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1、第6讲对数与对数函数板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数考点2对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN，(2)logalogaMlogaN，(3)logaMnnlogaM(nR)考点3对数函数的图象与性质a10a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(4)函数yln 与yln (1x)ln (1x)的定义域相同
2、()(5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018广东深圳模拟已知a0.30.3，b1.20.3，clog1.20.3，则a，b，c的大小关系为()Acab Bcba Cabc Dac1，clog1.20.30，ca0)，则loga_.答案3解析因为a(a0)，所以a3，故logalog33.52018陕西模拟已知4a2，lg xa，则x_.答案解析4a22a2，a.lg x，x.62015天津高考已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值答案4解析由于
3、a0，b0，ab8，所以a，所以log2alog2(2b)log2log2(2b)(3log2b)(1log2b)(log2b)22log2b3(log2b1)24，当b2时，有最大值4，此时a4.板块二典例探究考向突破考向对数的化简与求值例1(1)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2的值为_答案3解析原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)lg2 22(lg 5lg 2)lg 5lg 2(lg 2lg 5)2lg 5lg 23.(2)已知3a4b，则_.答案2解析因为3a4b，所以alog3，blog4，log3，log4，所以log3log4log122.(3)2016
4、浙江高考已知ab1.若logablogba，abba，则a_，b_.答案42解析由于ab1，则logab(0,1)，因为logablogba，即logab，所以logab或logab2(舍去)，所以ab，即ab2，所以ab(b2)bb2bba，所以a2b，b22b，所以b2(b0舍去)，a4.触类旁通对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用【变式训练1】(1)计算：lg 5(lg 8lg 1000)(lg 2)2lg lg 0.06_.答案1解析原式
5、lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 3lg 5lg 23lg 53(lg 2)223lg 23lg 521.(2)计算：(log32log92)(log43log83)_.答案解析原式log32log23.考向对数函数的图象及应用例2当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D(，2)答案B解析易知0a2，解得a，a0时，f(x)f(0)0，且f(x)0，g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0，g(x)在0，)上递增ag(log25.1)g(log25.1)，由对数函数ylog2x的性质，知3log28log25.1log24220.8，cab.
6、故选C.命题角度2解简单的对数不等式例42018西安模拟已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f(logx)0的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.f(logx)0logxx2或0x0，得x3或x1.故函数定义域为(，1)(3，)令ux24x3，对称轴为x2，则u在(，1)上单调递减，在(3，)上单调递增又ylogu在(0，)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(，1)，单调递减区间是(3，)(2)令g(x)x22ax3，要使f(x)在(，2)上为增函数，
7、应使g(x)在(，2)上单调递减，且恒大于0.因为即a无解所以不存在实数a，使f(x)在(，2)上为增函数触类旁通对数函数性质及应用中应注意的问题(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而
8、成的核心规律1.指数式a bN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定3.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到4.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决满分策略1.在运算性质logaMnnlogaM中，要特别注意条件，当nN*，且n为偶数时，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|.2.指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a
9、0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.板块三启智培优破译高考创新交汇系列2有关对数运算的创新应用问题 2017北京高考根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053 C1073 D1093解题视点首先要读懂题意，搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小，然后根据相关公式计算解析由题意，lglglg 3361lg 10803
10、61lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D.答案D答题启示在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.跟踪训练里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大
11、振幅的_倍答案610000解析根据题意，由lg 1000lg 0.0016得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018广东湛江模拟函数f(x)的定义域是()A(0，e) B(0，eCe，) D(e，)答案B解析要使函数f(x)有意义，则解得0xe，则函数f(x)的定义域为(0，e故选B.2设alog2，blog，c0.3，则()Aabc Bacb Cbca Dbac答案B解析
12、因为a1,0c1，所以ac0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac Bacd Ccad Ddac答案B解析由已知得5ab,10cb，5a10c，5d10，5dc10c，则5dc5a，dca.故选B.42018西安模拟已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得b1.综上有0b0且u(x)在该区间单调递增解x22x8(x4)(x2)0，得x4；u(x)x22x8的图象开口向上，对称轴为
13、x1，所以x4时u(x)单调递增，所以f(x)ln (x22x8)的单调递增区间为(4，)故选D.72018安徽江淮联考已知a0，b0，且a1，则“logab0”是“(a1)(b1)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析a0，b0且a1，若logab0，则a1，b1或0a1,0b0；若(a1)(b1)0，则或则a1，b1或0a1,0b0，“logab0”是“(a1)(b1)0”的充分必要条件82015浙江高考若alog43，则2a2a_.答案解析原式2log432log43.9已知函数f(n)logn1(n2)(nN*)，定义使f(1)f(2)
14、f(3)f(k)为整数的数k(kN*)叫做企盼数，则在区间1,2017内这样的企盼数共有_个答案9解析令g(k)f(1)f(2)f(3)f(k)，f(k)logk1(k2)，g(k)log2(k2)要使g(k)成为企盼数，则k22n，nN*.k1,2017，(k2)3,2019，即2n3,2019224,2101024,2112048，可取n2,3，10.因此在区间1,2017内这样的企盼数共有9个10已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由于f(x)1恒成立，
15、所以f(x)minloga(82a)1,82aa，即a，故1a.当0a1恒成立，所以f(x)minloga(8a)1，且82a0，所以a4，且a4，故这样的a不存在综上可知，实数a的取值范围是.B级知能提升1若f(x)lg (x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)答案A解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)故选A.22018河北监测设alog32，bln 2，c5，则()Aabc Bbca Ccab Dcba答案C解析因为c5，alog32log3，所以ca
16、0，故A7.42018福建六校联考已知函数f(x)loga(x2)loga(4x)(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间0,3上的最小值为2，求实数a的值解(1)依题意得解得2x1，则loga5logatloga9，f(x)minloga52，则a21(舍去)，若0a1，则loga9logatloga5，f(x)minloga92，则a2，又0a0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由题意知f(x)(logax1)(logax2)(logx3logax2)2.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若21，则a2，此时f(x)取得最小值时，x(2)2,8，舍去若21，则a，此时f(x)取得最小值时，x22,8，符合题意，a.12