《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练67抛物线一理20180515468.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练67抛物线一理20180515468.wps（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题组训练 6767 抛物线（一） 1 1抛物线 x2 y 的焦点到准线的距离是( ) 2 A2 B1 1 1 C. D. 2 4 答案 D 解析 抛物线标准方程 x22py(p0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又 p 1 ，故选 D. 4 2过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是( ) 9 4 9 4 Ay2 x 或 x2 y By2 x 或 x2 y 2 3 2 3 9 4 9 4 Cy2 x 或 x2 y Dy2 x 或 x2 y 2 3 2 3 答案 A 9 4 解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得 k ，m ，y2 2 3 9
2、 4 x 或 x2 y，选 A. 2 3 3若抛物线 yax2的焦点坐标是(0，1)，则 a( ) 1 A1 B. 2 1 C2 D. 4 答案 D 1 1 1 1 解析 因为抛物线的标准方程为 x2 y，所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a ，故选 a 4a 4a 4 D. 4若抛物线 y22px上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( ) Ay24x By26x Cy28x Dy210x 答案 C p 解析 抛物线 y22px，准线为 x . 2 p 点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，| 2|4. 2 1 p4，抛物线的标准方程为 y28x. 5已知点
3、A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( ) 4 A B1 3 3 1 C D 4 2 答案 C p 解析 因为点 A 在抛物线的准线上，所以 2，所以该抛物线的焦点 F(2，0)，所以 kAF 2 30 3 . 22 4 6(2018衡水中学调研卷)若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分 别为 10 和 6，则抛物线的方程为( ) Ay24x By236x Cy24x 或 y236x Dy28x 或 y232x 答案 C 解析 因为抛物线 y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设该点为 P，
4、则 p p P(x0，6)因为 P 到抛物线的焦点 F( ，0)的距离为 10，所以由抛物线的定义得 x0 10 2 2 .因为 P 在抛物线上，所以 362px0 .由解得 p2，x09 或 p18，x01，则抛物 线的方程为 y24x 或 y236x. 7(2016课标全国 )以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 4 解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A( ， p p 16 p2
5、 2 2)，D( ， 5)，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得 8 5，得 p4，所以选 B. 2 p2 4 8(2018吉林长春调研测试)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( ) 3 5 A. B2 5 11 C. D3 5 答案 B 解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点 P 2 到 l2的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 |406| l1：4x3y60 的距离，所以最小值是 2
6、，故选 B. 5 x2 y2 9点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点， a2 b2 若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双曲线 C2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 C x2 y2 解析 求抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点为 a2 b2 2pa2 y22px， x ， b2 2pa2 p b x，) ， ) 解得 所以 ，c25a2，e 5，故选 C. y 2pa b2 2 a y b 10(2013课标全国 ，理)设抛物线 C：y22px(p
7、0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5， 若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 答案 C p p 解析 方法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x0 5，则 x05 . 2 2 p p 又点 F 的坐标为( ，0)，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0)(x )(yy0)y0. 2 2 y02 将 x0，y2 代入得 px084y00，即 4y080，所以 y04. 2 p 由 y022px0，得 162p(5 )，解之得
8、 p2 或 p8. 2 所以 C 的方程为 y24x 或 y216x.故选 C. p p 方法二：由已知得抛物线的焦点 F( ，0)，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则AF( ， 2 2 y02 2)，AM( ，y02) 2p 8 由已知得，AFAM0，即 y028y0160，因而 y04，M( ，4) p 8 p 由抛物线定义可知：|MF| 5. p 2 又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C. 11(2018合肥质检)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 3 的斜率为( ) A 3 B1 3 C D 4 3 3 答案 A
