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1、第2讲一元二次不等式及其解法板块一知识梳理自主学习必备知识考点1一元二次不等式的解法1将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)2计算相应的判别式3当0时，求出相应的一元二次方程的根4利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集考点2三个二次之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24
2、ac0(xR)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2答案A解析因为(x1)(2x)0，所以(x2)(x1)0，所以结合二次函数的性质可得1x2.故选A.3201
3、8辽阳统考不等式0的解集是()A(，1)(1,2 B1,2C(，1)2，) D(1,2答案D解析0(x1)(x2)0，且x1，即x(1,2故选D.4若不等式ax2bxc0的解集为(4,1)，则不等式b(x21)a(x3)c0的解集为()A. B(，1)C(1,4) D(，2)(1，)答案A解析由不等式ax2bxc0的解集为(4,1)，知a0，即3x2x40，解得x1.5不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(2,2C(2,2) D(，2)答案B解析2a2，另a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.故选B.板块二典例探究考向突破考向一元二次
4、不等式的解法例1解下列关于x的不等式：(1)0x2x24；(2)ax2(a1)x10.解(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3(2)原不等式化为(ax1)(x1)1；当0a1时，其解为1x1时，其解为x1；当a1时，无解；当a0，其解为x1.综上所述a0时，不等式解集为x|x1；0a1时，不等式解集为；a0.解(1)将原不等式移项通分得0，等价于所以原不等式的解集为.(2)原不等式化为(xa)(xa2)0，当a2a0，即a1或aa2或xa.当a2a0，即0a1时，原不等式的解为xa；当a2a0，即a0或a1时，原不等式的解为xa.综上得a1或aa2或xa；
5、当0a1时，不等式解集为x|xa；当a0或a1时，不等式解集为x|xa考向一元二次不等式恒成立问题例22018正定模拟已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解(1)当m0时，f(x)10恒成立当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0(2)不等式f(x)5m，即(x2x1)m0，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1,3，记h(x)x2x12，h(x)在x1,3上为增函数，则g(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范围是.本例
6、中(1)变为：若f(x)0对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.本例中(2)条件“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，又x1,3，得m6，即m的取值范围为6，)本例中(2)条件“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围解由题知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(6，)
7、D(，6)答案A解析不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.(2)若关于x的不等式ax2x2a0的解集为，则实数a的取值范围是_答案解析依题意可知，问题等价于ax2x2a0恒成立，当a0时，x0不恒成立；当a0时，要使ax2x2a0恒成立，即f(x)ax2x2a的图象不在x轴的下方，即解得a，即a的取值范围是.核心规律1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形2f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想3简单的分式不等式可以等
8、价转化，利用一元二次不等式解法进行求解满分策略1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0(a0)的解集为R还是由a确定，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 板块三启智培优破译高考数学思想系列7转化与化归思想在不等式中的应用2018江苏模拟已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解题视点利用“三个二次”之间的关系，将不等式、函数、方程之间相互转化解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b，f(x)2.又f(x)c，2c，即x0对一切xR恒成立，
9、则实数a的取值范围是_答案a解析不等式可变形为axx，令xt，则t0.yxxtt22，因此当t时，y取最大值，故实数a的取值范围是a.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12018潍坊模拟函数f(x)的定义域是()A(，1)(3，) B(1,3)C(，2)(2，) D(1,2)(2,3)答案D解析由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)(2,3)2关于x的不等式x2px20的解集是(，1)，则a的值为()A1 B. C1 D2答案D解析由题意可得a0且不等式等价于a(x1)x0，由解集的特点可得a0且，故a2.故选D.42018福建模拟若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()A(
10、0,4) B0,4) C(0,4 D0,4答案D解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以实数a的取值范围是0,452018梧州模拟不等式1的解集是()A(，1)(1，)B(1，)C(，1)D(1,1)答案A解析1，10，即0，x1.6不等式(2x1)(1|x|)1或x1或1xC1x Dx答案B解析原不等式等价于或或x1或1x.故选B.72018重庆模拟关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A. B. C. D.答案A解析由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2.故(x2x1)2(x1x2)24x1x
11、2(2a)24(8a2)36a2152，得a.故选A.82018青岛模拟不等式2x23|x|350的解集为_答案x|x5解析2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x0的解集为，则不等式cx22xa0的解集为_答案(2,3)解析依题意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即为2x22x120，即x2x60，解得2x0且g(1)0，即解得x3.B级知能提升12018保定模拟若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.答案A解析由a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根
12、、一负根于是不等式在区间1,5上有解，只需满足f(5)0，即a.22018辽宁模拟若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0答案D解析当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,032018西安质检在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_答案解析原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，x2x12，所以a2a2，解得a.42018池州
13、模拟已知函数f(x)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a0.解(1)函数f(x)的定义域为R，ax22ax10恒成立，当a0时，10恒成立当a0时，则有解得00，当x1时，f(x)min，由题意，得，a.x2x20，即(2x1)(2x3)0，x.故不等式的解集为.5已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0.(1)求f(x)在0,1内的值域；(2)若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围解(1)因为当x(，3)(2，)时，f(x)0，所以3,2是方程ax2(b8)xaab0的两根，可得所以a3，b5，f(x)3x23x183218.75，函数图象关于x对称，且抛物线开口向下，所以在区间0,1上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)18，最小值为f(1)12，故f(x)在0,1内的值域为12,18(2)由(1)知，不等式ax2bxc0化为3x25xc0，因为二次函数y3x25xc的图象开口向下，要使3x25xc0的解集为R，只需即2512c0c，所以实数c的取值范围为.11