(xc)知其倾斜角为 60， 由题意知MF1F260，则MF2F130，F1MF290. 故|MF1|c，|MF2| 3c. 又|MF1|MF2|2a，( 31)c2a. 2 即 e 31. 31 x2 y2 11已知椭圆 1(00.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为 4k2 2k N(x0，y0)，则 x1x2 ，y1y2 ，AB 的垂直平分线 NG的方程为 yy0 2k21 2k21 1 2k2 k2 k2 1 1 (xx0)令 y0，得 xGx0k
11、y0 .k0， k 2k21 2k21 2k21 2 4k22 1 1 b0)相交于 A，B 两 a2 b2 1 3 点，且 OAOB(O 为坐标原点)，若椭圆的离心率 e ， ，则 a 的最大值为_ 2 2 答案 10 2 4 yx1， 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2 y21，)得(a2b2)x22a2xa2a2b20， a2 b2 2a2 x1x2 ， a2b2 4a44(a2b2)(a2a2b2)0，可得 a2b21 且， ) a2a2b2 x1x2 a2b2 OAOB，OAOBx1x2y1y20，即 2x1x2(x1x2)10， 2（a2a2b2） 2a2 10，
12、整理得 a2b22a2b2，a2a2c22a2(a2c2)， a2b2 a2b2 2e2 1 2a2a2e22a2(a2a2e2)，2a2 1 ， 1e2 1e2 1 3 7 5 10 e ， ，2a2 ，5，即 amax . 2 2 3 2 2 x2 y2 14已知椭圆 C： 1，过椭圆 C 上一点 P(1， 2)作倾斜角互补的两条直线 PA，PB，分 2 4 别交椭圆 C 于 A，B 两点，求直线 AB的斜率 答案 2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设 PA的方程为 y 2k(x1)，代入椭圆方程化简得(k2 2)x2 2k(k 2)x k2 2 2k 2 0， 显 然
13、 1 和 x1是 这 个 方 程 的 两 解 因 此 x1 k22 2k2 2k24k2 2 k22 2k2 ，y1 ，由k 代替 x1，y1中的 k，得 x2 ，y2 k22 k22 k22 2k24k2 2 y2y1 ，所以 2. k22 x2x1 y2 15设 F1，F2分别是椭圆 E：x2 1(0b1)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 E 相交于 A， b2 B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 (1)求|AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求实数 b 的值 4 答案 (1) (2) 3 2 2 解析 (1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4， 4 又
14、2|AB|AF2|BF2|，得|AB| . 3 (2)l的方程为 yxc，其中 c 1b2. yxc， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组y2 1.) x2 b2 化简，得(1b2)x22cx12b20. 5 2c 12b2 则 x1x2 ，x1x2 . 1b2 1b2 因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB| 2|x2x1|. 4 即 2|x2x1|. 3 8 4（1b2） 4（12b2） 8b4 2 则 (x1x2)24x1x2 ，解得 b . 9 （1b2）2 1b2 （1b2）2 2 x2 y2 16(2018广东六校联盟二联)已知椭圆 1(ab0
15、)的左、右焦点分别为 F1(3，0)， a2 b2 F2(3，0)，直线 ykx与椭圆交于 A，B 两点 (1)若AF1F2的周长为 4 36，求椭圆的标准方程； 2 (2)若|k| ，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率 e 的取值范围 4 x2 y2 2 答案 (1) 1 (2) ，所以 120， 即 3b0)的顶点 B(0，b)引一条弦 BP，当 a 2b时，|BP|的最大 7 值为( ) b2 A. B. a2b2 a2 a2b2 a2 C. D. a2b2 b2 a2b2 答案 B a2 解 析 设 P(x， y)， 因 为 x2 a2 y2( bb0)，则椭圆在其上一
16、点 A(x0，y0) a2 b2 x0x y0y x2 y2 处的切线方程为 1.试运用该性质解决以下问题，椭圆 C1： 1(ab0)，其焦 a2 b2 a2 b2 2 距为 2，且过点(1， )，点 B 为 C1在第一象限中的任意一点，过 B 作 C1的切线 l，l 分别与 x 2 轴和 y 轴的正半轴交于 C，D 两点，则OCD 面积的最小值为( ) 2 A. B. 2 2 C. 3 D2 答案 B 2 1 1 解析 由题意可得 2c2，即 c1，a2b21，将点(1， )代入椭圆方程，可得 1， 2 a2 2b2 8 x2 解得 a 2，b1，即椭圆的方程为 y21，设 B(x2，y2)
17、，则椭圆 C1在点 B 处的切线方程 2 x2 1 2 1 1 2 1 为 xy2y1，令 x0，得 yD ，令 y0，可得 xC ，所以 SOCD ，又 2 y2 x2 2 y2 x2 x2y2 x22 y22 x22 1 2 x2 y2 点 B 为椭圆在第一象限上的点，所以 x20，y20， y221，即有 2 2 x2y2 x2y2 2y2 x2 x2 y2 x22 1 2 2，即 SOCD 2，当且仅当 y22 ，即点 B 的坐标为(1， )时，OCD 面积 2y2 x2 2 2 2 取得最小值 2，故选 B. x2 y2 2 4已知椭圆 C： 1(ab0)的一个顶点 A(2，0)，离