9、p 3p 解析 设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xM 2p，解得 xM ，代入抛物线方程可得 2 2 yM 3p yM 3p，则直线 MF 的斜率为 ，选项 A 正确 3 p p xM 2 12(2018太原一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且 1 1 1 满足FAFBFC0 0，则 ( ) kAB kBC kCA A0 B1 C2 D2p 答案 A p p p 解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F( ，0)，则(x1 ，y1)(x2 ，y2)(x3 2 2 2 1 （y22y12） p 1 x2x1 2
10、p y2y1 1 y3y2 ，y3)(0，0)，故y1y2y30. ，同理可知 ， 2 kAB y2y1 y2y1 2p kBC 2p 1 y3y1 1 1 1 2（y1y2y3） ， 0. kCA 2p kAB kBC kCA 2p 13(2018河南新乡第一次调研)经过抛物线 y28x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半 径为_ 答案 3 解析 圆心是 x1 与抛物线的交点r123. 14(2018福建闽侯三中期中)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， 过 P 作 PAl 于点 A，当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_ 4 答案 3 2 3 解 析
11、设 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB| .设 3 2 3 1 4 P(x0，y0)，则 x0 ，代入 x24y 中，得 y0 ，从而|PF|PA|y01 . 3 3 3 15已知定点 Q(2，1)，F 为抛物线 y24x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ| |PF|取最小值时，P 的坐标为_ 1 答案 ( ，1) 4 4 解析 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF| 取得最小值，即 D，P，Q 三点共线时|PQ|PF|最小将 Q(2，1)的纵坐标代入 y24x得 x 1 1 ，故
12、P 的坐标为( ，1) 4 4 16.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽_米 答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为 x22py(p0)， 由点(2，2)在抛物线上，可得 p1，则抛物线方程为 x22y. 当 y3 时，x 6， 所以水面宽为 2 6 米 17抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程 为 y2x，斜边长为 5 13，求此抛物线方程 答案 y24x 解析 设抛物线 y22px(p0)的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA所在直线方程为 y2
13、x，另 1 一直角边所在直线方程为 y x. 2 y2x， p 解方程组y 22px，)可得点 A 的坐标为( ，p )； 2 1 y x， 解方程组y 22px，)可得点 B 的坐标为(8p，4p) 2 |OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5 13， p2 ( p2)(64p216p2)325. 4 p2，所求的抛物线方程为 y24x. 18(2018上海春季高考题)“利用 平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的 几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示， 图 2 是投影射出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯投影的直观图，在图
14、 2 与图 3 中，点 O、 A、B 在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于 C，AB3 米，OC4.5 米 5 (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)在图 3 中，已知 OC平行于圆锥的母线 SD，AB、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴 的夹角的大小(精确到 0.01) 1 答案 (1) (2)9.59 4 解析 (1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 y 轴，建系 B(1.5，4.5) 设抛物线方程为 x22py. 点 B(1.5，4.5)在抛物线上 1 1 p .焦点到准线距离为 . 4 4 (2)如图，C 为 DE 中点，OCSD，O 为 SE中点 SCDE
15、，OC4.5，SE2OC9. DEAB3，CE1.5. CE 1.5 sinCSE 0.167. SE 9 SCE9.59. 圆锥的母线与轴的夹角约为 9.59. 1抛物线 y4x2关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是( ) 6 1 Ay1 By 16 1 Cx1 Dx 16 答案 D 1 1 1 解析 抛物线 x2 y 的准线方程为 y ，关于 xy 对称的准线方程 x 为所求 4 16 16 2已知点 P 是抛物线 y22x上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线 的距离之和的最小值为( ) 17 A. B3 2 9 C. 5 D. 2 答案 A 1 解析
16、 抛物线 y22x 的焦点为 F( ，0)，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等 2 于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最 小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不 难 得 出 相 应 的 最 小 值 就 等 于 焦 点 F 到 点 (0， 2)的 距 离 ， 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于 1 17 （ ）2（2）2 ，选 A. 2 2 3抛物线 y4ax2(a0)的焦点坐标是( ) A(0，a) B(a，0) 1 1 C(0， ) D( ，0)
