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1、CARA效用函数下美式期权的定价American Option Pricing With CARA Utility XING Yingchun (Department of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing,Jiangshu 210046,China) Abstract We consider the American option pricing problem when the utility of the option holder is CARA utility functi
2、on such as U(x)=ex.Appling the optimal stopping theory, we obtain the optimal exercise time of the American option in the financial market of finite discrete time model, and give the pricing formula of the American option. Key words CARA utility function;American option;optimal exercise time 1 引 言 期
3、权定价是金融数学的重要研究课题之一.1973年,美国芝加哥大学的F. Black和M. Scholes1在股票价格遵循几何Brown运动的假设下,通过解偏微分方程获得了著名的BlackScholes期权定价公式.自此之后，关于期权定价及其应用的理论研究有了迅速的发展2-7. 美式期权有提前执行的可能性,而且有路径依赖性,所以确定其最佳实施期及对其定价就更加困难.文献8-12等对美式期权进行了研究.本文考虑当期权持有者的效用为CARA效用函数?U(x)=ex时的美式期权定价问题.运用最优停止理论得到其在有限离散时间金融市场模型下的最佳实施期,并给出相应美式期权的定价公式. 2 模型假设 设(,F
4、n,F,P)是一个完备的过滤子空间,Sn0nT是该概率空间上的马尔可夫链,Fn表示到时刻n为止的全部信息.股票价格满足 Sn=(1+n)Sn1,S0=s,0nT. 则 Sn=(1+1)(1+2)(1+n)s, 其中=n是独立同分布随机序列,假定n只取a,b两个值,且0arb,r为无风险利率.设QP（P是概率测度空间）,满足 Q(1=a)=brba= =1Q(1=b)=raba, 则Q是等价鞅测度.有限报酬序列Xn,FnTn=1,其中Xn=U(Sn)(1+r)n是Sn的折现价格过程.T是一固定数,设E|Xn| SymboleB ,nT. 3 重要结果及其证明 定义1 （有界）停时是一个随机变量
5、:0,T, 它的取值为0到T的整数,而且具有性质 nFn,0nT. 记n为取值在n,T中的所有停时的集合,n=0,1,T. 定义20nT,Xn SymboleB ,定义 n=?max ?印湿?n XFn,(1) 为报酬序列Xn,FnTn=0的Snell包络. 定义3 停时*n,T是最优停时,如果 X?营?*Fn=n=?max ?印湿?n XFn. 引理1由(1)式所定义的Snell包络满足 n=max Xn,?max ?印湿?n+1XFn, 对所有的n=0,1,T. 引理2对任意给定的随机变量X和Y有 max EXFn,EYFn Emax X,YFn, 对所有的n=0,1,T. 经 济 数 学
6、第 28卷第1期邢迎春:CARA效用函数下美式期权的定价 定理1 Snell包络满足向后循环关系 () T=XT, () n=max Xn,n+1Fn, 对所有的n=0,1,T1. 证明 () 由引理1得 T=?max ?印湿?T XFT=XTFT=XT. () ?max ?印湿?n+1XFn=?max ?印湿?n+1XFn+1Fn ?max ?印湿?n+1XFn+1Fn=n+1Fn. 第二个不等式可由引理1推得.下证相反的不等式. 令*n+1是最优停时，即 n+1=XFn+1, 那么 n+1Fn=X?营?*Fn+1Fn =X?营?*Fn?max ?印湿?n+1XFn, 故 n=max Xn,
7、?max ?印湿?n+1XFn =max Xn,n+1Fn, 对所有的n=0,1,T1. 证毕. 定理2记D=x:U(1+b)x+U(1+a)x(1+r)U(x).设D=d, SymboleB ),其中d0.在报酬效用函数U(x)=ex,0下,报酬序列Xn,FnTn=0的最优停时*=inf 0nT,SnD,相应美式期权定价为 C*0=Tn=ITi=ICiNini exp S1+bi1+ani1+rn. 证明 假设*=n,则SnD.由于a0, Sn+1=Sn1+nSn1+aSnd, 故Sn+1D.从而nmT1,SmD. 由定理1的（i)得 T=XT. 由定理1的(ii)得 T1=max XT1,
8、TFT =max exp ST11+rT1,exp ST1+rTFT =max exp ST11+rT1, exp 1+TST11+rTFT. 而 exp 1+TST11+rTFT =(1+r)Texp 1+TST1FT =1+rTexp 1+aST1+ exp 1+bST1exp ST1(1+r)T1. 故 T1=exp ST11+rT1=XT1. 同理可证 m=exp Sm1+rm,m=T2,T3,n. 而由Sn1D，可知 n1=max Xn1,nFn1 =max Xn1,XnFn1 =max Xn1,(1+r)n exp (Sn)|Fn1. 而 exp SnFn1 =(exp (1+a)
9、Sn1)+(exp ( (1+b)Sn1)(1+r)(exp(Sn1). 故 n1exp(Sn1)(1+r)n1. 由定义3知*为最优停时,相应美式期权定?畚? C*0=E*exp S?营?*(1+r)*. (2) 为了计算式(2),记 I=min 0iT,(1+b)i(1+a)nids. 在集合*=n上, (1+b)i(1+a)nids, 所以，必须iI，因此 *=n=在(1+1)(1+n)中取i个(1+b)且iI. 于是美式期权的定价为 C*0 =Tn=0?营?*=nexp S1+11+n1+rndP* =Tn=0TiICiTexp S1+bi1+ani1+rn P*=n=Tn=ITi=ICiTini• exp S1+bi1+ani1+rn. 证毕. 4 结 论 在金融衍生产品市场中，美式期权作为对冲保值减少风险和获得收益应用最为广泛的工具.作为投资者而言,他们最为关心的是何时对期权进行行权从而使获得最大收益而风险最小.本文从理论上讨论了在离散金融市场中一类效用为CARA效用的美式期权持有者的最优停时问题即何时达到美式效用最大化.而且给出在相应美式期权的定价公式,具有重要的理论应用价值.