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1、第三章 直线与方程 章末复习课 1.直线的倾斜角与斜率 (1)“倾斜角与斜率从 形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角 是角度(0 180)，是倾斜度的直接体现；斜率 k是实数(k( ， )，是倾斜程度的间接反映. 在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便. (2)倾斜角与斜率的对应关系：当90时，直线的斜率不存在；当 90时，斜率 ktan y2y1 ，且经过两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率 kAB . x2x1 (3)当 由 090180(不含 180)变化时，k由 0(含 0)逐渐增大到 (不存在)， 然后由 (不存在)逐渐增大到 0(不含 0
2、). 2.直线的五种方程及比较 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 yy0k(xx0) (x0，y0)是直线上的一个 定点，k是斜率 直线不垂直于 x轴 k是斜率，b是直线在 y轴 斜截式 ykxb 直线不垂直于 x轴 上的截距 1 yy1 xx1 两点式 y2y1 x2x1 (x1，y1)，(x2，y2)是直线 上的两个定点 直线不垂直于 x轴和 y轴 x y 截距式 1 a b a，b分别是直线在 x轴， y轴上的非零截距 直线不垂直于 x轴和 y轴，且不过原点 AxByC0(A，B不同 一般式 A，B，C为系数 任何情况 时为 0) xa(y轴：x0) 垂直于 x轴且过点(a，
3、0) 斜率不存在 特殊直线 yb (x轴：y0) 垂直于 y轴且过点(0，b) 斜率 k0 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直 线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一 般式虽然可以表示任何直线，但要注意 A2B20，必要时要对特殊情况进行讨论. 3.两直线的平行与垂直 l1：yk1xb1， l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2y 直线方程 l2：yk2xb2 C20 l1l2 k1k2且 l1l2A1B2A2B10，且 B1C2 平 行的等价条件 b1b2 B2C10(或 A1C2A2C10) 垂
4、直的等价条件 l1l2 k1k21 l1l2 A1A2B2B10 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关 系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程. 4.距离问题 类型 已知条件 公式 d 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) （x2x1）2（y2y1）2 点到直线的距离 P(x0，y0) l：AxByC0 |Ax0By0C| A2B2 d 两条平行直线间 的距离 l1：AxByC10， l2：AxByC20(A，B不同 时为 0) |C2C1| A2B2 d 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的
5、几何意义，解题时往往将代数运算与几 何图形直观分析相结合. 5.直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一 个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线 系方程的常见类型有： 2 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)， 也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是： AxBy0( 是参数，C)； (3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是： BxAy0( 是参数)； (4)过两条已知直线 l
6、1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程是：A1x B1yC1(A2xB2yC2)0( 是参数，当 0 时，方程变为 A1xB1yC10，恰好表 示直线 l1；当 0 时，方程表示过直线 l1和 l2的交点，但不含直线 l2). 6.“”对称 问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称. (1)中心对称 两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1，y1)关于 P(a，b)对称的点为 P2(2a x1，2by1)，即 P 为线段 P1P2的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P(x，y). 两直线关于点对
7、称，设直线 l1，l2关于点 P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点 P 对称 的点在另一条直线上，并且 l1l2，P 到 l1，l2的距离相等. (2)轴对称 两点关于直线对称，设 P1，P2关于直线 l 对称，则直线 P1P2与 l 垂直，且线段 P1P2的中点 在 l “”“”上，这类问题的关键是由 垂直 和 平分 列方程. 两直线关于直线对称，设 l1，l2关于直线 l 对称. 当三条直线 l1，l2，l 共点时，l 上任意一点到 l1，l2的距离相等，并且 l1，l2中一条直线上 任意一点关于 l 对称的点在另外一条直线上； 当 l1l2l 时，l1与 l 间的距离等于 l2与 l
8、 间的距离. 方法一 分类讨论思想 分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准， 根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决. 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点 式、截距式的局限性引起的分类讨论问题. 【例 1】 设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR R)在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程. 解 当 2a0，即 a2 时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3xy0. 当 a1 时，直线在 x 轴上无截距，不符合题意，故当 a1 且 a2 时， 3 a2 由题意
9、得： a2，解得：a0. a1 此时直线的方程为：xy20. 综上，所求直线方程为 3xy0 或 xy20. 【训练 1】 直线 l 经过点 P(2，3)，且在 x，y 轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程. 3 3 解 当截距都为 0 时，直线过原点，此时 k ，所以直线方程为 y x. 2 2 当截距都不为 0 时，根据题意， x y 设所求直线的方程为 1. a a 2 3 直线过点 P(2，3)， 1，得 a1. a a 直线方程 xy10. 3 综上，所求直线方程为 xy10 或 y x. 2 方法二 数形结合思想 “数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理
10、解问题并解决问题 的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面，即 “”“”“”“”以 形 助 数 和以 数 解 形 . 数形结合思想是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的 结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代 数问题来解决.用数形结合思想解题，主要通过三种途径：坐标系；转化；构造图形， 构造函数. 【例 2】 已知 f(x)| x22x3 x24x10|，求 f(x)的最大值及相应的 x 值. 解 由题意，得 f(x)| x22x3 x24x10| | （x1）2（0 2）2 （x
11、2）2（0 6）2|. 如图所示，在直角坐标平面内，设点 P(x，0)，A(1， 2)，B(2， 6). 2 6 2 f(x)|PA|PB|AB|，当 P，A，B 三点共线时，等号成立，此时 ， 1x 21 62 2 1 3 1 3 x .故当 x 时，f(x)max 94 3. 6 2 2 2 【训练 2】 过点 M(0，3)的直线 l 与以点 A(3，0)、B(4，1)为端点的线段 AB 有公共点， 4 求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 0（3） 解 如图，直线 l 过点 A(3，0)时，就是直线 MA，倾斜角 1为最小，此时有 tan 1 30 1，1 . 4 1（3） 直线 l 过
12、点 B(4，1)时，就是直线 MB，倾斜角 2为最大，此时有 tan 2 40 3 1，2 . 4 3 故直线 l 过点 M，并绕 M 转动时，倾斜角 的取值范围是 4 . ， 4 当 时，直线 l 无斜率； 2 ， 当 2时，直线 l 的斜率 ktan 1， )； 4 3 当 ( 4 时，直线 l 的斜率 ktan ( ，1. ， 2 直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ，11， ). 方法三 转化与化归思想 把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较繁问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快 速得到解决. 【例 3】 在直线 2x3y6 上求一点 P(x，y)，使 Sxy 的值最大. 62x 解 点 P(x，y)在 2x3y60 上，y . 3 x（62x） 1 2 3 2 3 Sxy (2x26x)3(x2 ) . 3 3 2 3 3 2 (，1 ) 2 当 x 时，S 取最大值，此时 y1，即点 P 为 . 【训练 3】 已知在ABC 中，A(1，1)，B(m， m)，C(4，2)，其中 1m4，求 m 为何值时， ABC 的面积 S 最大？ 解 A(1，1)，C(4，2)，|AC| （41）2（21）2 10. 又直线 AC 的方程为 x3y20， |m3 m2| 点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d . 10 5