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1、“中途点”的转移与思维点的运动 平面几何不仅成为人类探究自然、认识自然，从而顺应自然、改造自然以求得更好生活所需要的知识，而且促进了人类理性思维的进步。它被认为是教育一代新人必不可少的素材。 然而，初学者在学习平面几何推理论证的材料时，听老师讲解时清楚明白：一步一步，言之确凿，推理严密，有令人信服的力量。 从而使他们误认为几何证明犹如先天预设成的，于是，对他们来说，平面几何证明是“非学习和训练”所能达到的，证明思路的获得过程似乎妙手所得。造成了少数学生能欣赏几何推理证明的内容，而自己不能通过搜索取得证明的思路；绝大多数学生如在云里雾里，很难从平面几何学习中获取教益，形成对平面几何解题“可望而不
2、可及”的感觉。长时间的失望是蚕食自信心和兴趣的瘟神，于是，在制定义务教育的数学课程标准时，对平面几何知识的取舍产生了极大的分歧，数学教育家认为：既然平面几何知识成为学生数学学习的“绊脚石”和“拦路虎”，在制定课程标准时，尽可能地减少平面几何知识，极端者甚至提出“让欧几里得滚蛋”的口号。这体现了专家们对学生主体性的尊重，保护他们的自尊心和进取心，的确用心良苦。与之相对立的是：数学家以促进人的发展为依据，以关注一代人的知识基础与思维结构的完善为目的，认为平面几何必须进入课程标准。因为，在义务教育阶段没有开设逻辑课，平面几何既是培养学生思维能力的有效知识，还担负着培养学生逻辑知识的任务。“直观与推理
3、”是平面几何促进人发展的两大要素，也是数学的支柱，是学生成长过程中必不可少的精神食粮。 同时，平面几何是人类几千年文化积淀下来的知识精华，在历代数学初等教育所选择的知识中，平面几何都进入了课程。这样，在实际教学中，学生在学习平面几何推理论证部分时，就产生了“入门难”“深造难”的局面。解决好这个问题，对于凸现平面几何的教育价值会有很大的帮助。 笔者通过许多年的教学实践，又对若干教师几何教学的实际考察，得到了这样的结论：几何教师的教学方法陈旧，或者说几何教师对平面几何逻辑推理教学先入为主不能与学生进行心理换位，误以为平面几何教学伊始就是要教给学生严密的逻辑推理。这对平面几何教育价值的充分发挥起了较
4、大的阻碍作用。研究学生的推理学习应该是平面几何教学的关键点之一。作为几何教师，我们应该想想自己在孩提时是怎样学习平面几何的，那时我们也是经过了很长时间的挣扎，才掌握严密的几何推理。如此，教师就会深切体会学生在学习平面几何推理论证时的那种深陷重围的痛楚，举步维艰的困惑，欲行又止的难局。作为几何教师，应当在几何材料的推理论证教学中设身处地为学生着想，推知他们在几何学习中的艰难，舍得花时间引领孩子们操作探索、研究发现。作为几何教师，我们需要作大量的研究工作，不放过任何一个滋养孩子们推理论证思维的机会，解决好了这个问题，就会为推理教学打下坚实的基础。 如何解决论证问题?下面将讨论推理论证的结构“中途点
5、”转移所形成的节点链。它架设起了从已知条件到结论的桥梁，又牵引着思维点的运动，为学生在探寻解题思路时提供指引和监控。 1“中途点”的转移架设从已知条件到结论的桥梁 初中学生学习定理(公理) 及其逻辑推理是必要的，也是完全可能的。经验表明，一方面，学生在定理学习及其应用中，对定理的理解很难达到准确的地步，对定理的结构层次也难以精确把握，对几何定理中各种元素所处的位置与关系也不能准确辨别清楚，这些就给应用造成巨大的困难。另一方面，学生在应用定理(公理) 解决问题时，对问题的把握也往往是混沌一片：分不清命题的题设和结论，作不出比较准确的几何图形等。有时，他们虽然可以解决证明外围的问题，却选择不出主攻
