2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练49空间几何体的表面积体积理20180515416.wps

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1、题组训练 4949 空间几何体的表面积、体积 1(2018黑龙江哈尔滨六中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积是( ) A42 6 B4 6 C42 2 D4 2 答案 A 解析 由三视图可以看出，几何体是有一个与底面垂直且全等的侧面，另外两侧面为全等三角 1 形的三棱锥 由图中数据知底面为等腰三角形，底边长为 2，高为 2，故面积为 222.在 2 底面上，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，将垂足与三棱锥顶点连接起来即得此两 6 1 6 侧面的高由图中数据，得侧面的底边长为 5，高为 2 ，所以此两侧面的面积均为 2 5 2 5 5 6，故此三棱锥的表面积为 22 6 64

2、2 6.故选 A. 2(2018四川攀枝花质检)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体 的侧面积为( ) A. 3 6 B. 3 5 C. 2 6 D. 2 5 答案 C 解析 该几何体是高为 1，底面四边形为对角线长为 2 的菱形的四棱锥 ABCDE，如图所示 在直角三角形 ABE 中，AB1，BE 2，AE 3. 在三角形 AED 中，AE 3，ED 2，AD 5， AE2DE2AD2，三角形 AED是直角三角形， 1 1 1 则该几何体的侧面积为 S2( 21)2( 2 3) 2 6，故选 C. 2 2 3(2018安徽师大附中、马鞍山二中高三测试)某几何体的三视图如图

3、所示，则该几何体的 体积为( ) A12 B18 C24 D30 答案 C 解析 由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再减去一个三棱锥后得到的，该几何体的体 1 1 1 积 V 435 43(52)24，故选 C. 2 3 2 4(2018安徽淮北一模)如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次 为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为( ) 3 A. B. 3 3 2 2 3 C. D. 3 3 答案 D 解析 如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面 ABCD底面 PAB，侧 面 ABCD 1 12 为直角梯形，ADBC，DAAB，该几何体的体积 V 2 3 3

4、，故 3 2 选 D. 5(2017合肥一检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧 视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( ) 2 A64，4816 2 B32，4816 2 64 32 C. ，3216 2 D. ，4816 3 3 2 答案 B 解析 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示 1 1 体积 V 44432，表面积 S2 424(444 2)48 2 2 16 2. 6(2016课标全国 )如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面 积为( ) A20 B24 C28 D32 答案 C 解析 该几何体是圆

5、锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周 1 长 c2r4，圆锥的母线长 l 22（2 3）24，圆柱的高 h4，S表r2ch cl 2 416828. 7(2018山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫 从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3，则这个圆锥的体积为( ) 3 15 32 35 A. B. 3 27 128 2 8 3 C. D. 81 3 答案 C 解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最 短路为 PP，OPOP4，PP4 3，由余弦定理

6、可得 cosPOP OP2OP2PP2 1 2 ，POP . 2OPOP 2 3 2 设底 面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则有 2r 4， 3 4 8 2 r ，h l2r2 ， 3 3 1 128 2 圆锥的体积 V r2h . 3 81 8(2018甘肃兰州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A(9 5) B(92 5) C(10 5) D(102 5) 答案 A 解析 该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥 S表面积122141 5(9 5). 9(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单 位：cm)，则该几何体的体积(单 位：cm3)是( ) A. 1 B. 3

7、2 2 4 3 3 C. 1 D. 3 2 2 答案 A 解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体 1 1 1 1 积 V 3 213 1，故选 A. 3 2 3 2 2 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A8 B8 4 2 C8 D82 答案 C 解析 由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即 V 1 222 1228.故选 C. 2 11(2018河北唐山模拟)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( ) A24 B243 C24 D242 答案 A 1 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为

8、 2 的正方体挖去右下方 球后得到的几何体，该球以 8 1 1 顶点为球心，2 为半径，则该几何体的表面积为 2263 22 42224 4 8 ，故选 A. 12(2018福建晋江联考)如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为 3 的半圆 5 和相同的正三角形，其中正三角形的上顶点是半圆弧的中点，底边在直径上，则该几何体的表 面积是( ) A6 B8 C10 D11 答案 C 解析 由三视图可知，该几何体是一个半球挖去一个圆锥后得到的几何体，且半球的底面半径 为 3，圆锥的轴截面为等边三角形，其高为 3，故圆锥的底面半径为 1，母线长为 2.该几何体 的表面由半球的侧面、圆锥的侧面

