2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练53空间向量及运算理20180515420.wps

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1、题组训练 5353 空间向量及运算 1(2018广东清远一中月考)已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列命题： lm；lm；lm；lm，其中正确命题的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 中 l 与 m 可能相交、平行或异面；中结论正确；中两平面 ， 可能平行，也 可能相交；中结论正确 2设 a，b，c 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则 ab 的一个充分不必要条件 是( ) Aac，bc B，a ，b Ca，b Da，b 答案 C 解析 对于 C，在平面 内存在 cb，因为 a，所以 ac，故 ab；A，B 中，直线 a， b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线

2、；D 中一定推出 ab. 3(2018江西南昌模拟)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC， 那么 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( ) A直线 AB上 B直线 BC 上 C直线 AC上 DABC内部 答案 A 解析 由 ABAC，BDAC，又 ABBDB，则 AC平面 ABD，而 AC 平面 ABC，则平面 ABC 平面 ABD，因此 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在平面 ABC 与平面 ABD 的交线 AB 上，故选 A. 4设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a ，b ，且 ”的平面 ， ( ) A不存在 B有且只有一对 C有且只有两对 D有无

3、数对 答案 D 解析 过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b 确定的 平面 与 垂直，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线，此垂线与 b 确定的平面 与 垂直故选 D. 1 5(2018保定模拟)如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB， BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( ) ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 答案 D 解析 因 BCDF，DF 平面 PDF，BC 平面 PDF，所以 BC平面 PDF，A 成立；易证 BC平面 PAE，BCDF，所以结论 B，

4、C 均成立；点 P 在底面 ABC内的射影为ABC 的中心，不在中位线 DE上，故结论 D 不成立 6.已知直线 PA 垂直于以 AB为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 的任一 点，则下列关系中不正确的是( ) APABC BBC平面 PAC CACPB DPCBC 答案 C 解析 AB 为直径，C 为圆上异于 A，B 的一点，所以 ACBC.因为 PA平面 ABC，所以 PABC. 因为 PAACA，所以 BC平面 PAC，从而 PCBC.故选 C. 7如图，在三棱锥 DABC中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC的中点，则下列命题中正确的是 ( ) A平面 ABC平面 ABD

5、B平面 ABD平面 BCD C平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE D平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE 答案 C 解析 因为 ABCB，且 E 是 AC的中点，所以 BEAC，同理，DEAC，由于 DEBEE，于是 AC平面 BDE.因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC 平面 ACD，所以平面 ACD 平面 BDE.故选 C. 8(2017沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六 边形，PA平面 ABC.则下列结论不正确的是( ) ACD平面 PAF BDF平面 PAF CCF平面 PAB DCF平面 PA

6、D 答案 D 解析 A 中，CDAF，AF 面 PAF，CD 面 PAF，CD平面 PAF成立；B 中，ABCDEF为正 六边形，DFAF.又PA面 ABCDEF，DF平面 PAF 成立；C 中，CFAB，AB 平面 PAB，CF 2 平面 PAB，CF平面 PAB；而 D 中 CF与 AD 不垂直，故选 D. 9(2018重庆秀山高级中学期中)如图，点 E 为矩形 ABCD边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿 AE 翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列说法中正确的有( ) 存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC内存在直线与 SA平行；平面 ABCE

7、内存在直 线与平面 SAE 平行；存在点 E 使得 SEBA. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 A 解析 若直线 SA平面 SBC，则 SASC，又 SASE，SESCS，SA平面 SEC，又平面 SEC 平面 SBCSC，点 S，E，B，C 共面，与已知矛盾，故错误；平面 SBC直线 SAS， 故平面 SBC 内的直线与 SA 相交或异面，故错误；在平面 ABCD内作 CFAE，交 AB于点 F， 由线面平行的判定定理，可得 CF平面 SAE，故正确；若 SEBA，过点 S 作 SFAE 于点 F， 平面 SAE平面 ABCE，平面 SAE平面 ABCEAE，SF平面 ABCE