6、方向，往往只能将条件进行堆砌和拼凑，即使得到了正确结果，也存在着几分的侥幸，而对已经解决的问题的过程并不是真正理解与正确把握。所有这些都不利于学生几何学习进一步的发展。为此，我们来分析一下证明一个命题的一般过程是怎样的，如下表： 从这张表中知道，所要证明的几何命题的结论，最终都是由已知构成的，但在寻找这些已知时，对于稍微复杂一点的命题，不可能一次性就成功达到目的，而是要配合所用的定理( 或公理) 首先寻找出“ 需知”，利用这些“需知”调控已知对结论的决定性的作用。这些“ 需知”便组成了“ 中途点”，它们是至关重要的。正是这些作为“ 中途点”的“ 需知”使已知和结论形成了“ 接龙”，也就是大数学
7、家庞加莱所说的“ 序的安置”。由此，就可以把学生寻找问题的思路从混沌一片转换成线性序列，“中途点”正如一站又一站的路标，指引着思维者从已知条件到要证明结论的方向，从而大大降低学生逻辑思维的强度。 2“中途点”的转移牵引着思维点的移动 庞加莱在科学与方法中说：“一个数学证明并不是若干个三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置的序比元素本身重要得多。一旦我感觉到，也可以说，直觉到这个序，以致我一眼之下就能领悟整个推理，我就再也不必害怕会忘掉任何一个元素，因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我付出任何记忆上的努力的。”在解题过程中，首先肯定是由问题结论的要求启
8、动了思维程序，相对孩子们来说，由于问题的复杂性，只启动思维，也是很难一次就得出结论的。这就要求我们在解决问题时不间断地把握思维点前进的方向。 我们可以通过分析，获取“ 中途点”，由“ 中途点”不断地转移带动思维点的运动。数学解题过程是运用已知条件和学生已掌握的知识和方法建立联系，并通过“中途点”的连结，把它们与未知结论相互沟通的逻辑推理的过程。孩子们在大脑中思维点运动的过程，包括思维点相互联系、结合、删除、凸现和贯通等几个环节。 我们看一个解题教学中的例子，以便说明这个问题。 例如右图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处拉两根彩线EC、FC。证明：这两
9、根彩线的长相等。 首先，将题意翻译成数学符号语言。 已知：如上图，AB=AD，BC=DC，E、F分别是AB、AD的中点。求证：CE=CF。 分析：先从结论开始来寻找“需知”，即“中途点”。要证明成立，我们想证明BCEDCF(第一个“中途点”) 。由和，知BE=DF，由和，知BCE和DCF中已经有两组对应边相等。要使成立，我们要么找到CE=CF，这是问题的结论，如果得到了，问题已经解决了。因此，它不能作为条件。要么知道这两组对应相等的边所夹的角相等，即要证明B=D( 第二个“中途点”)。要证明成立，由已知和，配之以，知必有ABCADC(第三个“中途点”) 。在这个题设的图形中，这两个三角形事实上
10、不存在，但我们用辅助线可把这两个三角形构造出来，即通过连结AC达到目的。这样，由已知和、AC=AC就达到了目的。而AC是公共边，知显然是正确的。找到了正确思路，证明书写的过程，正好是寻找“中途点”过程的逆过程，即： 从证明的表达书写过程中，我们很明显看到，从题设到结论的逻辑链条是有层次的。这种层次是由分析过程中的“中途点”调控的，证明表达过程，实际上就是从最后一个“中途点”开始，倒着一个一个证明这些“中途点”，所有的“中途点”都全部证明完毕，就达到了所要证明的命题结论，也就解决了这道证明题。教学中，引领学生如何找寻出从已知条件到结论所有的“中途点”，是几何推理论证教学很重要的一个方面，备课中问题情境的设置也应该由此展开。如何引领学生在学习证明的过程中，依据问题的蛛丝马迹获取“中途点”，是教学的关键。初学平面几何证明，一般可由结论，通过“中途点”达到对题设条件的统摄作用。教师引导学生取得“中途点”是平面几何推理论证教学的重中之重。 (责任编辑钟毓华)