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1、“两定五策略”求解古典概型问题 古典概型是一种理想化的概率模型,具有有限性和等可能性两大特点.其有限性是指在一次试验中,基本事件的个数是有限的,等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的.我们从概率的统计定义不难得出古典概型的计算公式,即事件A发生的概率P(A)=,它属于一种“比例解法”,正确运用该公式的关键在于“两定”:首先是“定型”, 即确定试验的概率模型是否具有古典概型的两大特征“有限性”和“等可能性”,是否是古典概型,“定型”是正确解题的前提;其次是“定量”,即确定试验的基本事件数n的值以及确定事件A包含的基本事件数m的值,“定量”是正确解题的关键.那么我们又如何正确求出古典概型的
2、概率呢?通常有如下五个常用策略:策略一 利用概率的统计定义求概率 概率的统计定义是与一定的试验相联系的,其反映了随机性与规律性的统一.频率是试验值,不同的人、不同的时刻,所得的频率值常常不同,体现出随机性,但大量重复试验时呈现出稳定性.概率是内在的理想值,不随试验的不同而改变,它常常用频率来估测.例1 某射手在同一条件下进行射击,结果如下: (1) 填写表中击中靶心的频率; (2) 这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?解 (1) 频率依次为:0.9,0.95,0.88,0.91,0.89, 0.902; (2) 射击一次,击中靶心的概率约为:0.90. 点评 某事件的概率是大量重复同一试
3、验时该事件发生的频率的稳定值,实践中常以频率值作为概率的近似值.本题中概率约为0.90,反映概率约在0.895,0.905)间,若写成0.9,则约在0.85,0.95)间,可见精确度有差异.策略二 利用枚举法求古典概型的概率 用枚举的方法把古典概型试验的基本事件一一列出来确定n的值,然后再列出事件A中的基本事件确定m的值,最后利用公式P(A)=求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法.注意枚举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏.例2 已知实数a,b-2,-1,1,2. (1) 求直线y=ax+b不经过第四象限的概率; (2) 直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率.解 实数对(
4、a,b)所有的可能取值为(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种. (1) 设“直线y=ax+b不经过第四象限”为事件A,则必须满足a0,b0,即满足条件的实数对(a,b)有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,所以P(A)=.故直线y=ax+b不经过第四象限的概率为. (2) 设“直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点”为事件B,则必须满足1,即b2a2+1.若a=-2,则b可以
5、为-2,-1,1,2,共4种;若a=1,则b可以为-1,1,共2种;若a=1,则b可以为-1,1,共2种;若a=2,则b可以为-2,-1,1,2,共4种.所以P(B)=.故直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为. 点评 枚举法适用于试验的基本事件个数不是很多的概率模型的求解.策略三 利用树形图或表格求古典概型的概率例3 班级元旦联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等,指定编号为1,2,3的三位男生和编号为4,5的两位女生来参与. (1) 现选出2人来表演双人舞,求选出的2人不全是男生的概率; (2) 将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上,并放入一个箱子充分混合,
6、每次有放回地从中随机取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目,现选出2人分别表演独唱和朗诵,求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.解 (1) 利用树形图列出所有可能结果: 由上图可以看出,试验的所有可能结果数为n=20,这20种结果出现的可能性是相同的.试验属于古典概型.设“选出的2人不全是男生”为事件A,则事件A包含的可能结果数m=14,所以P(A)=0.7; (2) 利用树形图列出所有可能结果: 由上图可以看出,试验的所有可能结果数为n=25,这25种结果出现的可能性是相同的.试验属于古典概型.设“独唱和朗诵由同一个人表演”为事件B,则事件B包含的可能结果数m=5,所以P(B)=0.2. 点
7、评 用树形图列出试验的所有可能结果,既直观又形象,解题过程简洁明快.策略四借助于互斥事件、对立事件的公式求古典概型的概率例4 甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人依次无放回地各抽一题,求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率.解 甲、乙两人从10道题中依次无放回地各抽一题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是109=90种,即基本事件总数是90. 法一 设“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件A,则甲、乙两人都抽到选择题有65=30种,仅甲抽到选择题有64=24种,仅乙抽到选择题有46=24种,故甲、乙两人中至少有一人
8、抽到选择题的种数有30+24+24=78种,所以P(A)=. 法二 设“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件A,则“甲、乙两人均抽到判断题”为事件,P()=,从而P(A)=1-P()=1-=. 点评 法一是从正面将事件A分解成三个互斥事件,法二是从对立事件入手,它们在本质上是一致的.策略五 借助于排列组合知识计数,求较复杂的古典概型概率例5 盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意抽取3张,每张卡片被抽出的可能性相等,求: (1) 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率; (2) 抽出的3张卡片中有2张上的数字是3的概率.解 (1) 将“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记
9、为A,P(A)=; (2) 将“抽出的3张卡片中有2张上的数字是3”的事件记为B,则P(B)=. 点评 本题也可通过枚举法、树形图的方法去求解,但其计数过程较复杂.一般地,对较复杂的古典概型的求解均采用排列组合知识计数. 1. 设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN),求下列事件的概率: (1) 指定的n个房间各有一个人住; (2) 恰好有n个房间,其中各住一人. 2. 某招呼站,每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车,某天王先生准备在招呼站乘车前往省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车的顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,试求王先生乘上上等车的概率. 1. (1) ;(2) . 2. =.