8、，SFAB，又 SFSE S，AB平面 SEC，ABAE，与BAE 是锐角矛盾，故错误 10(2016课标全国 )，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 ； 如果 m，n，那么 mn； 如果 ，m ，那么 m； 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 答案 解析 对于命题，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为 ，ABCD所在的平面为 ，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立 命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面

9、 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确 由平面与平面平行的定义知命题正确 3 由平行的传递性及线面角的定义知命题正确 11.(2017泉州模拟)点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动， 给出下列命题： 三棱锥 AD1PC的体积不变； A1P平面 ACD1； DBBC1； 平面 PDB1平面 ACD1. 其中正确的命题序号是_ 答案 解析 对于，VAD1PCVPAD1C 点 P 到面 AD1C 的距离，即为线 BC1与面 AD1C 的距离，为 定值故正确，对于，因为面 A1C1B面 AD1C，所以线 A1P面 AD1C，故正确，对于，DB

10、与 BC1就成 60角，故错对于，由于 B1D面 ACD1，所以面 B1DP面 ACD1，故正确 12(2018山西太原一模)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将 直角梯形 ABCD 沿 AC折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的 体积为_ 4 答案 3 解析 当平面 DAC平面 ABC 时，三棱锥 DABC 的体积取最大值此时易知 BC平面 DAC， BCAD，又 ADDC，AD平面 BCD，ADBD，取 AB的中点 O，易得 OAOBOCOD1， 4 4 故 O 为所求外接球的球心，故半径 r1，体积 V r3 . 3

11、3 1 3(2018辽宁大连双基测试)如图所示，ACB90，DA平面 ABCA，EDB 交 DB 于 E A，FDC交 DC 于 F，且 ADAB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值 为_ 答案 2 6 解析 因为 DA平面 ABC，所以 DABC，又 BCAC，DAACA，所以 BC平面 ADC，所以 BCAF，又 AFCD，BCCDC，所以 AF平面 DCB，所以 AFEF，AFDB，又 DBAE，AE AFA，所以 DB平面 AEF，所以 DE 为三棱锥 DAEF 的高因为 AE为等腰直角三角形 ABD 斜 1 1 a2b2 1 2 1 边上的高，所以 AE 2，设 AFa，FEb，则A

12、EF 的面积 S ab ， 2 2 2 2 2 2 1 1 2 所以三棱锥 DAEF的体积 V 2 (当且仅当 ab1 时等号成立) 3 2 6 14(2018湖北宜昌模拟)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，BC 2BB1，E，F，M 分别为 A1C1， AB1，BC 的中点 4 (1)求证：EF平面 BB1C1C； (2)求证：EF平面 AB1M. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)连接 A1B，BC1. 因为 E，F 分别为 A1C1，AB1的中点， 所以 F 为 A1B 的中点所以 EFBC1. 因为 BC1 平面 BB1C1C，EF 平面 BB1C1C， 所以 EF平面 BB1C1

13、C. (2)在矩形 BCC1B1，BC 2BB1， 2 所以 tanCBC1 ，tanB1MB 2. 2 所以 tanCBC1tanB1MB1. 所以CBC1B1MB .所以 BC1B1M. 2 因为 EFBC1，所以 EFB1M. 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，ABAC，所以 AMBC. 因为平面 ABC平面 BB1C1CBC， 所以 AM平面 BB1C1C. 因为 BC1 平面 BB1C1C，所以 AMBC1 因为 EFBC1，所以 EFAM. 又因为 AMB1MM，AM 平面 AB1M，B1M 平面 AB1M，所以 EF平

14、面 AB1M. 15(2018广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面 ABCD为正方形P，D 平面 ABCD，ECPD，且 PDAD2EC2，N 为线段 PB的中点 (1)证明：NEPD； (2)求三棱锥 EPBC 的体积 2 答案 (1)略 (2) 3 解析 (1)证明：连接 AC，与 BD 交于点 F，连接 NF，则 F 为 BD 的中点 1 NFPD，且 NF PD. 2 5 1 又 ECPD 且 EC PD， 2 NFEC且 NFEC. 四边形 NFCE 为平行四边形， NEFC，即 NEAC. 又PD平面 ABCD，AC 平面 ABCD， ACPD. NEAC，NEPD. (2)解