18、心率为 ，直线 yk(x1)与椭圆 a2 b2 2 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； 10 (2)当AMN 的面积为 时，求实数 k 的值 3 x2 y2 答案 (1) 1 (2)k1 4 2 c 2 解析 (1)a2，e ，c 2，b 2. a 2 x2 y2 椭圆 C： 1. 4 2 yk（x1）， (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由y2 消 y，得(12k2)x24k2x2k240. x2 1， ) 4 2 直线 yk(x1)恒过椭圆内一点(1，0)， 0恒成立 4k2 2k24 由根与系数的关系，得 x1x2 ，x1x2 . 12k2 12k2
19、1 1 SAMN 1|y1y2| |kx1kx2| 2 2 |k| |k| 1624k2 10 （x1x2）24x1x2 . 2 2 12k2 3 即 7k42k250，解得 k1. x2 y2 1 5(2018河北保定期末)已知椭圆 C： 1(ab0)的右焦点为(1，0)，离心率为 . a2 b2 2 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 P(0，3)的直线 m 与 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的方程 x2 y2 3 3 答案 (1) 1 (2)y x3 或 y x3 4 3 2 2 9 x2 y2 解析 (1)椭圆 C： 1(ab0)的焦点在 x 轴
20、上，右焦点为(1，0)，则 c1， a2 b2 c 1 由椭圆的离心率 e ，得 b2a2c23， a 2 x2 y2 椭圆 C 的标准方程为 1. 4 3 (2)若直线 m 的斜率不存在，可得点 A 的坐标为(0， 3)，点 B 的坐标为(0， 3)，显然不满 足条件，故此时方程不存在 若直线 m 的斜率存在， 设其方程为 ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2 A 是 PB 的中点，x1 ， 2 y23 y1 ， 2 x12 y12 1， 4 3 x22 y22 1， 4 3 x22， x22， 联立，解得y 20 )或y20， )即 点 B 的坐标为(2，0)或(2，0)，
21、 3 3 直线 m 的斜率为 或 ，则 2 2 3 3 直线 m 的方程为 y x3 或 y x3. 2 2 3 6已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是 F1(0，1)，离心率为 . 3 (1)求椭圆的标准方程； (2)过 F1作直线交椭圆于 A，B 两点，F2是椭圆的另一个焦点，求 SABF2的取值范围 x2 y2 4 3 答案 (1) 1 (2)(0， 2 3 3 x2 y2 3 解析 (1)由条件可设椭圆方程为 1(ab0)，则有 c1，e ，b a2c2 2， b2 a2 3 x2 y2 所求椭圆的方程是 1. 2 3 (2)由条件设直线 AB的方程为 y1kx. 将 ykx1 代入椭
22、圆方程，得(2k23)x24kx40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，16k216(2k23)48(k21)0， 4k 4 x1x2 ，x1x2 . 2k23 2k23 10 1 SABF2 |F1F2|x1x2|x1x2|. 2 16k2 16 48（k21） (x1x2)2(x1x2)24x1x2 . （2k23）2 2k23 （2k23）2 （2t1）2 1 令 tk21，则 t1，设 g(t) 4t 4. t t 1 4t21 g(t)4 ， t2 t2 当 t1 时，g(t)0， g(t)在1， )上单调递增， 48 48 16 g(t)g(1)9，0b0)的左、右焦点 a
23、2 b2 1 分别为 F1，F2，且离心率是 ，过坐标原点 O 的任一直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且|NF2|MF2| 2 4. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且与圆 x2y21 相切 ()求证：m2k21； ()求OAOB 的最小值 x2 y2 5 答案 (1) 1 (2)()略 () 4 3 3 解析 (1)设 M(x，y)是椭圆上任一点，则 N(x，y)，|NF2|MF2|4， （xc）2y2 （xc）2（y）24，即 （xc）2y2 （xc）2y24， M(x，y)到点(c，0)，(c，0)的距离和为 4，2a4，
24、a2. 1 又椭圆 C 的离心率是 ，c1，b 3， 2 x2 y2 椭圆 C 的标准方程是 1. 4 3 (2)()证明：直线 l：ykxm 与圆 x2y21 相切，圆心(0，0)到直线 l 的距离等于 |m| 半径 1，即 1m2k21. 1k2 ykxm， ()设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由3x24y2120，)得 (34k2)x28kmx4m2120， 11 8km 4m212 x1 x2 ， x1x2 ， y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 34k2 34k2 3m212k2 . 34k2 4m212 3m212k2 7m212（k21 ） OAOBx1x2y1y2 . 34k2 34k2 34k2 5 5 5 （4k23） 5（k21） 4 4 5 4 m2k21，OA x1x2y1y2 ( ) OB 34k2 4k23 4 4k23 5 当 k20 时，OAOB 有最小值 . 3 12