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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末复习课 1.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种. “”“”两直线垂直有 相交垂直 与 异面垂直 两种情况. (1)证明线线平行的方法 线线平行的定义； 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； 线面平行的性质定理：a，a，bab； 线面垂直的性质定理：a，bab； 面面平行的性质定理：，a，bab. (2)证明线线垂直的方法 线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异 面直线转化为相交直线； 线面垂直的性质：a，bab； 1 线面垂直的性质：a，bab. 2.线面关系 直线与平面之间
2、的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种. (1)证明直线与平面平行的方法 线面平行的定义； 判定定理：a，b，aba； 平面与平面平行的性质：，aa. (2)证明直线与平面垂直的方法 线面垂直的定义； 判定定理 1：Error!Error!l； 判定定理 2：ab，ab； 面面平行的性质定理：，aa； 面面垂直的性质定理：，l，a，ala. 3.面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种. (1)证明面面平行的方法 面面平行的定义； 面面平行的判定定理：a，b，a，b， abA； 线面垂直的性质定理：a，a； 公理 4 的推广：，. (2)证明面面垂直的方法 面面垂直的定义：两
3、个平面相交所成的二面角是直二面角； 面面垂直的判定定理：a，a. 4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论. 5.“”升降维 思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平面 “或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是 学会学习”的重要方法. 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程. 方法一 转化与化归思想 2 立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想. (
4、1)线线、线面、面面的位置关系，由转化思想使它们建立联系，如面面平行、线面平行、线 线平行的互化，面面垂直、线面垂直、线线垂直的互化，有关线面位置关系的论证往往就是通 过这种联系和转化得到解决的. (2)“通过 平移”，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转 化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题. (3)通过添加辅助线而将立体问题转化为平面问题. 【例 1】 (2016山东)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB. (1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB； (2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC
5、. 证明 (1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF， 连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点， 所以 DEAC.同理可得 BDAC. 又 BDDED， 所以 AC平面 BDEF. 因为 FB 平面 BDEF，所以 ACFB. (2)设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI. 在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点， 所以 GIEF.又 EFDB， 3 所以 GIDB. 在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC. 又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC， 因为 GH 平面 GHI，所以 GH平面 ABC. 【例 2】 (2016全国 文)如
6、图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (1)证明：G 是 AB 的中点； (2)作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积 (1)证明 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE. 所以 AB平面 PED，故 ABPG. 又由已知可得，PAPB，从而 G 是 AB 的中点 (2)解 在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行
7、线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由(1)知，G 是 AB 2 的 中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG. 3 由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB， 2 1 所以 DEPC，因此 PE PG，DE PC. 3 3 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 2. 在等腰直角三角形
8、EFP 中， 可得 EFPF2. 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V 222 . 3 2 3 4 【训练 1】 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点. (1)求证：BC平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC. 证明 (1)由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC，由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC.又 PAAC A，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，所以 BC平面 PAC. (2)连接 OG 并延长交 AC 于点 M， 连接 QM，QO，由 G 为AOC 的重心
9、，得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点，得 QMPC， 又 O 为 AB 中点，得 OMBC. 因为 QMMOM，QM 平面 QMO，MO 平面 QMO，BCPCC，BC 平面 PBC，PC 平面 PBC， 所以平面 QMO平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO，所以 QG平面 PBC. 方法二 函数与方程思想 函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的 数量关系.对立体几何中的有关最值问题，处理的方法常常是以最值为函数，选择恰当的自变 量建立函数关系，通过分析函数关系性质，使问题得到解决. 【例 3】 如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直， 点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2). (1)求 MN 的长； (2)求 a 为何值时，MN 的长最小. 解 (1)如图所示，作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得四边形 MNQP 是平行四边形，MNPQ. 5