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1、2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定 目标定位 1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与 平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题. 自 主 预 习 1.直线与平面垂直的有关概念 (1)定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂 直，记作 l. (2)相关概念：若直线 l 与平面 垂直，其中直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足. (3)图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图 所示. (4)符号语言
2、：任意 a，都有 la l. “”“”其中 任意直线 等同于 所有直线 . 2.直线和平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. (2)图形语言：如图所示. (3)符号语言：a，b，abA， la，lbl. 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 90；一条直线和平面平行，或在平面内，我 们说它们所成的角是 0.综上，直线与平面所成的角的范围0，90. 即 时 自 测 1.判断题 (1)若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l.
3、() 1 (2)若直线 l 与平面 内任意一条直线垂直，则 l.() (3)若直线 l 不垂直于平面 ，则 内没有与 l 垂直的直线.() (4)过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.() 提示 (1)当直线 l 与平面 内的无数条平行直线垂直时，l 与 不一定垂直. (3)当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条平行直线垂直. 2.长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列不是平面 ABCD 的垂线的是( ) A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1 解析 由长方体的性质可知 AD1不垂直于平面 ABCD. 答案 D 3.下列条件中，能判定直线 l平面 的是( ) A.l 与平面
4、内的两条直线垂直 B.l 与平面 内的无数条直线垂直 C.l 与平面 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 内的任意一条直线垂直 解析 根据线面垂直的定义，可知 l 垂直于 内的所有直线时，l. 答案 D 4.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AB1与平面 ABCD 所成的角等于_. 解析 BB1平面 ABCD，BAB1即为直线 AB1与平面 ABCD 所成的角，且BAB145. 答案 45 类型一 直线和平面垂直的定义 【例 1】 下列命题中，正确的序号是_. 若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；若直线 l 不垂直于平面 ，则 内没 有与 l 垂直的直线；若直线 l
5、不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直； 若平面 内有一条直线与直线 l 不垂直，则直线 l 与平面 不垂直. 解析 当 l 与 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 垂直，所以不正确；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；根据线面垂直的 定义，若 l 则 l 与 的所有直线都垂直，所以正确. 答案 2 规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.“实际上， 任 何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任 何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么
6、这条直线就一定不与 这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若 a，b，则 ab. 【训练 1】 设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( ) A.若 lm，m，l B.若 l，lm，则 m C.若 l，m，则 lm D.若 l，m，则 lm 解析 对于 A，直线 lm，m 并不代表平面 内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对 于 B，因 l，则 l 垂直 内任意一条直线，又 lm，由异面直线所成角的定义知，m 与平 面 内任意一条直线所成的角都是 90，即 m，故 B 正确；对于 C，也有可能是 l，m 异 面；对于 D，l，m 还可能相交或异面. 答案 B
7、 类型二 线面垂直的判定 【例 2】 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABAC1，AA12，B1A1C1 90，D 为 BB1的中点. 求证：AD平面 A1DC1. 证明 AA1底面 ABC，平面 A1B1C1平面 ABC， AA1平面 A1B1C1，显然 A1C1 平面 A1B1C1，A1C1AA1. 又B1A1C190，A1C1A1B1而 A1B1AA1A1， A1C1平面 AA1B1B，AD 平面 AA1B1B，A1C1AD. 由已知计算得 AD 2，A1D 2，AA12. AD2A1D2AA21，A1DAD. A1C1A1DA1，AD平面 A1DC1
8、. 规律方法 证线面垂直的方法有三类 (1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理 最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定 3 理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来 论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ab，ab； ，aa. 【训练 2】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，求证：EF平面 BB1O. 证明 ABCD 为正方形，ACBO. 又BB1平面 ABCD，AC 平面 AB
9、CD， ACBB1，又BOBB1B，AC平面 BB1O， 又 EF 是ABC 的中位线，EFAC，EF平面 BB1O. 类型三 直线与平面所成的角(互动探究) 【例 3】 如图所示，三棱锥 ASBC 中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求 直线 AS 与平面 SBC 所成的角. 思路探究 探究点一 直线与平面所成角的范围是什么？ 提示 直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是直角，为 90；直线与平面平行或直线在 平面内时，直线与平面所成角为 0；直线是平面的斜线时，直线与平面所成的角是锐角，范 围(0，90).所以直线与平面所成角的范围是0，90. 探究点二 求斜线与平面所成角的步
10、骤是什么？ 提示 求斜线与平面所成角的步骤：一作，找出射影，作出角；二证，证明作出的角即为所求； 三算，在三角形中求角；四答，作答. 解 因为ASBASC60， SASBSC， 所以ASB 与SAC 都是等边三角形. 因此 ABAC. 如图所示，取 BC 的中点 D， 4 连接 AD，SD，则 ADBC. 设 SAa，则在 RtSBC 中，BC 2a， 2 CDSD a. 2 2 在 RtADC 中，AD AC2CD2 a. 2 则 AD2SD2SA2，所以 ADSD. 又 BCSDD，所以 AD平面 SBC. 因此ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角. 2 在 RtASD 中，S
11、DAD a， 2 所以ASD45， 即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45. 规律方法 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接 垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归 结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是 找射影的依据，图形中的特殊点是突破口. 【训练 3】 如图所示，RtBMC 中，斜边 BM5，它在平面 ABC 上的射影 AB 长为 4，MBC60， 求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值. 解 由题意知，A 是 M 在平面 ABC 内的射影，MA平面 ABC， MC 在平面 CAB 内的射影为 AC. MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 又在 RtMBC 中，BM5，MBC60， 3 5 3 MCBMsinMBC5sin 605 . 2 2 在 RtMAB 中，MA MB2AB2 52423. 5