9、以及半球的底面除去圆锥的底面三部分构成半球的侧面积 S1 1 4( 3)26，圆锥的侧面积 S2122，半球的底面圆的面积 S3 2 ( 3)23，圆锥的底面积 S412，所以该几何体的表面积为 SS1S2S3S46 2310.故选 C. 13(2018贵州贵阳模拟)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示， 记甲的体积 V甲，乙的体积为 V乙，则( ) AV甲V乙 DV甲，V乙的大小关系不能确定 答案 C 解析 由三视图知，甲几何体是一个以边长为 1 的正方形为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几 何体的基础上去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以 V甲V乙，

10、故 选 C. 14(2018郑州质量预测)将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能 切割出的圆柱的最大体积为( ) 8 A. B. 27 27 6 2 C. D. 3 9 答案 B r 2x 解析 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得 ，所以 x2 1 2 2r，所以圆柱的体积 Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)设 V(r)2(r2r3)(0r1)， 2 则 V(r)2(2r3r2)，由 2(2r3r2)0，得 r ，所以圆柱的最大体积 Vmax2 3 2 2 8 ( )2( )3 ，故选 B. 3 3 27 15(2018沧州七校联考)

11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 答案 1 解析 该几何体是一个半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则其体积 V 122. 2 16(2018江苏盐城一模)将矩形 ABCD 绕边 AB旋转一周得到一个圆柱，其中 AB3，BC2， 圆柱上底面圆心为 O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 OEFG 体积的最大 值是_ 答案 4 解析 由题意，易知所得圆柱如图所示，其中圆柱的底面半径为 2，高为 3，三棱锥 OEFG 的高为 3，当EFG 的面积最大时，三棱锥 OEFG 的体积最大由EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则可设 EF 为直 径，当点 G 在 EF 的垂直

12、平分线上时，EFG 的面积最大，最大值(S 1 1 EFG)max 424，三棱 锥OEFG体积的最大值Vmax (SEFG)max3 2 3 1 434. 3 7 17.右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD，且 PD AD2EC2. (1)画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥 BCEPD 的体积 答案 (1)略 (2)2 解析 (1)如图所示： (2)PD平面 ABCD，PD 平面 PDCE， 平面 PDCE平面 ABCD. BCCD，BC平面 PDCE. 1 1 S梯形 PDCE (PDEC)DC 323， 2 2 1 1 四棱锥 B CEPD的体

13、积 VBCEPD S梯形 PDCEBC 322. 3 3 18如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图 和侧视图在下面画出(单位：cm) (1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (3)在所给直观图中连接 BC，证明：BC平面 EFG. 284 答案 (1)略 (2) cm3 (3)略 3 解析 (1)如图所示 8 (2)所求多面体的体积是： 1 1 284 VV长方体V正三棱锥446 ( 22)2 cm3. 3 2 3 (3)如图所示，复原长方体 ABCDABCD， 连接 AD，则 ADBC.

14、 E，G 分别是 AA，AD的中点， ADEG.从而 EGBC. 又 BC 平面 EFG， BC平面 EFG. 1(2018重庆巴蜀中学期中)我国的神舟十一号飞船已于 2016 年 10 月 17 日 7 时 30分在酒 泉卫星发射中心成功发射升空，并于 19 日凌晨，与天空二号自动交会对接成功，如图所示为 飞船上某零件的三视图，网格纸表示边长为 1 的正方形，粗实线画的是该零件的三视图，则该 零件的体积为( ) A4 B8 C12 D20 答案 C 解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是长为 6，宽为 2 的矩形，高为 3，所以该几 1 何体的体积 V 62312，故选 C. 3 2(

15、2018宜昌一中期中)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形 的面积和是( ) 9 A2 B4 C2 5 D42 5 答案 C 解析 由三视图可得原几何体如图，该几何体的高 PO2，底面ABC 是腰 长为 2 的等腰直角三角形，该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面 PBC.事 实 上 ，PO底面 ABC，平面 PAC底面 ABC，而 BCAC， BC平面 PAC， 1 1 BCPC.PC 2212 5，SPBC 2 5 5，SABC 222. 2 2 面积和为 2 5，故选 C. 3(2018河北廊坊模拟)如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的

16、三视图，则该几何体的体积为( ) A12 B6 C2 D3 答案 B 解析 由三视图知该几何体是底面为直角梯形的四棱柱，其高为 2，梯形的上底 1 为 2，下底为 2 2，高为 2，其体积为( 22 2) 2 26.故选 B. 2 4.(2018广州检测)高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体， 它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体 积是原直三棱柱的体积的( ) 1 1 A. B. 4 3 10 1 2 C. D. 2 3 答案 C 1 解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为 2(24)6 的四棱锥，其体积 2 4 1 为 4.易知直三棱柱的体积

