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1、2.1.12.1.1 平 面 目标定位 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.了解平面的基本性质，即公理 1，2，3.3.会进行“文字语言”“符号语言”“图形语言”之间的转化.4.掌握空间中点与直 线、点与平面位置关系的分类与表示. 自 主 预 习 1.平面的概念 (1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里 的平面是无限延展的. (2)平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 45，且横边长等于其邻边 长的 2 倍，如图. 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如 图. (
2、3)平面的表示法 图的平面可表示为平面 ，平面 ABCD，平面 AC或平面 BD. 2.点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念： 如果直线 l上的所有点都在平面 内，就说直线 l在平面 内，或者说平面 经过直线 l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系： 数学符号表 文字语言表达 数学符号表示 文字语言表达 示 点 A在直线 l上 Al 点 A在直线 l外 Al 点 A在平面 内 A 点 A在平面 外 A 直线 l在平面 内 l 直线 l在平面 外 l 平面 、 相交于直 直线 l，m相交于点 A lmA l 线 l 3.平面的基本性质及作用 1 公理 内容 图形 符号 作用 如果
3、一条直线上的两 点在一个平面内，那 Al，Bl，且 既可判定直线和点是 公理 1 A，B 否在平面内，又能说 么这条直线在此平面 l 明平面是无限延展的 内 A，B，C三点不 一是确定平面；二是 过不在一条直线上的 共线存在唯一 证明点、线共面问题； 公理 2 三点，有且只有一个 的平面 使 A， 三是判断两个平面重 平面 B，C 合的依据 一是判断两个平面相 如果两个不重合的平 P，且 交的依据；二是证明 面有一个公共点，那 公理 3 P 点共线问题的依据； 么它们有且只有一条 l，且 Pl 三是证明线共点问题 过该点的公共直线 的依据 即 时 自 测 1.判断题 (1)A，B，C，A，B，
4、C，且 A，B，C不共线与 重合.() (2)梯形一定是平面图形.() (3)三个平面可以将空间分为 4 部分或 6 部分或 8 部分.() (4)空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面有四 个.() 提示 (3)三个平面可以将空间分为 4 部分或 6 部分或 7 部分或 8 部分. (4)当这四个点共面时，只有一个平面；当这四个点不共面时，有四个平面. 2.下列图形中，不一定是平面图形的是( ) A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形 解析 三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一 组对边平行，故为平面图
5、形；四边相等的四边形可能为空间四边形. 答案 D 3.“用符号表示 点 A在直线 l上，直线 l在平面 外”，正确的表示是( ) A.Al，l B.Al，l C.Al，l D.Al，l 解析 点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合之间的关系，直线与平面之间的关系是集 合与集合之间的关系，故选 B. 2 答案 B 4.两两平行的三条直线最多可以确定_个平面. 解析 如图此时确定的平面个数最多. 答案 3 类型一 三种语言的转换 【例 1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形. (1)三个平面 ，相交于一点 P，且平面 与平面 相交于 PA，平面 与平面 相 交于 PB，平面 与平面 相交于 P
6、C； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 解 (1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如 图. (2)符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面 ADCAC，图形表示如图. 规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条 直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 【训练 1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)A，B；(2)l，
7、mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q. 解 (1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，如图. (2)直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图. (3)直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q，如图. 类型二 点线共面问题(互动探究) 3 【例 2】 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内. 思路探究 探究点一 确定平面的基本条件有哪些？ 提示 确定平面的基本条件有 4 个：不在同一直线上的三点、两条相交直线、两条平行直线、 直线及直线外一点. 探究点二 纳入法证明点、线共面的思路是什么？ 提示 先由公理 2 确定一个平面，
8、再由公理 1 证明有关点、线在此平面内. 证明 法一 (纳入法) l1l2A，l1和 l2确定一个平面 . l2l3B，Bl2.又l2， B. 同理可证 C. 又Bl3，Cl3，l3. 直线 l1、l2、l3在同一平面内. 法二 (重合法) l1l2A，l1、l2确定一个平面 . l2l3B， l2、l3确定一个平面 . Al2，l2，A. Al2，l2，A. 同理可证 B，B，C，C. 不共线的三个点 A、B、C 既在平面 内，又在平面 内. 平面 和 重合，即直线 l1、l2、l3在同一平面内. 规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面
9、，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明 这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 【训练 2】 已知直线 ab，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a，b，l 有且只有一个平面. 证明 如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A， B，且 Al，Bl，l.即过 a，b，l 有且只有一个平面. 4 类型三 点共线与线共点问题 【例 3】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M、N、E、F 分别是棱 CD、AB、DD1、AA1上的 点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求
10、证：D、A、Q 三点共线. 证明 MNEFQ，Q直线 MN，Q直线 EF， 又M直线 CD，N直线 AB， CD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD. M、N平面 ABCD， MN 平面 ABCD.Q平面 ABCD. 同理，可得 EF 平面 ADD1A1. Q平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1AD， Q直线 AD，即 D、A、Q 三点共线. 规律方法 点共线与线共点的证明方法： (1)点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在 两个平面内，证明点在 相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线， 然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证 明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 【训练 3】 如图所示，已知四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC， BG DH CD 上的点，且 2.求证：直线 EG，FH，AC 相交于同一点. GC HC 证明 E，F 分别是 AB，AD 的中点， 1 BG DH EFBD 且 EF BD.又 2， 2 GC HC 5