15、：PD平面 ABCD，PD 平面 PDCE， 平面 PDCE平面 ABCD. BCCD，平面 PDCE平面 ABCDCD，BC 平面 ABCD， BC平面 PDCE. 1 1 1 2 三棱锥 EPBC的体积 VEPBCVBPEC SPECBC ( 12)2 . 3 3 2 3 16(2018安徽马鞍山一模)如图，在直角梯形 ABCD中，ABBC，BCAD，AD2AB4，BC 3，E 为 AD的中点，EFBC，垂足为 F.沿 EF将四边形 ABFE 折起，连接 AD，AC，BC，得到 如图所示的六面体 ABCDEF.若折起后 AB 的中点 M 到点 D 的距离为 3. (1)求证：平面 ABFE

16、平面 CDEF； (2)求六面体 ABCDEF的体积 8 答案 (1)略 (2) 3 解析 (1)如图，取 EF的中点 N，连接 MN，DN，MD. 根据题意可知，四边形 ABFE 是边长为 2 的正方形， MNEF. 由题意，得 DN DE2EN2 5，MD3， MN2DN222( 5)29MD2， MNDN，EFDNN， 6 MN平面 CDEF. 又 MN 平面 ABFE，平面 ABFE平面 CDEF. (2)连接 CE，则 V六面体 ABCDEFV四棱锥 CABFEV三棱锥 ACDE. 由(1)的结论及 CFEF，AEEF得， CF平面 ABFE，AE平面 CDEF， 1 4 V四棱锥

17、CABFE S正方形 ABFECF ， 3 3 1 4 V三棱锥 ACDE SCDEAE ， 3 3 4 4 8 V六面体 ABCDEF . 3 3 3 17(2018潍坊质检)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD 是直角梯形，BADADC90， AB2AD2CD2. (1)求证：AC平面 BB1C1C； (2)在 A1B1上是否存在一点 P，使得 DP与平面 BCB1和平面 ACB1都平行？证明你的结论 答案 (1)略 (2)P为 A1B1的中点时，DP与平面 BCB1和平面 ACB1都平行 解析 (1)直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，BB1平面 ABCD，BB1AC. 又

18、BADADC90，AB2AD2CD2， AC 2，CAB45. BC 2.BC2AC2AB2，BCAC. 又 BB1BCB，BB1 平面 BB1C1C， BC 平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C. (2)存在点 P，P 为 A1B1的中点 1 由 P 为 A1B1的中点，有 PB1AB，且 PB1 AB. 2 1 又 DCAB，DC AB， 2 DCPB1，且 DCPB1. DCB1P 为平行四边形，从而 CB1DP. 又 CB1 平面 ACB1，DP 平面 ACB1， DP平面 ACB1.同理，DP平面 BCB1. 7 1(2017温州模拟)正方体ABCDABCD中，E 为 AC的中

19、点，则直线CE垂直于( ) AAC BBD CAD DAA 答案 B 解析 连接 BD， BDAC，BDCC， 且 ACCCC， BD平面 CCE. 而 CE 平面 CCE， BDCE. 又BDBD，BDCE. 2如图所示，在四边形 ABCD中，ABADCD1，BD 2，BDCD.将四边形 ABCD沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，则下列结论正确的是( ) AACBD BBAC90 CCA与平面 ABD 所成的角为 30 1 D四面体 ABCD 的体积为 3 答案 B 解析 取 BD 的中点 O，ABAD，AOBD，又平面 ABD平面 BCD，AO平面 BCD.