17、为 8，则该几何体的体积是原直三棱柱体积的 ，故选 C. 8 2 5(2018广东清远一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A12 B24 C40 D72 答案 C 1 解析 由 三视图可知几何体为长方体上面放了一个四棱锥所求体积 V342 344 3 40. 6(2018河南八市重点质检)如图是某几何体的三视图，当xy最大时，该几何体的体积为( ) 15 A2 15 B1 12 12 15 C. 15 D1 4 15 4 答案 A 解析 由三视图可知，几何体是一个四分之一的圆锥与一个三棱柱的组合体设该几何体的高 h2y231， x2y2 为 h，则h 212x2， )所

18、以 x2y232.由不等式 xy 可知，当且仅当 xy4 时，xy 2 11 1 1 1 取到最大值，此时 h 15，所以组合体的体积为 1 154 11 152 15 2 4 3 15 ，故选 A. 12 7.(2015福建，文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积等于( ) A82 2 B112 2 C142 2 D15 答案 B 解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为 2 的直四棱柱，所以其表面积为 1 S表面积S侧面积2S下底面积(112 2)22 (12)1112 2，故选 B. 2 8(2018重庆荣昌中学期中)如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD

19、中，圆 心为 B，半径为 1 的圆与 AB，BC分别交于点 E，F，则阴影部分绕直线 BC旋 转一周形成几何体的体积等于( ) A B6 4 C. D4 3 答案 B 解析 由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半 球和一个圆锥该圆柱的底面半径 RBA2，母线长 lAD2，故该圆柱的体积 V1222 1 4 2 8，半球的半径为 1，其体积 V2 13 ，圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体 2 3 3 1 4 积 V3 221 ，所以阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成的几何体的体积 VV1V2V3 3 3 6. 9.(2015课标全国 )一个正方体被一个

20、平面截去一部分后，剩余部分的三 视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) 1 1 A. B. 8 7 1 1 C. D. 6 5 答案 D 解析 如图，不妨设正方体的棱长为 1，则截去部分三棱锥 AA1B1D1，其 1 5 1 体积为 ，又正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 .故选 D. 6 6 5 10(2017山东济宁模拟)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A752 10 B754 10 C484 10 D482 10 答案 B 45 解析 由三视图可知该几何体是一个四棱柱两个底面面积之和为 2 327，四个侧 2 面的面积之和是(3

21、45 10)4484 10，故表面积是 754 10. 11(2018湖南长沙模拟)如图(单位：cm)，则图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体 的体积为_ 140 答案 3 解析 图中阴影部分绕 AB 旋转一周后形成的几何体是一个圆台，从上面又挖去了一个半球 12(2018天津和平区校级月考)某几何体的三视图如图所示(单 位：cm)，则该几何体的体积 是_cm3. 16 答案 3 1 解析 由三视图可得，该几何体是三棱锥和三棱柱的组合体，它们的底面面积为 22 2 13 1 16 2(cm2)，它们的高均为 2 cm，故该几何体的体积 V22 22 (cm3) 3 3 13(2018北京

22、西城区期末)在空间直角坐标系 Oxyz中，四面体 ABCD 在 xOy、yOz、zOx坐 标平面上的一组正投影图形如图所示(坐标轴用细虚线表示)，则该四面体的体积是_ 4 答案 3 解析 由右图可知，该三棱锥 ABCD 的底面是底为 1，高为 4 的BCD， 1 1 4 三棱锥的高为 2，故其体积 V 412 . 3 2 3 14.(2017衡水中学调研卷)若一个半径为2 的球体经过切割之后所得几何 体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ 答案 16 1 解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去 之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球 4 3 3 1 体表面积的 与两个半圆面的面积之和，

23、即 S (422)2( 22)16. 4 4 2 15.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1E，F，分别为线段 AA1B，1C 上的 点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_ 1 答案 6 解析 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积因为 E，F 分别为 AA1，B1C 上的点， 1 所以正方体 ABCDA1B1C1D1中EDD1的面积为定值 ，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以 VF 2 1 1 1 DD1E 1 . 3 2 6 16(2017烟台模拟)某几何体的主(正)视图与俯视图如图所示，左(侧)视图与主视图相同， 且图中的四边形都是边长为

24、2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( ) 14 20 4 A. B. 3 3 C6 D4 答案 A 解析 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体，挖去一个底面边长为 2 的正方形，高为 1 1 20 的正四棱锥，该几何体体积为 V23 221 . 3 3 17(2017辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_ 答案 11 1 1 解析 由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积 V223 ( 2 3 2 1)311. 18(2018广东清远三中月考)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形， 则这个几何体的体积为_ （8） 3 答案 6 解析 由已知中的三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成，其中半圆锥的 1 1 底面半径为 1，四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，他们的高均为 3，则 V ( 3 2 15 （8） 3 4) 3 . 6 16