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1、第一章 空间几何体 章末复习课 1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成 的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或 截面. (3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本 几何体. 2.空间几何体的三视图与直观图 (1)三视图是观察者
2、从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 它包括正视图、侧视图、俯视图三种.“”画图时要遵循 长对正、高平齐、宽相等 的原则. 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用 虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验. (2)斜二测画法： 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于 x、 y、z 轴的线段分别为平行于 x、y、z轴的线段；(3)截线段：平行于 x、z 轴的线段的长 度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半. 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两
3、者之间可以互相转化，这也是高考考查的 1 重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基 本量. 3.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积 体积 圆柱 S侧2rh VShr2h 1 1 1 圆锥 S侧rl V Sh r2h r2 3 3 3 l2r2 1 1 圆台 S侧(r1r2)l V (S上S下 S 上S下)h (r21r2r1r2)h 3 3 直棱柱 S侧Ch VSh 1 正棱锥 S侧 Ch 2 1 V Sh 3 1 正棱台 S侧 (CC)h 2 1 V (S上S下 S 上S 下)h 3 4 球 S球面4R2
4、V R3 3 方法一 几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是重点.解题需要依据它 们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的运用. 【例 1】 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧 视图为( ) 解析 还原正方体后，将 D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为 C1B，且为实 线，B1C被遮挡应为虚线. 答案 B 【训练 1】 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 2 解析 所给选项中，A、C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有 B 选项
5、 符合. 答案 B 方法二 几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材 料最省问题等.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系.在计算中，要充分利用 平面几何知识，特别注意应用柱体、锥体、台体的侧面展开图.组合体的表面积和体积，可以 通过割补法转化为柱体、锥体、台体等的表面积和体积. 【例 2】 如图所示，已知三棱柱 ABCABC，侧面 BBCC的面积是 S，点 A到侧面 B BCC的距离是 a，求三棱柱 ABCABC的体积. 解 连接 AB，AC，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥. 1 设所求体积为 V，显然三棱锥
6、 AABC 的体积是 V. 3 1 而 四棱锥 ABCCB的体积为 Sa， 3 1 1 1 故有 V SaV，即 V Sa. 3 3 2 【训练 2】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 3 A.168 B.88 C.1616 D.816 解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体：上面是长方 1 体，下面是圆柱的一 半(如图所示)，其体积为 V422 224168. 2 答案 A 方法三 转化与化归思想 运用转化与化归的思想寻求解题途径，常用如下几种策略： (1)已知与未知的转化.由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径.(2)正面与反
7、面的转化.在处理某一问题时，按照习惯思维方式从正面思考遇到困难，甚至不可能时，用逆 向思维的方式去解决，往往能达到以突破性的效果.(3)一般与特殊的转化.特殊问题的解决往 往是比较容易的，可以利用特殊问题内含的本质联系，通过演绎，得出一般结论，从而使问题 得以解决.(4)复杂与简单的转化.把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解 决，这是解数学问题的一条重要原则. 【例 3】 如图所示，圆台母线 AB 长为 20 cm，上、下底面半径分别为 5 cm和 10 cm，从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点，求这条绳子长度的最小值. 解 如图所示，作出圆台的侧面展开
8、图及其所在的圆锥. 连接 MB，P、Q 分别为圆台的上、下底面的圆心. 4 在圆台的轴截面中，RtOPARtOQB， OA PA OA 5 ， .OA20(cm). OAAB QB OA20 10 设BOB， 由扇形弧BB的长与底面圆 Q 的周长相等， 得 2102OB ， 360 即 202(2020) ， 360 90.在 RtBOM 中， BM OM2OB2 30240250(cm)， 即所求绳长的最小值为 50 cm. 【训练 3】 圆柱的轴截面是边长为 5 cm的正方形 ABCD，从 A 到 C 圆柱侧面上的最短距离为 ( ) 5 A.10 cm B. 24 cm 2 C.5 2 c
9、m D.5 21 cm 解析 如图所示，沿母线 BC 展开，曲面上从 A 到 C 的最短距离为平面上从 A 到 C 的线段的长. 1 5 5 ABBC5，ABAB 2 . 2 2 2 25 2 5 AC AB2BC2 2255 1 24(cm). 4 4 2 答案 B 1.(2016全国卷 )如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) A20 B24 5 C28 D32 解 析 由 三 视 图 可 知 ， 组 合 体 的 底 面 圆 的 面 积 和 周 长 均 为 4， 圆 锥 的 母 线 长 l 1 （2 3）2224，所以圆锥的侧面积为S锥侧 448，圆柱的侧
10、面积S柱侧44 2 16，所以组合体的表面积 S816428，故选 C. 答案 C 2(2016全国)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为( ) A1836 5 B5418 5 C90 D81 解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3，3， 45，几何体的表面积 S362 3323 4525418 5. 答案 B 3.(2015全国 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放 米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧
11、长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的 体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆 放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66 斛 16 1 1 320 解析 由题意知：米堆的底面半径为 (尺)，体积 V R2h (立方尺).所以堆放的 3 3 4 9 320 米大约为 22(斛). 9 1.62 答案 B 4.(2015浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) 6 32 40 A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3 3 3 解析 先由三视图还原几何体，再利用相应的
12、体积公式计算. 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为 2 cm的 正方体，体积 V12228(cm3)；上面是底面边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱锥，体积 V2 1 8 32 222 (cm3).所以该几何体的体积 VV1V2 (cm3). 3 3 3 答案 C 5.(2015陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.3 B.4 C.24 D.34 解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为： 1 1 S2 12 212222434. 2 2 答案 D 6.(2014浙江高考)某几何体的
13、三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) 7 A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是 直角三角形，边长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S2(4643)3633 1 (5 34 32 4 3)9939138(cm 2). 2 答案 D 7(2016北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_ （12） 1 3 解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积 S ，高 h1，所以四棱柱 2 2 3 3 体积 VSh 1 .
14、 2 2 3 答案 2 8(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 _cm2，体积是_cm3. 解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为 2 cm，下面长方体是底面边长为 4 cm，高为 2 cm，其直观图如右图：其表面积 S622242 42422280(cm2)体积 V22244240(cm3) 8 答案 80 40 9.(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 _cm3. 解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示.三棱柱的底 1 面为直角三 角形，且直角边长分别为 3 和 4，三棱柱的高为 5，故其体积 V1 345 2 1 1 30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为 3，故其体积 V2 343 3 2 6(cm3)，所以所求几何体的体积为 30624(cm3). 答案 24 9