17、 16a 16a 答案 C 1 1 解析 抛物线方程化标准方程为 x2 y，焦点在 y 轴上，焦点为(0， ) 4a 16a 4已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF的斜率为( ) 1 2 A. B. 2 3 3 4 C. D. 4 3 答案 D 解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解 p p 抛物线 y22px 的准线为直线 x ，而点 A(2，3)在准线上，所以 2，即 p4，从 2 2 7 k 而 C：y28x，焦点为 F(2，0)设切线方程为 y3k(x2)，代入 y28x得 y2y2
18、k3 8 k 1 0(k0).由于 14 (2k3)0，所以 k2 或 k .因为切点在第一象限，所以 8 2 1 k . 2 1 将 k 代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线 BF 2 8 4 的斜率为 . 6 3 5(2018海口一模)过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y 答案 D 6(2018湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线ymx2的准线的距离为2，则实数m( ) A8 B8 1 1 C D 4 8 答案 D 1 1 1 解析 x2 y，故由题意
19、可得 2，所以 m . m 4|m| 8 7(2018江西吉安一中期中)已知抛物线 x24y的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 满足|AF|BF|2，则 y1x12y2x22( ) A4 B6 C8 D10 答案 D 解析 |AF|BF|2，y11(y21)2，y1y22，所 以 y1x12y2x225(y1y2) 10，故选 D. 8(2018云南昆明适应性检测)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 A，B 在 C 上， 且点 F 是AOB 的重心，则 cosAFB为( ) 3 7 A B 5 8 11 23 C D 12 25 答案 D x1x2 p
20、 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由重心坐标公式得 ，y1y20，故 A，B 关于 x 3 2 8 3 3 p 5 轴对称，则 x1x2 p，所以|AF|BF| p p，|AB|26p2，所以由余弦定理可得 cos 4 4 2 4 |AF|2|BF|2|AB|2 23 AFB ，故选 D. 2|AF|BF| 25 9(2018湖南郴州第二次质检)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛 物线 y22px(p0)上，则这个正三角形的边长为( ) A2 3p B2p C4 3p D4p 答案 C 解析 抛物线 y22px 关于 x 轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原
21、点，另外两个顶 点在抛物线 y22px(p0)上，则 A，B 关于 x 轴对称，如图所示，直线 OA 的倾斜角为 30， 3 3 3 x6p ， y x， 3 3y22px，) y2 3p，) 3 斜率为 ，直线 OA 的方程为 y x，由 得 A(6p，2 p)，则 3 B(6p，2 3p)，|AB|4 3p，这个正三角形的边长为 4 3p.故选 C. 10(2016浙江，理)若抛物线y24x上的点M 到焦点的距离为10，则M 到 y 轴的距离是_ 答案 9 解析 由于抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线为 x1，设点 M 的坐标为(x，y)，则 x1 10，所以 x9.故 M 到
22、 y 轴的距离是 9. 11在抛物线 y24x 上找一点 M，使|MA|MF|最小，其中 A(3，2)，F(1，0)，求 M 点的坐 标及此时的最小值 答案 M(1，2)，最小值为 4 解析 如图点 A 在抛物线 y24x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF| |MA|MH|， 其中|MH|为 M 到抛物线的准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B， 则|MA|MF|MA|MH|AB|4， 当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立 此时 M1点的坐标为(1，2) 1 12(2018黑龙江大庆一模)已知圆 x2y2mx 0 与抛物线 y24x的准线相切，则 m 4
23、 _ 9 3 答案 4 1 m m21 解析 圆 x2y2mx 0 圆心为( ，0)，半径 r ，抛物线 y24x 的准线为 x 4 2 2 m m21 3 1.由| 1| ，得 m . 2 2 4 13一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的 面积为 36 3，则 a_ 答案 2 3 1 解析 设正三角形边长为 x，则 36 3 x2sin60. 2 x12. 当 a0 时，将(6 3，6)代入 y2ax得 a2 3. 当 a0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB中点的 纵坐标为 6，求抛物线方程 答案 x22y或 x24y 1 解析 x2
24、2py变形为 y x2， 2p x y .设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， p x1 y|xx1 . p x1 切线 AM 方程为 yy1 (xx1) p x1 x12 x2 x22 即 y x .同理 BM 方程为 y x . p 2p p 2p 又(2，2p)在两条直线上， 2x1 x12 2x2 x22 2p ，2p . p 2p p 2p x2 2x x1，x2是方程 2p0 的两根 2p p 即 x24x4p20.x1x24，x1x24p2. 1 y1y2 (x12x22) 2p 1 1 (x1x2)22x1x2 (168p2) 2p 2p 又线段 AB 中点纵坐标为 6， 1 y1y212，即 (168p2)12. 2p 解得 p1 或 p2. 抛物线方程为 x22y 或 x24y. 11