20、CDBD， OC不垂直于 BD，假设 ACBD，OC为 AC 在平面 BCD内的射影，OCBD，矛盾，A C 不垂直于 BD.A错误；CDBD，平面 ABD平面 BCD，CD平面 ABD，AC 在平面 A BD内的射影为 AD，ABAD1，BD 2，ABAD，ABAC，B 正确； CA 1 1 D 为直线 CA与平面 ABD所成的角，CAD45，C 错误；VABCD SABDCD ， 3 6 D 错误，故选 B. 3(2018四川成都检测)如图，在长方形 ABCD中，AB2，BC1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC上(端点除外)一动点，现将AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 AB

21、CF.在平面 ABD内过点 D 作 DKAB，K 为垂足，设 AKt，则 t 的取值范围是( ) 8 1 1 A( ，2) B( ，1) 2 2 3 3 C( ，2) D( ，1) 2 2 答案 B 解析 当点 F 与点 E 无限接近时，不妨令二者重合，可得 t1， 当点 C 与点 F 无限接近时，不妨令二者重合，此时有 CD2， CBAB，CBDK， CB平面 ADB，即有 CBBD， 对于 CD2，BC1，在直角三角形 CBD中，得 BD 3， 又 AD1，AB2，由勾股定理可得BDA 是直角，ADBD. 1 由 DKAB，可得ADBAKD，可得 t ， 2 1 t 的取值范围是( ，1)

22、，故选 B. 2 4如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45，求证：MN平面 PCD. 答案 (1)略 (2)略 证明 (1)连接 AC，PA平面 ABCD， PAAC，在 RtPAC 中，N 为 PC中点 1 AN PC. 2 PA平面 ABCD，PABC. 又 BCAB，PAABA， BC平面 PAB，BCPB. 从而在 RtPBC 中，BN为斜边 PC 上的中线， 1 BN PC.ANBN，ABN为等腰三角形 2 9 又 M 为底边的中点， MNAB，又 ABCD，MNCD. (2)PDA45，PAAD，A

23、PAD. ABCD为矩形，ADBC，PABC. 又M 为 AB 的中点，AMBM. 而PAMCBM90， PMCM，又 N 为 PC 的中点，MNPC. 由(1)知 MNCD，PCCDC，MN平面 PCD. 5(2018四川成都一诊)如图，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别是 AB，BC的中点，BD与 EF DG BR 交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH，HB上，且 .将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF， GH RH EF折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图所示 (1)求证：GR平面 PEF； (2)若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 PDEF的内切球的半径 1

24、 答案 (1)略 (2) 2 解析 (1)依题意，得在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD两两垂直 PD平面 PEF. DG BR DG PR ，即 ，在PDH 中，GRPD. GH RH GH RH GR平面 PEF. (2)由题意知，PEPF2，PD4，EF2 2，DF2 5. SPEF2，SDPFSDPE4， 1 SDEF 2 2 （2 5）2（ 2）26. 2 设三棱锥 PDEF的内切球的半径为 r， 1 1 1 1 则三棱锥的体积 VPDEFVDPEF 224 (SPEF2SDPFSDEF)r，解得 r . 3 2 3 2 1 三棱锥 PDEF的内切球的半径为 . 2 6(2018

25、河南郑州一中月考)如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC， 10 点 M 是棱 BB1上一点 (1)求证：B1D1平面 A1BD； (2)求证：MDAC； (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1平面 CC1D1D. 答案 (1)略 (2)略 (3)略 解析 (1)由 ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，得 BB1DD1，且 BB1DD1，所以四边形 BB1D1D 是平 行四边形，所以 B1D1BD.又 BD 平面 A1BD，B1D1 平面 A1BD，所以 B1D1平面 A1BD. (2)因为 BB1平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 BB1AC.

26、因为 BDAC，且 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D1D. 而 MD 平面 BB1D1D，所以 MDAC. (2)当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC1平面 CC1D1D. 证明如下：取 DC 的中点 N，D1C1的中点 N1， 连接 NN1交 DC1于点 O，连接 BN，OM，如图 因为 N 是 DC 的中点，BDBC，所以 BNDC. 因为 DC 是平面 ABCD与平面 DCC1D1的交线， 而平面 ABCD平面 DCC1D1，所以 BN平面 DCC1D1. 易得 O 是 NN1的中点， 所以 BMON 且 BMON， 所以四边形 BMON 是平行四边形，所以 BNOM，所以 OM平面 CC1D1D. 因为 OM 平面 DMC1，所以平面 DMC1平面 CC1D1D. 11